PAGEPAGE11三角函數〔一〕三角函數的概念、同角誘導公式的簡單應用1、正角、負角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：.3、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角..4、弧長公式：.5、扇形面積公式：.6、=1\*GB3①設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：.=2\*GB3②設點為角終邊上任意一點，那么：〔設〕，，.7、，，在四個象限的符號和三角函數線的畫法.8、誘導公式:奇變偶不變，符號看象限9、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函數值.10、同角三角函數的根本關系式=1\*GB3①平方關系：sin2α+cos2α=1.=2\*GB3②商數關系：tanα=eq\f(sinα,cosα).【典型例題】[例1]角的終邊關于軸對稱，那么與的關系為.[例2]以下命題正確的是()A．小于90的角是銳角B．A＝{|=k180,kZ},B={|=k90,kZ}，那么Aeq\o(\s\up3(),\s\do3(≠))BC．95012是第三象限角D．，終邊相同，那么＝[例3]點P(tan,cos)在第三象限,那么角eq\f(,2)的終邊在第______象限[例4]eq\f(sinα+2cosα,3sinα-cosα)=2,求以下式子的值.①eq\f(1,sinαcosα)；②4sin2α3sinαcosα5cos2α[例5].〔1〕求tanx的值；〔2〕求的值.[例6]f()=eq\f(sin(n)cos(2)sin(eq\f(3,2)),cos()sin()),(1)化簡f()；(2)假設cos(eq\f(3,2))=eq\f(1,5),求f()的值．(3)假設α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值[例7]假設0<α<eq\f(,2),證明sin<<tan[例8]解不等式組eq\b\lc\{(\a\al\vs(sinx>eq\f(1,2),cosx<eq\f(eq\r(2),2)))【課堂練習】1.銳角終邊上一點A的坐標為(2cos3,2sin3),求角的弧度數.2.sineq\f(,2)=eq\f(3,5),coseq\f(,2)=eq\f(4,5),試確定角所在的象限3.角的終邊過點P(4m,－3m)〔m≠0〕，那么2sin+cos=()A.1或者－1B.eq\f(2,5)或者－eq\f(2,5)C.1或者－eq\f(2,5)D.－1或者eq\f(2,5)4.sinα+cosα=eq\f(1,5),且α∈(0,π),那么sinαcosα=.sinα－cosα=.sin3α+cos3α=5．f(α)=eq\f(sin(π-α)cos(2π-α),cos(-π-α)tanα),那么f(-eq\f(31,3))=.6.是第三象限角，化簡7.=2，求〔1〕的值；〔2〕的值8．假設集合，，那么=__三角函數〔二〕三角變換及求值【知識梳理】1．兩角和與差的三角函數；；。2．二倍角公式；；。3．三角函數式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。〔2〕化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數。〔1〕降冪公式；；。〔2〕輔助角公式，。4．三角函數的求值類型有三類〔1〕給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；〔2〕給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角〞，如等，把所求角用含角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；〔3〕給值求角：實質上轉化為“給值求值〞問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角。【典型例題】[例1]化簡(1)sin(eq\f(,4)3x)cos(eq\f(,3)3x)cos(eq\f(,6)+3x)sin(eq\f(,4)+3x)．(2)eq\r(1sin8)+eq\r(2+2cos8).[例2]求值(1)eq\f(cos15sin15,cos15+sin15)②.tan20+tan40+eq\r(3)tan20tan40[例3]sin(-eq\f(,4))=eq\f(7eq\r(2),10),cos2=eq\f(7,25),求sin及tan(+eq\f(,3))[例4](1)0<<eq\f(π,2)<<π，且cos()＝－eq\f(1,9)，sin()＝eq\f(2,3)，求cos()的值；(2)，∈(0，π)，且tan()＝eq\f(1,2)，tan＝－eq\f(1,7)，求2－的值．[例5][例6]求證:eq\f(1+sin2-cos2,1+sin2+cos2)=tan[例7]＝【課堂練習】1.cos(eq\f(,4)+x)=eq\f(3,5),eq\f(17,12)<x<eq\f(7,4)，求eq\f(sin2x+2sin2x,1-tanx)的值.2.求證：eq\f(sin(2+),sin)2cos(+)=eq\f(sin,sin)3.eq\f(3,4)<<,tan+eq\f(1,tan)=eq\f(10,3)．求tan的值；求eq\f(5sin2eq\f(,2)+8sineq\f(,2)coseq\f(,2)+11cos2eq\f(,2)-8,eq\r(2)sin(-eq\f(,4)))的值．4．sin163sin223+sin253sin313=()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,2) C．eq\f(eq\r(3),2) D．eq\f(eq\r(3),2)5．tan(+)=eq\f(2,5),tan(eq\f(,5))=eq\f(1,4),那么tan(+eq\f(,5))的值為()A．eq\f(3,18) B．eq\f(3,18) C．eq\f(13,12) D．