§6-1概述§6-2變形體系的虛功原理§6-3位移計算的一般公式單位荷載法§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算§6-5圖乘法§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算§6-7靜定結構支座移動時的位移計算§6-8線彈性結構的互等定理第六章結結構位位移計計算一、結結構的的位移移(DisplacementofStructures)1.結構的的位移移是指結結構上上的某某一截截面在在荷載載或其其它因因素作作用下下由某某一位位置移移動到到另一一位置置，這這個移移動的的量就就稱為為該截截面的的位移移（線線位移移和角角位移移）。。思考：：變形形與位位移的的差別別？變形：：結構構在外外部因因素作作用下下發生生的形形狀的的變化化。兩者之之間的的關系系：有形變變必有有位移移；有有位移移不一一定有有形變變。§6-1概述A位移轉角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉角P2.位移的的分類類§6-1概述截面C、D的相對對豎向向線位位移為為:截面C、D的相對對角位位移為為:§6-1概述AP引起結結構位位移的的原因因制造誤差等荷載溫度改變支座移動還有什什么原原因會使使結構構產生位移移?3.位移產產生的的原因因§6-1概述鐵路工工程技技術規規范規規定:二、計計算位位移的的目的的(1)剛度要要求在工程程上，，吊車車梁允允許的的撓度度<1/600跨度；；橋梁在在豎向向靜活載載下，鋼鋼板橋橋梁和和鋼桁桁梁最大撓撓度<1/700和1/900跨度高層建建筑的的最大大位移移<1/1000高度。。最大層層間位位移<1/800層高。。§6-1概述(2)超靜定定結構構、動動力和和穩定定計算算的基基礎(3）施工工要求求超靜定定結構構的內內力不不能僅僅由平平衡條條件確確定，，分析析時必必須考考慮變變形條條件，，因而而需要要計算算結構構的位位移。。在結構構的施施工過過程中中，常常需預預先知知道結結構變變形后后的位位置，，以便便采取取一定定的施施工措措施，，使結結構物物符合合設計計圖紙紙的要要求。。§6-1概述（3）理想想聯結結(IdealConstraint)。三、本本章章位移移計算算的假假定疊加原原理適適用（principleofsuperposition)(1)線彈性性(LinearElastic),(2)小變形形(SmallDeformation),§6-1概述本章只只討論論應用用虛功功原理理求解解結構構位移移。2.功能法法虛功原理理應變能(卡氏定理理)〈研究變形形和位移移的幾何何關系，，用求解解微分方方程式的的辦法求求出某截截面的位位移（材材料力學學用過，，但對復復雜的桿桿系不適適用）。。1.幾何法四、計計算方法法§6-1概述一、基本本概念實功：力在其本本身引起起的位移移上所作作的功。。位移Δ是由外力力F引起的，，F做的功可可表示為為:1.外力的實實功§6-2變形體系系的虛功功原理實功的數數值就等等于圖上上三角形形OAB的面積。。實功是外外力的非非線形函函數，計計算外力力實功不不能應用用疊加原原理。所以設線彈性性材料的的彈性系系數為k，則§6-2變形體系系的虛功功原理2.外力的虛虛功虛功：力在其它它原因引引起的位位移上所所作的功功，即做做功的力力系和相相應的位位移是彼彼此獨立立無關的的。虛功的數數值是位位移曲線線所圍的的矩形面面積。虛功中的的力與位位移兩者者相互獨獨立，計計算外力力虛功可可應用疊疊加原理理。§6-2變形體系系的虛功功原理力F1在力F2引起的位位移Δ12上作的功功為虛功功為例F1力在其引引起的位位移Δ11上作的功功為實功功為§6-2變形體系系的虛功功原理——結構產生生的各種種位移，，包括截截面的線線位移、、角位移移、相對對線位移移、相對對角位移移或者是是一組位位移等等等都可泛泛稱為廣廣義位移移。3.廣義位移移和廣義義力廣義位移移——與廣義位位移對應應的就是是廣義力力，可以以是一個個集中力力，集中中力偶或或一對大大小相等等方向相相反的力力或力偶偶，也可可以是一一組力系系。