1復變函數與積分變換1復變函數與積分變換2第一章復數與復變函數2第一章復數與復變函數31.復數的概念

2.代數運算

3.共軛復數§1復數及其代數運算31.復數的概念§1復數及其代數運算4

一般,任意兩個復數不能比較大小.1.復數的概念

定義對任意兩實數x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數.復數z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

復數的模

判斷復數相等4一般,任意兩個復數不能比較大小.1.復數的概念定5定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數運算四則運算5定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差6z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規律復數的運算滿足交換律、結合律、分配律.（與實數相同）即，6z1+z2=z2+z1；運算規律復數的運算滿足交換律、結合7共軛復數的性質3.共軛復數定義若z=x+iy,稱z=x-iy

為z的共軛復數.(conjugate)7共軛復數的性質3.共軛復數定義若z=x+iy,8891.點的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數表示法§2復數的表示方法91.點的表示§2復數的表示方法101.點的表示點的表示：

數z與點z同義.101.點的表示點的表示：數z與點z同義.112.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復數z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數稱為復數z=x+iy的輻角.(z≠0時)112.向量表示法12輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz.

z=0時，輻角不確定.

計算argz(z≠0)

的公式12輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其13

當z落于一,四象限時，不變.

當z落于第二象限時，加.

當z落于第三象限時，減.

13當z落于一,四象限時，不變.當z落于第二象14141515161617oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數表示法17oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示181819引進復數的幾何表示，可將平面圖形用復數方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復數方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形.例1

用復數方程表示:（1）過兩點zj=xj+iyj

(j=1,2)的直線；（2）中心在點(0,-1),

半徑為2的圓.oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）19引進復數的幾何表示，可將平面圖形用復數方程例1用20xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么圖形？解20xy(z)O(0,-1)2例2方程212122注意.復數的各種表示法可以相互轉化,以適應不同問題的需要.22注意.復數的各種表示法可以相互轉化,以適應232013年9月4日232013年9月4日242425252626271.復數的乘積與商

2.復數的乘冪

3.復數的方根§3復數的乘冪與方根271.復數的乘積與商§3復數的乘冪與方根28定理1

兩個復數乘積的模等于它們的模相乘，兩個復數乘積的輻角等于它們的輻角相加.證明設z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz228定理1兩個復數乘積的模等于它們的模相乘，證明29幾何意義將復數z1按逆時針方向旋轉一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍.

定理1可推廣到n個復數的乘積.oxy(z)z1z2z229幾何意義將復數z1按逆時針方向旋轉一個角度定理130由于輔角的多值性，因此，該等式兩端都是無窮多個數構成的兩個數集,等式兩端可能取的值的全體是相同的,也就是說，對于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反過來也一樣。注意：Arg(z1z2)=Argz1+Argz230由于輔角的多值性，因此，該等式兩端都是無窮多個數構成31要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.31要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.32定理2

兩個復數的商的模等于它們的模的商，兩個復數的商的輻角等于被除數與除數的輻角之差.證明Argz=Argz2-Argz1由復數除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）32定理2兩個復數的商的模等于它們的模的商，證明33設z=reiθ，由復數的乘法定理和數學歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.2.復數的乘冪定義n個相同的復數z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）.定義特別：當|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

棣模佛(DeMoivre)公式.33設z=reiθ，由復數的乘法定理和數學歸納法可證2.復34問題給定復數z=rei，求所有的滿足ωn=z的復數ω.3.復數的方根（開方）——乘方的逆運算

當z≠0時，有n個不同的ω值與相對應，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，34問題給定復數z=rei，求所有的滿足ωn=35

當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數時，這些根又會重復出現.幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內接于該圓周的正n邊形的n個頂點.xyo35當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，幾何上，3636371.區域的概念

2.簡單曲線（或Jordan曲線)3.單連通域與多連通域§4區域371.區域的概念§4區域381.區域的概念鄰域復平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域.記為Ｕ(z0,δ)即，設G是一平面上點集內點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內的所有點都屬于G，則稱z0是G的內點.381.區域的概念鄰域復平面上以z0為中心，任意δ>39開集若G內的每一點都是內點，則稱G是開集.連通是指區域設D是一個開集，且D是連通的，稱

