019-2020

年高中數學

3.4基本不等式第

1課時授課設計新人教

A版必修

5【授課目的】1學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號

取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；.過程與方法：經過實例研究抽象基本不等式；3.神情與價值：經過本節的學習，領悟數學本源于生活，提高學習數學的興趣【授課重點】應用數形結合的思想理解不等式，并從不同樣角度研究不等式的證明過程；【授課難點】基本不等式等號成立條件【授課過程】1.課題導入KM2M2基本不等式的幾何背景：*研究：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標,會標是依照中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上1k'ljii去象一個風車，代表中國人民熱情好客。Ainpcf2tK?8.2合作研究（1）問題1:你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關。系）提問2:我們把“風車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的長為、，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？生答：,提問3：那4個直角三角形的面積和呢？生答：提問4:好，依照觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得簡單獲取一個不等式，。什么時候這兩部分面積相等呢？生答：當直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形EFGH變成一個點，這時有結論：（板書）一般地，對于任意實數、，我們有，當且僅當時，等號成立。提問5:你能給出它的證明嗎？（學生試一試證明后口答，老師板書）證明：a2b2-2ab=(a-b)2,當a=b時,(a-b)20,當a=b時,(a-b)2=0,因此注意重申當且僅當時，⑵特別地，若是a0,b0,用的和分別代替a、b,可得a,也可寫成'-品乞色步@0,b0）,引導學生利用不等式的性質推導（板書，請學生登臺板演）:要證：①即證_______②要證②,只要證________③要證③,只要證(-__________________)④顯然，④是成立的，當且僅當時，④的等號成立(3)觀察圖形3.4-3,獲取不等式①的幾何講解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數研究：課本中的“研究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b過點C作垂直于AB的弦DE連接ADBD你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何講解嗎？易證t△ACARt△DCB,那么CD2=CA-CB即CD=.R這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD即,其中當且僅當與圓心重合，即a=b時，等號成立.點C因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”議論：1.若是把看作是正數a、b的等差中項，看作是正數a、等比中項，那么該定理可以表達為：兩個正數的等差中項不小于它們的的等比中項1若且，則以下四個數中最大的是2x???>0,>0,A.B.()C.2abD.a2a,b是正數，則三個數的大小序次是A.B.C.D.答案BC例題解析：已知x、y都是正數，求證：>2;(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>8x3y3.解析：在運用定理：時，注意條件a、b均為正數,結合不等式的性質(掌握好每條性質成立的條件)，進行變形?解：???x,y都是正數>0,(1)=2即》2.(2)x+y>2>022x+y>2>022x3+y333???(')>2?2?2=8xyx+y)(x+y)(即學即練：即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>8x3y3.變式訓練：X>0,當X取何值時X+有最小值，最小值是多少解析：因為X>0,+>2=2當且僅當X=時即x=1時有最小值2議論：此題恰好吻合基本不等式的用法，1正2定3相等可以詳盡講解每一項的意思。當堂檢測:1.以下表達中正確的選項是( )兩個數的算術平均數不小于它們的幾何平均數兩個不等正數的算術平均數大于它們的幾何平均數若兩個數的和為常數，則它們的積有最大值若兩個數的積為常數，則它們的和有最小值(A)1???y有最小值2y=x+->2x(B)4?y有最小值4yTsinx|+|sinx|jsinx|=4,麗可>2(C)y=x(-2x+3)w(x—2x—2x+3得x=1,，又由2+3=x2))12下面給出的解答中，正確的選項是(一11+32x=2，y有最大值-當x=1時，y有最大值(一2一)=1(D)=3—x—9).，貝的最小值為3x+-+33.x>0(Ux(A)4(B)7(C)8(D)114.設函數f(x)=2x+—1(v),則f(x)(10)xx.(D)是減函(A)有最大值(B)有最小值(C)是增函數數1B2.D3B4.A2019-2020年高中數學3.4基本不等式課時作業19新人教A版必修5281.若x>0,y>0,且+=1,則xy有( )xy1A.最大值64B.最小值—641C.最小值D.最小值64解析：xy=xy￡+8L2y+8x寸2y=^xy,^Jxy>8,即xy>64,當且僅當門ox=4即｛時等號成立.12y=8x,y=16.x>0,y>0,答案：D2.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是(4)D.11A.32解析:8—x???x+2y+2xy=8,「.y=2x+2>0,8—x???—=(x+1)當且僅當答案：B