eq\f(3,22)6．化簡2eq\r(1sin8)+eq\r(2+2cos8)為()A．2sin44cos4 B．2sin44cos4 C．2sin4 D．4cos42sin47.如圖在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓交于A、B兩點，A、B的橫坐標分別為eq\f(\r(2),10)、eq\f(2\r(5),5).(1)求tan()的值；(2)求的值三角函數〔三〕三角函數的圖象、性質【知識梳理】1．圖象求函數y=Asin(ωx+φ)〔A＞0，ω＞0〕的解析式時，常用的方法是待定系數法。由圖中的最大、最小值求出A，由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標來確定φ的值。2．五點法作y=Asin(ωx+φ)的簡圖：五點取法是設x=ωx+φ，由x取0、eq\f(,2)、π、eq\f(3,2)、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。3．函數y=Asin(ωx+φ)＋B〔A＞0，ω＞0〕最大值是A＋B，最小值是B－A，周期是T＝eq\f(2,ω)，，相位是ωx+φ，初相是φ；其圖象的對稱軸是直線ωx+φ＝k+eq\f(,2)(k∈Z)，但凡該圖象與直線y=B的交點都是該圖象的對稱中心。y=Asin(ωx+φ)為奇函數φ=kπ(k∈Z)為偶函數φ=kπ+(k∈Z)，y=Acos(ωx+φ)為奇函數φ=kπ+(k∈Z)為偶函數φ=kπ(k∈Z)4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋φ)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量〞起多大變化，而不是“角變化〞多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(φ＞0)或向右(φ＜0＝平移｜φ｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的eq\f(1,ω)倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋φ)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變為原來的eq\f(1,ω)倍(ω＞0)，再沿x軸向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移eq\f(φ,ω)個單位，便得y＝sin(ωx＋φ)的圖象。5．求三角函數的單調區間：一般先將函數式化為根本三角函數的標準式，要特別注意A、的正負利用單調性三角函數大小一般要化為同名函數,并且在同一單調區間；6．求三角函數的周期的常用方法：經過恒等變形化成“y=Asin(ωx+φ)＋B、y=Acos(ωx+φ)＋B〞的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。7.三角函數的值域的求法：除應用函數求值域的方法外，常用以下方法：配方法、有界性、換元法、數形結合、不等.具體求解時，特別要注意角的范圍及函數本身的有界性.常出現的有：①y=a·sinx+b——利用三角函數的有界性；②y=a·cosx+bsinx——轉化成同名函數利用三角函數的有界性；③y=a·cos2x+b·cosx+c——換元轉化為二次函數值域；④y=eq\f(a·sinx+c,b·sinx+d)——〔法一〕反解sinx；〔法二〕別離常數法⑤y=eq\f(a·sinx+c,b·cosx+d)(xR)——〔法一〕化為sin(x+)=f(y)形式,然后利用|sin(x+)|=|f(y)|≤1求之．〔法二〕數形結合⑥y=sinxcosx與sinxcosx同時出現時——換元，令sinxcosx＝t求出sinxcosx=eq\f(t2-1,2)(注意t的取值范圍)，函數轉化為關于t的二次函數或其它形式的函數．【典型例題】yo1eq\f(,6)eq\f(2,3)[例1]函數f(x)=2sinx(sinx+cosx),在直角坐標系中，畫出函數y=f(x)在區間[－eq\f(,2),eq\f(yo1eq\f(,6)eq\f(2,3)[例2]定義在區間上的函數的圖像關于直線對稱，當時，函數，其圖像如下圖.〔1〕求函數在的表達式；〔2〕求方程的解.【例3】求函數y=eq\r(2cos2x+3cosx1)+lg(36x2)的定義域【例4】寫出以下函數的值域(最值及此時x的值)(1)y=cos2x+2sinx；(2)y=sinx+cosxx∈[0,]；(3)y=eq\f(3sinx+1,sinx+2).(4)y=eq\f(\r(3)sinx,2+cosx)(5)y=sinxcosx+sinx+cosx【例5】求以下函數周期(1)y=|sinx|+|cosx|(2)y=(1+eq\r(3)tanx)cosx(3)y=sin(x-eq\f(,4))cos(eq\f(,3)-x)〔4〕y=eq\f(sin2x+sin(2x+eq\f(,3)),cos2x+cos(2x+eq\f(,3)))；〔5〕f(x)=eq\f(sin4x+cos4x+sin2xcos2x,2-sin2x)第七題圖【例6】.y=3sin(eq\f(,3)2x)單調遞減區間是.單調遞增區間是___________第七題圖【例7】在區間［－eq\f(,6),eq\f(5,6)］為了得到這個函數的圖象，只要將的圖象上所有的點(A)向左平移eq\f(,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標不變(B)向左平移eq\f(,3)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變(C)把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍,縱坐標不變，再向左平移eq\f(,6)個單位長度，(D)把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移eq\f(,6)個單位長度【例8】函數f(x)=sin(x+)(>0,Z,0≤≤)是R上的偶函數，其圖象關于點(eq\f(3,4)，0)對稱，且在區間[0,eq\f(,2)]上是單調函數，求和的值．