注意：廣廣義位移移與廣義義力的對對應關系系，能夠夠在某一一組廣義義位移上上做功的的力系，，才稱為為與這組組廣義位位移對應應的廣義義力。廣義力§6-2變形體系系的虛功功原理4.內力功定義：從桿上截截取一微微段,作用在該該微段上上的內力力在該微微段的變變形上做做的功定定義為該該內力做做的功。。該微段上上相應的的變形為為軸向變形形剪力變形形彎曲變形形§6-2變形體系系的虛功功原理如果變形形就是由由此內力力引起的的，則此微段段上內力力功應為為實功，，其為軸軸力、剪剪力和彎彎矩分別別做的功功之和：：因為由胡克定定律有：：故實功數值值上就等等于微段段的應變變能。所以內力實功功§6-2變形體系系的虛功功原理若變形與與內力彼彼此無關關，則此此微段上上的內力力功是虛虛功，其其為對于整根根桿的內內力虛功功，則可可對整根根桿積分分求得：：原因而定。,和的具體表達式要視引起這個變形的具體內力虛功功§6-2變形體系系的虛功功原理回顧（1）質點系系的虛功功原理具有理想想約束的的質點系系，在某某一位置置處于平平衡的必必要和充充分條件件是：Σfiδri=0→→.對于任何何可能的虛位移移，作用用于質點點系的主主動力所所做虛功功之和為為零。也即§6-2變形體系系的虛功功原理（2）剛體系系的虛功功原理去掉約束束而代以以相應的的反力，，該反力力便可看看成外力力。則有有：剛體體系處于于平衡的的必要和和充分條條件是：：對于任何何可能的虛位移移，作用用于剛體體系的所所有外力力所做虛虛功之和和為零。。FPΔPΔB-FPΔP+FBΔB=0§6-2變形體系系的虛功功原理二、虛功原理理1.變形體的的虛功原原理設一變形形體在外外力系作作用下處處于平衡衡狀態。。當變形形體由于于其他原原因產生生一符合合約束條條件的微微小連續續位移時時，則外外力系在在位移上上做的虛虛功的總總和δWe，等于變形形體的內內力在變變形上做做的虛功功的總和和δWi，即，——這就是虛功方程程。（證明略略）需注意：：⑴外力系必必須是平平衡力系系，物體體處于平平衡狀態態；§6-2變形體系系的虛功功原理⑵位移必須須滿足虛虛位移的的條件——滿足約束束條件的的非常微微小的連連續位移移；⑶外力與位位移兩者者之間是是相互獨獨立沒有有關聯的的。平衡衡的外力力系與相相應的內內力是力力狀態；；符合約約束條件件的微小小位移與與相應的的變形是是位移狀狀態。力力狀態的的外力在在位移狀狀態的位位移上做做功之和和(外力虛功功)等于力狀狀態的內內力在位位移狀態態的變形形上做功功之和(內力虛功功)。⑷對于兩個個相互無無關的力力狀態和和位移狀狀態的，，可以虛虛設其中中一個狀狀態，讓讓另一實實際狀態態在此虛虛設狀態態下做功功，列出出虛功方方程，可可以求解解不同的的問題。。§6-2變形體系系的虛功功原理解釋：兩種狀態態力狀態位移狀態態FPFP/2FP/2（虛）力狀態（虛力狀狀態）（虛位移移狀態））無關（虛）位移狀態q注意：（3）位移狀狀態與力力狀態完全無關關；（2）均為可可能狀態態。即位位移應滿滿足變形協調調條件,力狀態應應滿足平衡條件件。（1）屬同一體系；§6-2變形體系系的虛功功原理2.桿系結構構虛功方方程以上結論論與材料料物理性性質及具具體結構構無關，，因此，，虛功原原理虛功功方程既既適用于于一切線線性結構構，也適適用于一一切非線線性結構構。希望能很很好理解解，盡可可能達到到掌握！！§6-2變形體系系的虛功功原理虛位移原原理令實際的的力狀態態在虛設設的位移移狀態下下做功所所建立的的虛功方方程表達達的是力力的平衡衡條件。。從中可可以求出出實際力力系中的的未知力力。這就就是虛位位移原理理。虛力原理理令虛設的的平衡力力系在實實際的位位移狀態態下做功功所建立立虛功方方程表達達的是位位移協調調條件，，從中可可求出位位移狀態態中的一一些未知知位移。。這就是是虛力原原理(也稱為余余虛功原原理)。一個力系系平衡的的充分必必要條件件是：對對任意協協調位移移，虛功功方程成成立。一個位移移是協調調的充分分必要條條件是：：對任意意平衡力力系，虛虛功方程程成立。3.