第2節一元二次不等式及其解法第2節一元二次不等式及其解法1考綱展示考綱解讀1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖.1.一元二次不等式的解法在高考中占有重要地位，選擇題、填空題、解答題均有可能出現．單獨考查時，常與集合、常用邏輯用語、函數、方程相結合，更多的時候是融于其他知識的問題中，作為工具考查．2.“三個二次”突出體現了二次不等式、二次方程、二次函數間的相互依賴關系，常用之求解方程的根的分布問題，函數的零點討論問題，恒成立問題等等.考綱展示考綱解讀1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．2一元二次不等式課件3一元二次不等式課件4一元二次不等式課件5(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax2＋bx＋c<0(a≠0))，一般先化a為正，則ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集是取“兩邊”，而ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集是取“中間”．(2)由上表知x1和x2擔負三個角色：不等式解區間的端點，相應方程的兩根、相應函數圖象與x軸交點的橫坐標．(3)對于ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax2＋bx＋c<0(a≠0))恒成立問題，可結合函數圖象解決．(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax63．用一個流程圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法是：3．用一個流程圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a7一元二次不等式課件8一元二次不等式課件9一元二次不等式課件10一元二次不等式課件11一元二次不等式的解法【例1】已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.思路點撥：(1)先化簡不等式為標準形式，再依據解集確定a的符號，然后利用根與系數的關系列出a，b的方程組，求a，b的值．(2)所給不等式含有參數c，因此需對c討論寫出解集．一元二次不12一元二次不等式課件13(1)解一元二次不等式時，當二次項系數為負時要先化為正，再根據判別式符號判斷對應方程根的情況，然后結合相應二次函數的圖象寫出不等式的解集．(2)解含參數的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據二次項系數的符號進行分類，其次根據根是否存在，即Δ的符號進行分類，最后在根存在時，根據根的大小進行分類．變式探究11：解不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a2<0(a<0)．解：(1)原不等式?16x2－8x＋1≥0?(4x－1)2≥0，∴x∈R，所以解集為R.(2)原不等式?(x＋a)(x－3a)<0，∵a<0，∴3a<－a，∴解集為{x|3a<x<－a}．(1)解一元二次不等式時，當二次項系數為負時要先化為正，再根14一元二次不等式課件15一元二次不等式課件16一元二次不等式課件17一元二次不等式恒成立問題

【例3】已知不等式mx2－2x＋m－2<0.(1)若對于所有的實數x不等式恒成立，求m的取值范圍；(2)設不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．思路點撥：(1)討論m是否為零，再結合二次函數的圖象求解；(2)看作關于m的一次函數，利用其單調性求解．一元二次不18一元二次不等式課件19一元二次不等式課件20一元二次不等式的應用【例4】某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？思路點撥：(1)依據“年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量”寫出；(2)年利潤有增加，即y－(12－10)×10000>0，解此不等式即可得x的范圍．解：(1)由題意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000.(0<x<1)

21一元二次不等式課件22一元二次不等式課件23一元二次不等式課件24一元二次不等式課件25一元二次不等式課件26【選題明細表】知識點、方法題號一元二次不等式的解法1、2、3、4、7、9分式不等式的解法8恒成立問題6、11二次不等式與其他知識結合5、10【選題明細表】知識點、方法題號一元二次不等式的解法1、2、327一、選擇題1．不等式x2>x的解集為(

D

)(A)(－∞，0)(B)(0,1)(C)(1，＋∞)(D)(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：原不等式等價于x(x－1)>0，∴x>1或x<0，故選D.2．若集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x≥a}滿足A∩B＝{2}，則實數a等于(

A

)(A)2(B)1(C)0(D)－2解析：∵A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又∵A∩B＝{2}，∴a＝2.故選A.3．(2009年高考山東卷)在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數x的取值范圍為(

B

)(A)(0,2)(B)(－2,1)(C)(－∞，－2)∪(1，＋∞)(D)(－1,2)解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－2<x<1.故選B.一、選擇題28一元二次不等式課件29一元二次不等式課件30一元二次不等式課件316．若不等式x2－2ax＋a>0對一切實數x∈R恒成立，則關于t的不等式at2＋2t－3<1的解為(