D是一個區域.D-區域邊界與邊界點已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；內點外點D的所有邊界點組成D的邊界.P39開集若G內的每一點都是連通是指區域設D是40有界區域與無界區域若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區域；否則無界.閉區域區域D與它的邊界一起構成閉區域,40有界區域與無界區域閉區域區域D與它的邊界一起構成4141422.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線.422.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)43重點設連續曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點.定義稱沒有重點的連續曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線.z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線43重點設連續曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，定義443.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質

任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區域，稱為C的內部；一個是無界區域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內部外部邊界定義

復平面上的一個區域B，如果B內的任何簡單閉曲線的內部總在B內，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域.443.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質任一條簡單閉曲45例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的.單連通域多連通域多連通域單連通域45例如|z|<R（R>0）是單連通的；單連通域多連46作業P31

1（２）（４），２，８（３）（４）（５），１４（２）（４），２１（４）（８）（９）２２（３）（４）（６）46作業P311（２）（４），47474848494950501.復變函數的定義

2.映射的概念

3.反函數或逆映射§5復變函數1.復變函數的定義§5復變函數1.復變函數的定義—與實變函數定義相類似定義

1.復變函數的定義—與實變函數定義相類似定義復變函數與積分變換課件例1例2例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數值集合2.映射的概念——復變函數的幾何意義zw=f(z)woxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=

以下不再區分函數與映射（變換）.

在復變函數中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應關系，以便在研究和理解復變函數問題時，可借助于幾何直觀.復變函數的幾何意義是一個映射（變換）以下不再區分函數與映射（變換）.在復變函數中用兩個復平例3解—關于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(映射)見圖2例4解例3解—關于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)ooxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R3.反函數或逆映射例設z=w2

則稱為z=w2的反函數或逆映射定義設w=f(z)的定義集合為G,函數值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數（逆映射）.3.反函數或逆映射例設z=w2則稱例已知映射w=z3

，求區域0<argz<在平面w上的象.例例已知映射w=z3，求區域0<argz<在2008.10.8

(第三次課)2008.10.8

(第三次課)1.函數的極限

2.運算性質

3.函數的連續性§6復變函數的極限與連續性1.函數的極限§6復變函數的極限與連續性1.函數的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中1.函數的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實變函數相比較要求更高.(2)A是復數.2.運算性質復變函數極限與其實部和虛部極限的關系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.(1)意義中的方式是任意的.(2)A是定理2

以上定理用極限定義證!定理2以上定理用極限定義證!例1例2例3例1例2例33.函數的連續性定義定理33.函數的連續性定義定理3例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續.證明xy(z)ozz例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續.

定理4連續函數的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續函數;

連續函數的復合函數仍為連續函數.有界性：定理4連續函數的和、差、積、商(分母不為0)有界第二章解析函數

第一節解析函數的概念第二節函數解析的充要條件第三節初等函數第二章解析函數第一節解析函數的概念1.復變函數的導數定義

2.解析函數的概念§2.1解析函數的概念1.復變函數的導數定義§2.1解析函數的概念

一.復變函數的導數(1)導數定義定義設函數w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數f(z)在點z0處可導.稱此極限值為f(z)在z0的導數，記作

如果w=f(z)在區域D內處處可導，則稱f(z)在區域D內可導.一.復變函數的導數(1)導數定義定義設函數w=f

(1)Δz→0是在平面區域上以任意方式趨于零.

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(1)Δz→0是在平面區域上以任意方式趨于零.(2(2)求導公式與法則①常數的導數c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數).證明對于復平面上任意一點z0，有----實函數中求導法則的推廣(2)求導公式與法則①常數的導數c=(a+ib)=③設函數f(z),g(z)均可導，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)③設函數f(z),g(z)均可導，則④復合函數的導數(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函數的導數，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數，且(w)0.④復合函數的導數(f[g(z)])=f(w)g例3問：函數f(z)=x+2yi是否可導？例2解解例3問：函數f(z)=x+2yi是否可導？例2解解復變函數與積分變換課件例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導.證明例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導.證復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件(1)復變函數在一點處可導，要比實函數在一點處可導要求高得多，也復雜得多，這是因為Δz→0是在平面區域上以任意方式趨于零的原故.(2)在高等數學中要舉出一個處處連續，但處處不可導的例題是很困難的,

但在復變函數中，卻輕而易舉.(1)復變函數在一點處可導，要比實函數(2)在高等數(3)可導與連續若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續.?(3)可導與連續若w=f(z)在點z0處可導2.4解析函數1.解析函數的概念定義

如果函數w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區域D內每一點都解析，則稱

f(z)在D內解析，或稱f(z)是D內的解析函數

(全純函數或正則函數）.如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點.