虛功原理理的兩種種應用§6-2變形體系系的虛功功原理注意:虛位移原原理寫出出的虛功功方程是是一個平平衡方程程式，可可用于求求解平衡衡力系中中的未知知力。例如：應應用虛位移原原理求支座C的反力FC。即故撤除與FC相應的約束,將FC變成主動力，，取與FC正向一致的剛剛體位移作為為虛位移。列出虛功方程程：§6-2變形體系的虛虛功原理注意：虛力原理寫出出的虛功方程程是一個幾何何方程，可用用于求解幾何何問題。例：當A支座向上移動動一個已知位位移c1，求點B產生的豎向位位移⊿。在擬求線位移移的方向加單單位力由平衡條件令虛設的平衡衡力系在實際際的位移狀態態下做功，得得虛功方程求得與單位力方向相同。§6-2變形體系的虛虛功原理單位荷載法(Dummy-UnitLoadMethod)是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱稱為Maxwell-MohrMethod。圖示結構，要要求=?實際狀態位移狀態虛擬狀態力狀態§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法用虛功原理，，位移狀態即即實際狀態，，另虛設一個個力狀態（稱稱力虛設狀態態），要使虛擬力的虛虛功正好等于于所求位移，可接右圖選選取虛擬狀態態，用虛擬力力為單位力，，故稱為單位位荷載法。外力虛功:內力虛功:由虛功方程：：此式即為平面面結構位移計計算一般公式式。若結果為正，說明在上做正功，這表明的實際方向與方向相同。若結果為負，說明在上做負功，這表明的實際方向與方向相反。§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法幾點說明：(1)所建立的虛功方程，實質上是幾何方程。(2)虛設的力狀態態與實際位移移狀態無關，，故可設單位位廣義力P=1(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀狀態的靜力平平衡關系。特點:是用靜力平衡衡法來解幾何何問題。單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程總的來講：§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法2.結構類型：梁、剛架、桁桁架、拱、組組合結構；靜定和超靜定定結構；1.位移原因：荷載、溫度改改變、支座移移動等；3.材料性質：線性、非線性性；4.變形類型：彎曲變形、拉拉(壓)變形、剪切變變形；5.位移種類：線位移、角位位移；相對線線位移和相對角位移移。一般公式的普普遍性表現在在：§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力A(a)F=1F=1F=1§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法F=1(c)A(d)ABF=1F=1§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法ABCd(e)ABC(f)§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=1§6-3位移計算的一一般公式單單位荷載法法由虛功原理有有：W=Wi外力虛功變形虛功荷載作用引起起的位移計算算等號左側是虛虛設的單位外外力在實際的的位移上所做做的外力虛力力，右側是虛虛設單位力狀狀態的內力在在實際位移狀狀態的變形上上做的內力虛虛功之和。§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算對于直桿，則則可用dx代替ds。計算位移的公公式為——單位力狀態下結構的軸力、剪力和矩方程式。——

實際荷載引起結構的軸力、剪力和彎矩方程式。E、G

——材料的彈性模量和剪力彈性模量.

A、I

——桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩.