【例9】是正實數，函數f(x)=2sinx在區間[eq\f(,3),eq\f(,4)]上遞增，那么()A．0<≤eq\f(3,2) B．0<≤2 C．0<≤eq\f(14,7) D．≥2【例10】方程lgeq\f(x,2)=sinx(x>0)的解的個數＿＿＿＿＿＿個【例11】函數f(x)=sin(2x+eq\f(,6))-cos(2x+eq\f(,3))+2cos2x.〔1〕求f(eq\f(,12))的值；〔2〕求f(x)的最大值及相應的值〔2〕求求函數f(x)在區間[0,eq\f(2,3)]上的取值范圍。【課堂練習】1.為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像〔A〕向左平移個長度單位〔B〕向右平移個長度單位〔C〕向左平移個長度單位〔D〕向右平移個長度單位2.設>0,函數y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，那么的最小值是〔A〕(B)(C)(D)33.函數的局部圖象如題〔6〕圖所示，那么A.=1，B.=1，C.=2，D.=2，4.設函數，那么在以下區間中函數不存在零點的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.函數y=lgsin(eq\f(,6)2x)的單調遞減區間為()A．[keq\f(,6),k+eq\f(,3)),(kZ) B．[keq\f(,6),k+eq\f(,12)),(kZ)C．[keq\f(,3),k+eq\f(5,6)),(kZ) D．[keq\f(7,12),k+eq\f(5,6)),(kZ)6.f(x)=2cosxsin(x+eq\f(,3))eq\r(3)sin2x+sinxcosx.(1)求函數的最小正周期；(2)求f(x)的最大值與最小值.7.函數f(x)=2sinωxcosωx-2cos2ωx(xR,ω>0)，相鄰兩條對稱軸之間的距離等于eq\f(,2)．〔Ⅰ〕求f(eq\f(,4))的值；〔Ⅱ〕當x[o,eq\f(,2)]時，求函數f(x)的最大值和最小值及相應的x值．三角函數〔四〕解斜三角形【知識梳理】解斜三角形的主要依據是：設△ABC，角A，B，C的對邊為a，b，c，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，面積為S，那么①角的關系：A+B+C=；②邊的關系：a+b>c,b+c>a,c+a>b;③邊角關系：正弦定理，余弦定理a2=b2+c2－2bccosA等。④三角形的形狀：△ABC〔設a<b<c〕為銳角三角形a2+b2>c2；△ABC〔設a<b<c〕為直角三角形a2+b2=c2；△ABC〔設a<b<c〕為鈍角三角形a2+b2<c2；∠A的平分線AE〔E∈BC〕滿足：eq\f(BE,EC)=eq\f(AB,AC)；⑤面積：S=重要結論〔1〕在△ABC中，sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；〔2〕〔3〕在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數列且a，b，c成等比數列。〔4〕③在銳角三角形△ABC中，A+B>eq\f(,2),sinA>cosB,sinB>cosA,…〔5〕在解三角形時，三角形內角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角〔或直角〕，這往往造成有兩解，應注意分類討論，但三角形內角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，假設有求角問題，應盡量防止求正弦值。常見數據【典型例題】［例1］，那么“〞是“〞的〔〕A、充分不必要條件；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.［例2］〔1〕△ABC三邊成等差數列，求B的范圍；〔2〕△ABC三邊成等比數列，求角B的取值范圍.［例3］在中，。求的面積.［例4］E，F是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，那么〔〕A.B.C.D.［例5］在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且〔Ⅰ〕求角B的大小〔Ⅱ〕假設，求△ABC的面積.[例6]在ABC中，(a+b+c)(b+ca)=3bc,且sinA=2sinBcosC,試確定ABC的形狀[例7]在海岸A處，發現北偏東45°方向，距離A(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【課堂練習】1．假設△的三個內角滿足，那么△ABC〔A〕一定是銳角三角形.〔B〕一定是直角三角形.〔C〕一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2ABC中,角A,B都是銳角,且cosA>sinB.那么ABC的形狀是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形3.在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，假設a2-b2=eq\r(3)bc,sinC=2eq\r(3)sinB，那么A=〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．在△ABC中，a=15,b=10,A=60°，那么cosB=A－eq\f(2eq\r(2),3)Beq\f(2eq\r(2),3)C－eq\f(eq\r(6),3)Deq\f(eq\r(6),3)5.在△ABC中，假設sinA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，那么sinC＝________6.