(1)w=f(z)在D內解析在D內可導.(2)函數f(z)在z0點可導，未必在z0解析.2.4解析函數定義如果函數w=f(z)在z0及z0的復變函數與積分變換課件例如(1)w=z2在整個復平面處處可導，故是整個復平面上的解析函數；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析函數；(3)w=zRez在整個復平面上處處不解析(見例4).定理1設w=f

(z)及w=g(z)是區域D內的解析函數，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內的解析函數.例如定理1設w=f(z)及w=g(z)是區域D內的解析定理2設w=f(h)在h

平面上的區域G內解析,

h=g(z)在z平面上的區域D內解析,h=g(z)的函數值集合G，則復合函數w=f[g(z)]在D內處處解析.定理2設w=f(h)在h平面上的區域G內解

調和函數

調和函數

在§6我們證明了在D內的解析函數,其導數仍為解析函數,所以解析函數有任意階導數.本節利用這一重要結論研究解析函數與調和函數之間的關系.內容簡介§7解析函數與調和函數的關系在§6我們證明了在D內的解析函數,其導數內容簡定義定理定義定理證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區域D內解析，則證明：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說明：由解析的概念得：現在研究反過來的問題：上面定理說明：由解析的概念得：現在研究反過來的問題：如如復變函數與積分變換課件定理定理

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，

調和函數在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用.本節介紹了調和函數與解析函數的關系.調和函數在流體力學和電磁場理論等實際例1解曲線積分法例1解曲線積分法故

故又解湊全微分法又解湊又解偏積分法又解偏又解不定積分法又解不定第八次課11月12日第八次課1.解析函數的充要條件

2.舉例§2函數解析的充要條件1.解析函數的充要條件§2函數解析的充要條件

如果復變函數w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內處處可導，則函數w=f(z)在D內解析.

本節從函數u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數w=f(z)的可導性，從而給出判別函數解析的一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法.問題如何判斷函數的解析性呢？如果復變函數w=f(z)=u(x一.解析函數的充要條件一.解析函數的充要條件復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件

記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).記憶定義方程2008.10.15第四次課2008.10.15定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x證明（由f(z)的可導C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導函數u(x,y)、v(x,y)可微）.∵函數w=f(z)點z可導，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且證明∵函數w=f(z)點z可導，即則f(Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1ΔyΔu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.

（由函數u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.復變函數與積分變換課件定理2

函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯系.當一個函數可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數來.

利用該定理可以判斷那些函數是不可導的.定理2函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數的連續性，

ii)驗證C-R條件.iii)求導數：

前面我們常把復變函數看成是兩個實函數拼成的,但是求復變函數的導數時要注意,并不是兩個實函數分別關于x,y求導簡單拼湊成的.使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導二.舉例例1

判定下列函數在何處可導，在何處解析：解(1)設z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則二.舉例例1判定下列函數在何處可導，在何處解析：解解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設z=x+例2

求證函數證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數，且滿足C-R條件：故函數w=f(z)在z≠0處解析，其導數為例2求證函數證明由于在z≠0處，u(x,y)及v例3證明例3證明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數.那么在曲線的交點處，i)uy、

vy

均不為零時，由隱函數求導法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,ii)uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們仍互相正交.練習:a=2,b=-1,c=-1,d=2ii)uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=∞，復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件1.指數函數

2.三角函數和雙曲函數

3.對數函數

4.乘冪與冪函數

5.反三角函數與反雙曲函數§3初等函數1.指數函數§3初等函數

本節將實變函數的一些常用的初等函數推廣到復變函數情形，研究這些初等函數的性質，并說明它們的解析性.內容簡介本節將實變函數的一些常用的初等函數推廣到復一.指數函數它與實變指數函數有類似的性質：定義一.指數函數它與實變指數函數有類似的性質：定義復變函數與積分變換課件

這個性質是實變指數函數所沒有的.這個性質是實變指數函數所沒有的.