B

)(A)(－3,1)(B)(－∞，－3)∪(1，＋∞)(C)?(D)(0,1)解析：不等式x2－2ax＋a>0對一切實數x∈R恒成立，則Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1，所以不等式at2＋2t－3<1轉化為t2＋2t－3>0，解得t<－3或t>1，故選B.6．若不等式x2－2ax＋a>0對一切實數x∈R恒成立，則關32二、填空題二、填空題33一元二次不等式課件34一元二次不等式課件35一元二次不等式課件36一元二次不等式課件37一元二次不等式課件38第2節一元二次不等式及其解法第2節一元二次不等式及其解法39考綱展示考綱解讀1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖.1.一元二次不等式的解法在高考中占有重要地位，選擇題、填空題、解答題均有可能出現．單獨考查時，常與集合、常用邏輯用語、函數、方程相結合，更多的時候是融于其他知識的問題中，作為工具考查．2.“三個二次”突出體現了二次不等式、二次方程、二次函數間的相互依賴關系，常用之求解方程的根的分布問題，函數的零點討論問題，恒成立問題等等.考綱展示考綱解讀1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．40一元二次不等式課件41一元二次不等式課件42一元二次不等式課件43(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax2＋bx＋c<0(a≠0))，一般先化a為正，則ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集是取“兩邊”，而ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集是取“中間”．(2)由上表知x1和x2擔負三個角色：不等式解區間的端點，相應方程的兩根、相應函數圖象與x軸交點的橫坐標．(3)對于ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax2＋bx＋c<0(a≠0))恒成立問題，可結合函數圖象解決．(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或ax443．用一個流程圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法是：3．用一個流程圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a45一元二次不等式課件46一元二次不等式課件47一元二次不等式課件48一元二次不等式課件49一元二次不等式的解法【例1】已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.思路點撥：(1)先化簡不等式為標準形式，再依據解集確定a的符號，然后利用根與系數的關系列出a，b的方程組，求a，b的值．(2)所給不等式含有參數c，因此需對c討論寫出解集．一元二次不50一元二次不等式課件51(1)解一元二次不等式時，當二次項系數為負時要先化為正，再根據判別式符號判斷對應方程根的情況，然后結合相應二次函數的圖象寫出不等式的解集．(2)解含參數的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據二次項系數的符號進行分類，其次根據根是否存在，即Δ的符號進行分類，最后在根存在時，根據根的大小進行分類．變式探究11：解不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a2<0(a<0)．解：(1)原不等式?16x2－8x＋1≥0?(4x－1)2≥0，∴x∈R，所以解集為R.(2)原不等式?(x＋a)(x－3a)<0，∵a<0，∴3a<－a，∴解集為{x|3a<x<－a}．(1)解一元二次不等式時，當二次項系數為負時要先化為正，再根52一元二次不等式課件53一元二次不等式課件54一元二次不等式課件55一元二次不等式恒成立問題

【例3】已知不等式mx2－2x＋m－2<0.(1)若對于所有的實數x不等式恒成立，求m的取值范圍；(2)設不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．思路點撥：(1)討論m是否為零，再結合二次函數的圖象求解；(2)看作關于m的一次函數，利用其單調性求解．一元二次不56一元二次不等式課件57一元二次不等式課件58一元二次不等式的應用【例4】某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應地提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？思路點撥：(1)依據“年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量”寫出；(2)年利潤有增加，即y－(12－10)×10000>0，解此不等式即可得x的范圍．解：(1)由題意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0<x<1)整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000.(0<x<1)

59一元二次不等式課件60一元二次不等式課件61一元二次不等式課件62一元二次不等式課件63一元二次不等式課件64【選題明細表】知識點、方法題號一元二次不等式的解法1、2、3、4、7、9分式不等式的解法8恒成立問題6、11二次不等式與其他知識結合5、10【選題明細表】知識點、方法題號一元二次不等式的解法1、2、365一、選擇題1．不等式x2>x的解集為(

D

)(A)(－∞，0)(B)(0,1)(C)(1，＋∞)(D)(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：原不等式等價于x(x－1)>0，∴x>1或x<0，故選D.2．若集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x≥a}滿足A∩B＝{2}，則實數a等于(

A

)(A)2(B)1(C)0(D)－2解析：∵A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又∵A