△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a,b,c，a,b,c成等比數列，且cosB=eq\f(3,4).〔1〕求eq\f(1,tanA)+eq\f(1,tanC)的值；〔2〕設eq\o(BA,\s\up6(→))eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，求a+c的值.7.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5〔3+eq\r(3)〕海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D處有一貨船遇險，在B點南偏西60°，且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？17、〔本小題總分值12分〕如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=eq\r(3)，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°(1)假設PB=eq\f(1,2)，求PA；(2)假設∠APB＝150°，求tan∠PBA平面向量【知識梳理】1幾個概念：零向量、單位向量(與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量是±eq\f(eq\o(AB,\s\up6(→)),∣eq\o(AB,\s\up6(→))∣)，特別：〔〔eq\f(eq\o(AB,\s\up6(→)),∣eq\o(AB,\s\up6(→))∣)＋eq\f(eq\o(AC,\s\up6(→)),∣eq\o(AC,\s\up6(→))∣)〕⊥〔eq\f(eq\o(AB,\s\up6(→)),∣eq\o(AB,\s\up6(→))∣)－eq\f(eq\o(AC,\s\up6(→)),∣eq\o(AC,\s\up6(→))∣)〕)、平行(共線)向量(無傳遞性，是因為有eq\o(0,\s\up3(→)))、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、2.向量的平行與垂直：設eq\o(a,\s\up3(→))=(x1,y1),eq\o(b,\s\up3(→))=(x2,y2)，且eq\o(b,\s\up3(→))eq\o(0,\s\up3(→))，那么：兩非零向量平行(共線)的充要條件eq\o(a,\s\up3(→))∥eq\o(b,\s\up3(→))eq\o(a,\s\up3(→))=eq\o(b,\s\up3(→))(eq\o(a,\s\up3(→))eq\o(b,\s\up3(→)))2=(eq\o(a,\s\up3(→))eq\o(b,\s\up3(→)))2x1y2-x2y1=0.兩個非零向量垂直的充要條件eq\o(a,\s\up3(→))⊥eq\o(b,\s\up3(→))eq\o(a,\s\up3(→))eq\o(b,\s\up3(→))=0=(eq\o(a,\s\up3(→))+eq\o(b,\s\up3(→))=eq\o(a,\s\up3(→))-eq\o(b,\s\up3(→)))2x1x2+y1y2=0..特別：零向量和任何向量共線.eq\o(a,\s\up3(→))=eq\o(b,\s\up3(→))是向量平行的充分不必要條件!3.a·b=|a||b|cos<a,b>=xx2+y1y2；注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影。即：；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；=2\*GB3②a·b的幾何意義：a·b等于|a|與b在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。4.三點共線的充要條件：P，A，B三點共線；常見三角形中的性質：?ABC中，G為?ABC的重心；特別為?ABC的重心.為?ABC的垂心；所在直線過?ABC的內心(是的角平分線所在直線)；【典型例題】［例1］以下命題：〔1〕假設，那么〔2〕假設共線，那么〔3〕假設，那么〔4〕假設，那么∥.其中正確的是_______［例2］以下命題：=1\*GB3①=2\*GB3②.=3\*GB3③是夾角為鈍角的必要非充分條件；其中正確的是_______［例3］eq\o(a,\s\up6(→))=(,2)，eq\o(b,\s\up6(→))=(3,2)，如果eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))的夾角為銳角，那么的取值范圍是［例4］△ABC是等腰直角三角形，C=90，AC＝BC＝2，那么eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(BC,\s\up6(→))=［例5］兩點A(3,1),B(-1,3),假設點C滿足eq\o(OC,\s\up6(→))=1eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→)),其中1,2R且1+2=1,那么點C的軌跡是____［例6］在ΔAOB的邊OA、OB上分別有P、Q，OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，連結AQ、BP，設它們交于點R，假設eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(a,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(b,\s\up6(→))(1)用eq\o(a,\s\up6(→))、eq\o(b,\s\up6(→))表示eq\o(OR,\s\up6(→))〔2〕延長OR交AB于S，求AS：SB［例7］OFQ的面積為S，且eq\o(OF,\s\up6(→))eq\o(FQ,\s\up6(→))=1，假設eq\f(1,2)<S<eq\f(eq\r(3),2)，求eq\o(OF,\s\up6(→)),eq\o(FQ,\s\up6(→))夾角的取值范圍［例8］假設O是?ABC所在平面內