例1例2例1例2二.三角函數和雙曲函數推廣到復變數情形定義二.三角函數和雙曲函數推廣到復變數情形定義正弦與余弦函數的性質正弦與余弦函數的性質復變函數與積分變換課件思考題：思考題：復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件由正弦和余弦函數的定義得其它三角函數的定義(詳見P51)由正弦和余弦函數的定義得其它三角函數的定義(詳見P51)復變函數與積分變換課件定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數雙曲正弦和雙曲余弦函數的性質定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數雙曲正弦和雙曲余弦函數的性質復變函數與積分變換課件三.對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數.即，(1)對數的定義三.對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數.即，(故故特別

特別2008.10.22第五次課2008.10.22(2)對數函數的性質見§1-6例1(2)對數函數的性質見§1-6例1例4例4復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件四.乘冪與冪函數

乘冪ab定義

—多值—一般為多值四.乘冪與冪函數乘冪ab定義—q支—q支

(2)當b=1/n(n正整數)時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致.(1)當b=n(正整數)時，乘冪ab與a的n次冪意義一致.(2)當b=1/n(n正整數)時，乘冪ab與a的解例5解例5

冪函數zb定義①當b=n(正整數)w=zn在整個復平面上是單值解析函數冪函數zb定義①當b=n(正整數)w=zn在整個復變函數與積分變換課件

除去b為正整數外，多值函數，當b為無理數或復數時，無窮多值.5.反三角函數與反雙曲函數詳見P52

重點：指數函數、對數函數、乘冪．

作業P672,8,15,18作業P672,第三章復變函數的積分第三章復變函數的積分1.有向曲線

2.積分的定義

3.積分存在的條件及其計算法

4.積分性質§1復變函數積分的概念1.有向曲線§1復變函數積分的概念1.有向曲線1.有向曲線CA(起點)B(終點)CCCA(起點)B(終點)CC2.積分的定義定義DBxyo2.積分的定義定義DBxyo

復變函數與積分變換課件3.積分存在的條件及其計算法定理

3.積分存在的條件及其計算法定理證明證明

由曲線積分的計算法得由曲線積分的計算法得4.積分性質由積分定義得：4.積分性質由積分定義得：例1解又解Aoxy例1解又解Axy例2解oxyrC例2解oxyrC?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010n第六次課10月29日第六次課oxy例3解oxy例3解解:例4解:例4分析§1的積分例子:§2Cauchy-Goursat基本定理分析§1的積分例子:§2Cauchy-Goursat基本定猜想：積分的值與路徑無關或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數的解析性及解析區域的單連通有關.先將條件加強些，作初步的探討猜想：積分的值與路徑無關或沿閉路的先將條件加強些，作初步的探復變函數與積分變換課件—Cauchy定理—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：BC—也稱Cauch(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖.BBC推論設f(z)在單連通區域B內解析，則對任意兩點z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點z0與終點z1的曲線，即積分與路徑無關.Cz1z0C1C2C1C2z0z1(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖.BBC推論設復合閉路定理：§3基本定理推廣—復合閉路定理復合閉路定理：§3基本定理推廣—復合閉路定理證明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH證明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH說明說明

此式說明一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經過f(z)的不解析點.—閉路變形原理DCC1C1C1此式說明一個解析函DCC1C1C1例解C1C21xyo例解C1C21xyo練習解C1C21xyo練習解C1C21xyo作業P991,2,5,7(1)(2)作業P991,2,5,7(1)(2)1.原函數與不定積分的概念

2.積分計算公式§4原函數與不定積分1.原函數與不定積分的概念§4原函數與不定積分1.原函數與不定積分的概念

由§2基本定理的推論知：設f(z)在單連通區域B內解析，則對B中任意曲線C,積分∫cfdz與路徑無關，只與起點和終點有關.

當起點固定在z0,終點z在B內變動,∫cf(z)dz在B內就定義了一個變上限的單值函數，記作定理設f(z)在單連通區域B內解析，則F(z)在B內解析，且1.原函數與不定積分的概念由§2基本定理的定義若函數(z)

在區域B內的導數等于f(z)

，即

,稱(z)為f(z)在B內的原函數.