——剪力在截面上分布的不均勻系數，對于矩形截面μ=1.2。

μ

§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算（1）梁、剛架：：只考慮彎矩Mp引起的位移。。（2）桁架：只有軸力。桁架各桿均為為等截面直桿桿則§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算公式簡化：拱壩一類的厚厚度較大的拱拱形結構，其其剪力也是不不能忽略的。。所以計算拱拱壩時，軸力力、剪力和彎彎矩三項因素素都須要考慮慮進去。(4)跨度較大的薄薄拱，其軸力和彎矩矩的影響相當當，剪力的影響不不計，位移計計算公式為§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算（3）組合結構例6-1圖示剛架，已知知各桿的彈性性模量E和截面慣性矩矩I均為常數，試試求B點的豎向位移移△BV，水平位移△BU,和位移△B。解:(1)作出荷載作用用下的彎矩圖圖，寫出各桿桿的彎矩方程程。橫梁BC豎柱CA§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算(2)求B點的豎向位移移△BV寫出各桿單位位力作用下的的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC豎柱CA§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算(3)求B點的水平位移移△BU在B點加單位水平平力。畫出彎彎矩圖并寫出出各桿的彎矩矩方程橫梁BC豎柱CA注意：負號表示位移移的方向與假假設的單位力力的方向相反反。§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算（4）求B點的線位移ΔB例6-2一圓弧形懸臂臂梁受勻布荷荷載作用，設設曲梁矩形截截面的彎曲剛剛度為EI，半徑為r，圓弧AB的圓心角φ0及荷載q均為已知，試試求截面B的豎向及水平平向位移△BV和△BU。解:當曲梁的半徑徑較大截面比比較薄時，可可忽略軸力和和剪力的影響響。(1)列出曲梁在荷荷載作用下的的彎矩方程。。假定曲梁內內側纖維受拉拉為正彎矩。。取B點為座標原點點，任意截面C的橫座標為x，該截面的彎矩矩：§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算(2)求△BV，在B點加一豎向單位力，單位位豎向力引起起的彎方程為為采用極坐標表表示由于所以§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算(3)求△BU，在B點作用一單位位向水平力，，列出此水平平向單位力引引起的彎矩方方程§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算例6-3平面桁架如圖圖，已知各桿桿截面積均為為A=0.4×10-2m2彈性橫量E=200GPa，試求B點和D點的豎向位移移。解:(1)求出實際荷載載狀態下各桿桿的內力。(2)求△BV§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算––在B點加一向下的的單位力,求此單位力引引起的各桿軸軸力FN。§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算(3)求ΔDV在D點加一向下單單位力，求出出此虛設狀態態––各桿的軸力FN。§6-4靜定結構在荷荷載作用下的的位移計算在桿件數量多多的情況下,不方便.下面介紹計算算位移的圖乘法。§6-5圖乘法(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)1.靜定結構的內內力計算；2.利用位位移計計算公公式求求靜定定結構構的位位移；；3.剛架與與梁在在荷載載作用用下的的位移移計算算公式式,即:已有基基礎：：(對于等等截面桿桿)(對于直直桿)圖乘法法求位位移公公式為為:圖乘法法的適用條條件是是什么?圖乘法法是Vereshagin于1925年提出出的，，他當當時為莫斯斯科鐵鐵路運運輸學學院的學生。§6-5圖乘法法例.試求圖圖示梁梁B端轉角角。