1<x<8,「.x+2y=x+2?2x+29,9+--------2>2x+1*x+1—2=4,x+1x9xy+1=------時"=”成立，此時=2,=1.113.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0，貝U+」的最小值是( )abA.4'a>0,解析:a>0,b>0,ln(a+b)=0，得』b>0,(a1a+ba+bba+:barr1「卄"-+2+b+產2+2、t曠4，當且僅當a=b=尹，取等號.b=1,1?-+.=aba答案：C4.已知x+3y—2=0,貝U3x+27y+1的最小值是()A.339B.1+22C.6D.7___解析：?/3x+27y+1=3x+33y+1>23x+3y+1=2X3+1=7,當且僅當3x=33y且x+3y—21=0,即卩x=1,y=3時，等號成立，?所求最小值為7.答案：D5.設皿是厶ABC內一點，且△ABC的面積為1，定義(=(,p)，其中mn、p分(1fMmn14別是△MBC^MCA^MAB勺面積，若f(M=g,x,y丿，則-+丁勺最小值是()A.8B.9C.16D.18111解析：△ABC的面積為△MBC^MCA^MAB勺面積之和，?-+x+y=1,即x+y=-，-解析：xy=xy￡+8L2y+8x寸2y=^xy,^Jxy>8,22x4110+爭+務佩當且僅當x=；,y=1時等號成立.+■-=_+、x+2y)=yXy答案：6?a>b>c>0,則2a2+10ac+25c2Ob-4的最小值是（設abA.2）C.25D.5解析：■/a>b>c>0,原式=1222110ac+25c+a=a—ab+aa—b—ab+ab+(a—5c)2>2+2+0=4,=：當且僅當a(a—b)=1,ab=1,a—5c=0時取等號.即當a2,b=^,c=

，所求式的最小值為4.答案：B7.函數y=a—(a>0,a*1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny—1=0(mn>0)上，11貝ym+n的最小值為______解析：函數y=a(1—x)(a>0,a*1)的圖象恒過定點A(1,1),因為點A在直線m灶ny=1上,因此m+n=1.又因為mr>0,111111因此一+-=+?1=+(m+n)mn0n/0n,nm=2+-+2+2=4.mn當且僅當m=n時，取等號.答案：4x8.若對任意的x>0,x2+3x+廣a恒成立，則x解析：依照題意，令f（x）=1111三2+3=5,當且僅當x=1時，獲取最大值答案：a>15

的取值范圍是-----------------111,???x>0,「.x+->2,「.f(x)=1x1x+-+3x+-+3xx5.若使不等式恒成立，只要a>5即可.9.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:1++1；>9.b證明：方法一：因為a>0,b>0,a+b=1,1因此a+bb“e1a---=2+.同理1+「=2+.,abb1+a=1+故”a)所1+b=|2+匚||2+二=5+2魯+b卜5+4=9.以”D1+bL.b當且僅當a=b=1時取等號.1111a+b1+b=1+a+b+ab=1+a+T+荷方法二:

1+ab因為a,b為正數，a+b=1,12ab》4,ab》8,9當且僅當x=y=2時，等號成立.x+210.已知函數y=-2（X>—1一）.(1)求的取值范圍.2yx+x+1當x為何值時，y取何最大值？解：⑴設x+2=t,x=t—2,t>0(x>—2),“2“1x+x+1t—+1t-3t+331貝H_=>2t=t+t—3y的取值范則yx+23—3,???圍為[23—3,+^].⑵欲使y最大，必有y最小，此時t=亍，t=■3,x=”3—2,y=—-3,???當x='3—2'3+32時，y最大，最大值為11.在厶ABC中，角小值為（）.3A.匚B.21C.2D.解析：由余弦定理得cosC=a2+b22ab1即》=4ab4ab2'答案：C

3.AB,C所對邊的長分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,則cosC的最11222_______________________________22222a+b—c=2abcosC.又c=?(a+b)，因此2abcosC=?(a+b),因此選C.12.設a+b=2,b>0,則當a=時，不一+甲獲取最小值.2|a1b”丄l小1|a|a+b|a|2|a|b4|a|b①當a>0時，即a?(0,2)時，1ba1ba15t=^++—》_+2?=—+1=4+4a+b4+：4ab4+14'ba當且僅當-=-,即卩b=2a時等號成立.4ab2又a+b=2,「.此時a=3.3②當a<0時，t=—+114a—b=—4+1=4,44a+-4+2當且僅當一ba4a=—b,即b=—2a時等號成立.又Ta+b=2,「?此時a=—2.綜上所述，當a=—2時，；；—+呼獲取最小值為3.2|a|b4答案：—213.如圖，已知小矩形花壇ABCDAB=3m,AD=2m，現要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN使點B在AM上，點D在ANLh,MN過點C且對角線要使矩形AMPN的面積大于32m2，AN的長應在什么范圍內？(2)MN可否存在這樣的地址，使矩形AMPN勺面積最小？若存在，求出這個最小面積及相應的

AMAN

的長度；若不存在，說明原由

.y—23?/△NDC^ANAM解：⑴設AM=x,AN=y(x>3,y>2)，矩形AMP的面積為S,則S=xy.3y23y28S=(y>2).由y—2>32，得2<y<3，或y>8.y—2J⑵當(8,+s)內.4當且僅當y—2=y^,