上面定理表明是f(z)的一個原函數.設H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數，這表明：f(z)的任何兩個原函數相差一個常數.(見第二章§2例3)定義若函數(z)在區域B內的導數等于f(z)，2.積分計算公式定義設F(z)是f(z)的一個原函數，稱F(z)+c(c為任意常數)為f(z)的不定積分，記作定理設f(z)在單連通區域B內解析，F(z)是f(z)的一個原函數，則

此公式類似于微積分學中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數是解析的,比以前的連續條件要強2.積分計算公式定義設F(z)是f(z)的一個原例1計算下列積分：解1)

例1計算下列積分：解1)解)解)例3計算下列積分：例3計算下列積分：小結求積分的方法小結求積分的方法第七次課11月5日第七次課利用Cauchy-Goursat基本定理在多連通域上的推廣,即復合閉路定理,導出一個用邊界值表示解析函數內部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數的一個積分表達式，從而成為研究解析函數的有力工具，而且提供了計算某些復變函數沿閉路積分的方法.§5Cauchy積分公式利用Cauchy-Goursat基本定理在多連通域上的推廣,分析DCz0C1分析DCz0C1DCz0C1∴猜想積分DCz0C1∴猜想積分定理(Cauchy積分公式)證明定理(Cauchy積分公式)證明復變函數與積分變換課件

一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.一個解析函數在圓心處的值等于它在例1解例1解例2解CC1C21xyo例2解CC1C21xyo本節研究解析函數的無窮次可導性，并導出高階導數計算公式.研究表明：一個解析函數不僅有一階導數，而且有各階導數，它的值也可用函數在邊界上的值通過積分來表示.這一點與實變函數有本質區別.§6解析函數的高階導數本節研究解析函數的無窮次可導性，并導出高階導數計算公式.研形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明.形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明.定理證明用數學歸納法和導數定義.定理證明用數學歸納法和導數定義.令為I令為I復變函數與積分變換課件依次類推，用數學歸納法可得依次類推，用數學歸納法可得一個解析函數的導數仍為解析函數.一個解析函數的導數仍為解析函數.例1解例1解復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件

作業P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)

作業P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2

解析函數與調和函數的關系

解析函數與調和函數的關系

在§6我們證明了在D內的解析函數,其導數仍為解析函數,所以解析函數有任意階導數.本節利用這一重要結論研究解析函數與調和函數之間的關系.內容簡介§7解析函數與調和函數的關系在§6我們證明了在D內的解析函數,其導數內容簡定義定理定義定理證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區域D內解析，則證明：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說明：由解析的概念得：現在研究反過來的問題：上面定理說明：由解析的概念得：現在研究反過來的問題：如如復變函數與積分變換課件定理定理

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，

調和函數在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用.本節介紹了調和函數與解析函數的關系.調和函數在流體力學和電磁場理論等實際例1解曲線積分法例1解曲線積分法故

故又解湊全微分法又解湊又解偏積分法又解偏又解不定積分法又解不定第八次課11月12日第八次課1.復數列的極限

2.級數的概念第四章級數§1復數項級數1.復數列的極限第四章級數§1復數項級數1.復數列的極限定義又設復常數：定理1證明1.復數列的極限定義又設復常數：定理1證明復變函數與積分變換課件2.級數概念級數的前n項的和---級數的部分和不收斂---無窮級數定義設復數列：

2.級數概念級數的前n項的和---級數的部分和不收斂---例1解定理2證明例1解定理2證明

由定理2，復數項級數的收斂問題可歸之為兩個實數項級數的收斂問題.性質定理3證明由定理2，復數項級數的收斂問題可歸之為性質定理3證明

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4解例2：P108解例2：P108例3解練習(P108,例1)：例3解練習(P108,例1)：1.冪級數概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數的運算和性質§2冪級數1.冪級數概念§2冪級數1.冪級數的概念定義設復變函數列：稱為復變函數項級數級數的最前面n項的和級數的部分和