解:MPMi為什么么彎矩矩圖在在桿件同同側圖圖乘結結果為正正?§6-5圖乘法法頂點：：指曲線線切線線與桿桿軸重重合或或平行行§6-5圖乘法法幾種常常見圖圖形的的面積積和形形心位位置的的確定定方法法圖乘法法小結結：1.圖乘法法的應應用條條件（1）等截截面直直桿，，EI為常數數；（2）兩個個M圖中應應有一一個是是直線線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.如圖形形較復復雜，，可分分解為為簡單單圖形形。§6-5圖乘法法(1)曲-折組合合圖形分分解§6-5圖乘法法(2)梯-梯同側側組合合§6-5圖乘法法(3)梯-梯異側側組合合ABCDabcd圖圖bc取負值值§6-5圖乘法法復雜圖圖形的的處理理：+=×××+=××ק6-5圖乘法法求MPMi§6-5圖乘法法(4)階梯形形截面面桿§6-5圖乘法法例1.已知EI為常數，求C、D兩點相對水平位移。應用舉舉例lqhqMP解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖§6-5圖乘法法例2.圖示梁梁EI為常數數，求求C點豎向向位移移。l/2ql/2MP§6-5圖乘法法l/2ql/2MP§6-5圖乘法法l/2ql/2MP§6-5圖乘法法例3.試求圖圖示結結構B點豎向向位移移。解:MPMi§6-5圖乘法法例4.已知EI為常數，求鉸C兩側截面相對轉角。解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖lqllqMP§6-5圖乘法法例5.已知EI為常數數，求求A點豎向向位移移。。解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖qlllqMP§6-5圖乘法法6.求B點水平平位移移。解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖MPll注意:各桿剛剛度可能不不同§6-5圖乘法法7.已知EI為常數數，求求B截面轉轉角。。MP解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖Mi§6-5圖乘法法解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖8.求B點水平平位移移,EI=常數。。lPllMP1MP§6-5圖乘法法解：作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖9.求C、D兩點相相對水水平位位移。lllMP§6-5圖乘法法解：作作荷載載彎矩矩圖和和單位位荷載載彎矩矩圖10.求A點豎向向位移移,EI=常數。MPlllAkk§6-5圖乘法法lPlPl11.圖示結結構EI為常數數，求求AB兩點(1)相對豎豎向位位移,(2)相對水水平位位移,(3)相對轉轉角。。MP1111對稱彎彎矩圖圖反對稱稱彎矩矩圖對稱結結構的的對稱稱彎矩矩圖與與其反對對稱彎彎矩圖圖圖乘乘,結果為零.11§6-5圖乘法法PP11繪制變變形圖圖時，，應根根據彎彎矩圖圖判斷斷桿件件的凹凹凸方方向，，注意意反彎彎點的的利用用。如如：§6-5圖乘法由溫度變變化引起起的位移移計算(1)每根桿受受的溫度度是均勻勻作用的的，即每每桿上各各截面的的溫度是是相同的的。(2)桿件的兩兩側的溫溫度可以以是不同同的，但但從高溫溫一側到到低溫一一側溫度度是按直直線變化化的。(3)由于假定定溫度沿沿桿長均均勻分布布,不可能出出現剪切切變形,只有軸向向變形dut和截面轉轉角dθ。假定：§6-6靜定結構構溫度變變化時的的位移計計算溫度引起的纖維軸向變形為：其中α——材料的線線膨脹系系數，即即溫度升升高1℃時桿的應應變。設微段ds的溫度度變化為為：§6-6靜定結構構溫度變變化時的的位移計計算梁段上側側、下側側和中心心軸處纖纖維伸長長分別為為由于截面面內的溫溫度呈直直線變化化，有得：其中Δt=t2–t1，為桿兩兩側的溫溫度變化化之差。。§6-6靜定結構構溫度變變化時的的位移計計算令虛設的的力狀態態在結構構的實際際位移狀狀態下做做功。在在擬求位位移的截截面虛設設一單位位力，則則外力在在位移上上做的功功應等于于內力在在溫度引引起的變變形上做做的功之之和，即即式中∑——對結構中各各桿求和。。