1.冪級數的概念定義設復變函數列：稱為復變函數項級數級數的若級數(1)在D內處處收斂，其和為z的函數---級數(1)的和函數特殊情況，在級數(1)中稱為冪級數若級數(1)在D內處處收斂，其和為z的函數---級數(1)的2.收斂定理同實變函數一樣，復變冪級數也有所謂的收斂定理：定理1阿貝爾(Able)定理討論P142：52.收斂定理同實變函數一樣，復變冪級數也有所謂的收斂定理證明證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數都收斂，級數(3)在復平面上處處收斂.(ii)除z=0外，對所有的正實數都是發散的，這時，級數(3)在復平面上除z=0外處處發散.(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，顯然，<否則，級數(3)將在處發散.將收斂部分染成紅色，發散部分染成藍色，逐漸變大，在c內部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍色，紅、藍色不會交錯.故播放顯然，<否則，級數(3)將在處發散.將收斂部分染成紅復變函數與積分變換課件

(i)冪級數在收斂圓內部收斂，在收斂圓外部發散，在圓周上可能收斂可能發散，具體問題要具體分析.定義紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數的收斂圓；圓的半徑R叫做冪級數的收斂半徑.(ii)冪級數(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.(i)冪級數在收斂圓內部收斂，在收斂圓外定義紅藍兩色的4.收斂半徑的求法

定理2(比值法)證明4.收斂半徑的求法定理2證明復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件

定理3(根值法)

定理2(比值法)定理3定理2第九次課11月19日第九次課例1：P111解

綜上例1：P111解綜上例2求下列冪級數的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數收斂該級數發散p=1p=2該級數在收斂圓上是處處收斂的.例2求下列冪級數的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解

綜上該級數發散.該級數收斂，綜上該級數發散.該級數收斂，故該級數在復平面上是處處收斂的.故該級數在復平面上是處處收斂的.5.冪級數的運算和性質

代數運算

---冪級數的加、減運算---冪級數的乘法運算5.冪級數的運算和性質代數運算---冪級數的加、減運算---冪級數的代換(復合)運算

冪級數的代換運算在函數展成冪級數中很有用.例3：P116解代換---冪級數的代換(復合)運算冪級例3：P116解代解代換展開還原解代換展開還原

分析運算

定理4---冪級數的逐項求導運算---冪級數的逐項積分運算分析運算定理4---冪級數的逐項求導運算---冪級數的逐

作業P10330(1)(2),31P1411(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)作業P10330(1)(2),311.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數的泰勒展開式§3泰勒(Taylor)級數1.泰勒展開定理§3泰勒(Taylor)級數1.泰勒(Taylor)展開定理現在研究與此相反的問題：一個解析函數能否用冪級數表達?(或者說,一個解析函數能否展開成冪級數?解析函數在解析點能否用冪級數表示？）由§2冪級數的性質知:一個冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數.以下定理給出了肯定回答：任何解析函數都一定能用冪級數表示.1.泰勒(Taylor)展開定理現在研究與此相反的問題：由定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得定理（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得DkzDkz---(*)得證！---(*)得證！證明(不講)證明(不講)(不講)證明(不講)證明

2.展開式的唯一性結論解析函數展開成冪級數是唯一的，就是它的Taylor級數.利用泰勒級數可把解析函數展開成冪級數，這樣的展開式是否唯一？事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數:2.展開式的唯一性結論解析函數展開成冪級數是唯一的由此可見，任何解析函數展開成冪級數就是Talor級數，因而是唯一的.---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運用級數的代數運算、分析運算和已知函數的展開式來展開函數展開成Taylor級數的方法：由此可見，任何解析函數展開成冪級數就是Talor---直接法3.簡單初等函數的泰勒展開式例1解(P120)3.簡單初等函數的泰勒展開式例1解(P120)復變函數與積分變換課件

上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數展開成z的冪級數:解上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2(2)由冪級數逐項求導性質得：(2)由冪級數逐項求導性質得：

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負定理定理復變函數與積分變換課件第十次課第十次課??1.預備知識

2.雙邊冪級數

3.函數展開成雙邊冪級數

4.展開式的唯一性§4羅朗(Laurent)級數1.預備知識§4羅朗(Laurent)級數

由§3

知,f(z)在z0

解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域z-z0<R內展開成z-z0的冪級數.若f(z)在z0點不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數，但如果在圓環域R1<z-z0<R2

內解析，那么，f(z)能否用級數表示呢？例如，P127由§3知,f(z)在z0解析由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內解析,f(z)可以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項,即由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2內

本節將討論在以z0為中心的圓環域內解析的函數的級數表示法.它是后面將要研究的解析函數在孤立奇點鄰域內的性質以及定義留數和計算留數的基礎.本節將討論在以z0為中心的圓環域內解析1.預備知識Cauchy積分公式的推廣到復連通域---見第三章第18題P101Dz0R1R2rRk1k2D1z1.預備知識Cauchy積分公式的推廣到復連通域---見2.雙邊冪級數---含有正負冪項的級數定義形如---雙邊冪級數正冪項(包括常數項)部分：負冪項部分：2.雙邊冪級數---含有正負冪項的級數定義形如---雙級數(2)是一冪級數，設收斂半徑為R2，則級數在z-z0=R2內收斂，且和為s(z)+;在z-z0=R2外發散.

級數(2)是一冪級數，設收斂半徑為R2，則級數在z0R1R2z0R2R1z0R1R2z0R2R1

(2)在圓環域的邊界z-z0=R1,

z-z0=R2上,(2)在圓環域的邊界z-z0=R1,z-3.函數展開成雙邊冪級數定理3.函數展開成雙邊冪級數定理證明由復連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2證明由復連通域上的CauchyDz0R1R2rRk1k2復變函數與積分變換課件式(*1),(*2)中系數cn的積分分別是在k2，k1上進行的，在D內取繞z0的簡單閉曲線c，由復合閉路定理可將cn寫成統一式子：證畢！級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分.式(*1),(*2)中系數cn的積分分別是在k2，k1上進

(2)在許多實際應用中，經常遇到f(z)在奇點

z0的鄰域內解析，需要把f(z)展成級數，那么就利用洛朗（Laurent）級數來展開.(2)在許多實際應用中，經常遇到f(z)在奇點4.展開式的唯一性結論一個在某一圓環域內解析的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f(z)的洛朗級數.事實上，Dz0R1R2c4.展開式的唯一性結論一個在某一圓環域內解析的函數Dz0R1R2cDz0R1R2c

由唯一性，將函數展開成Laurent級數，可用間接法.在大多數情況，均采用這一簡便的方法求函數在指定圓環域內的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數的方法.例1解由唯一性，將函數展開成Laurent級數，可例1解例2解例3解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12P132例4xyo12xyo12xyo12P132解:沒有奇點解:沒復變函數與積分變換課件注意首項注意首項(2)對于有理函數的洛朗展開式，首先把有理函數分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數，經計算展成需要的形式.小結：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數的方法：(2)對于有理函數的洛朗展開式，首先把有理小結：把f(z)解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習：(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習：

(2)根據區域判別級數方式：在圓域內需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數，在環域內需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數.(2)根據區域判別級數方式：

(3)Laurent級數與Taylor級數的不同點：

Taylor級數先展開求R,找出收斂域.

Laurent級數先求f(z)的奇點，然后以z0

為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使f(z)解析的環，在環域上展成級數.(3)Laurent級數與Taylor級數的不同點：計算沿封閉路線積分中的應用P135計算沿封閉路線積分中的應用P135復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件復變函數與積分變換課件作業P14312(1)(3),16(2)(3)作業P14312(1)(3),16(2)(3)326復變函數與積分變換1復變函數與積分變換327第一章復數與復變函數2第一章復數與復變函數3281.復數的概念

2.代數運算

3.共軛復數§1復數及其代數運算31.復數的概念§1復數及其代數運算329

一般,任意兩個復數不能比較大小.1.復數的概念

定義對任意兩實數x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數.復數z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

復數的模

判斷復數相等4一般,任意兩個復數不能比較大小.1.復數的概念定330定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數運算四則運算5定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差331z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規律復數的運算滿足交換律、結合律、分配律.（與實數相同）即，6z1+z2=z2+z1；運算規律復數的運算滿足交換律、結合332共軛復數的性質3.共軛復數定義若z=x+iy,稱z=x-iy

為z的共軛復數.(conjugate)7共軛復數的性質3.共軛復數定義若z=x+iy,33383341.點的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數表示法§2復數的表示方法91.點的表示§2復數的表示方法3351.點的表示點的表示：

數z與點z同義.101.點的表示點的表示：數z與點z同義.3362.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復數z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數稱為復數z=x+iy的輻角.(z≠0時)112.向量表示法337輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz.

z=0時，輻角不確定.

計算argz(z≠0)

的公式12輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其338

當z落于一,四象限時，不變.

當z落于第二象限時，加.