——單位力彎矩矩圖中該桿桿彎矩圖的的面積。——單位力軸力力圖中該桿桿軸力圖的的面積。所以§6-6靜定結構溫溫度變化時時的位移計計算正負符號取取決于虛功功是正功還還是負功。。若桿的軸軸心處的溫溫度t0是升高，而而單位力軸軸力圖中該該桿受拉力力，則此桿桿的內力虛虛功為正功功，此項取取正號，反反之取負號號。若溫度變化化Δt使桿彎曲而而某側受拉拉，而單位位力彎矩圖圖中該桿的的彎矩也使使該側受拉拉，則虛內內力做正功功取正號，，反之為負負號。§6-6靜定結構溫溫度變化時時的位移計計算例6-5圖示剛架，，各桿均為為矩形截面面，截面高高h=40cm，截面形心位位于截面高高度1/2處。l=4m設剛架內部部溫度上升升10℃外部下降20℃。線膨脹系系數α=1×10-5，試求D點的豎向位位移。解(1)在D點作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖和軸力圖§6-6靜定結構溫溫度變化時時的位移計計算(2)計算D點的豎向位位移。兩側的溫度度差為有桿軸線處的的溫升值為為§6-6靜定結構溫溫度變化時時的位移計計算例6-6圖示桁架，，受日照均均勻溫升30℃。求C點豎向位移移。解：在C點作單位力并求出各桿軸力。己知各桿t0=30℃℃,Δt=0故§6-6靜定結構溫溫度變化時時的位移計計算制造誤差引引起的位移移計算：每個上弦桿桿加長8mm,求由此引起起的A點豎向位移移。§6-6靜定結構溫溫度變化時時的位移計計算由支座移動動引起的位位移計算求由支座移移動引起的的結點某點點的位移只只是一個單單純的幾何何問題。可可以用力學學方法——剛體的虛力力原理來求求解。式中是是由單位力力F所引起的支支座反力；；c是與反力相應的已知知的支座位位移。當二者方向向一致時，，其乘積取取正值，相相反時取負負值。在要求位移的點上沿位移的方向加一單位力F，求出在此單位力作用下的支座反力R。所有外力虛功之和應為零有：§6-7靜定結構支支座移動時時的位移計計算由平面桿件件結構位移移計算的一一般公式：：對于靜定結結構，支座座移動不引引起內力，，材料不變變形，因此du、dφ和γds為零，上式式簡化為:負號系原來來移項所得得，不可漏漏掉！§6-7靜定結構支支座移動時時的位移計計算例6-7三鉸剛架如如圖所示，若支支座A下沉C，求BD柱的轉角。。解：(1)在BD柱上作用單單位力矩M=1，求支座反力力。(2)代入公式計計算得：結果得正值值表示柱的的轉角方向向與所假定定的單位力力矩的方向向相同。§6-7靜定結構支支座移動時時的位移計計算例6-8圖示剛架右右邊支座的豎向位移移ΔBy=0.06m(向下)，水平位移ΔBx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引引起的A端轉角φA§6-7靜定結構支支座移動時時的位移計計算1.功的互等定定理F1作用下產生生的內力和和變形稱為為第一狀態態，F2作用下下產生生的內內力和和變形形稱為為第二二狀態態。先加F1然后加加F2的情況況，整整個加加載過過中系系統做做的總總功為為表示由由編號號為j的力引引起i點的位位移。。先加F2后加F1，整個過過程中中系統統做的的總功功為§6-8線彈性性結構構的互互等定定理因為線彈性性體系系做功與與加荷荷的次次序無無關，，有故得虛功互互等定定理：：狀態Ⅰ的力在在狀態態Ⅱ的位移移上做做功等等于狀狀態Ⅱ的力在在狀態態Ⅰ的位移移上做做功。。§6-8線彈性性結構構的互互等定定理由功的的互等等定理理可可推推出位位移互互等定定理2.位移互互等定定理令功的的互等等定理理中的的力F1=F2=1,則有位移互互等定定理：：由單位位荷載載F1引起的的與荷荷載F2相應的的位移移δ21，在數值值上等等于由由單位位荷載載F2引起的的與荷荷載F1相應的的位移移δ12。這里用用小寫寫的字字母δ表示單單位力力引起起的位位移。。在一般般情況況下位位移互互等定定理可可寫成成：§6-8線彈性性結構構的互互等定定理注意：位移互等定理理適用于廣義義力及其對應應的廣義位移移。上圖表示了兩兩個狀態的線線位移δ12與δ21互等。上圖表示了線線位移δ12數值上等于角角位移θ21。§6-8線彈性結構的的互等定理3.反力互等定理理第Ⅰ狀態，支座1產生單位位移移Δ1V=1而引起支座反反力k11和k21。第Ⅱ狀態，支座2產生單位位移移Δ2V=1而引起支座反反力k12和k22§6-8線彈性結構的的互等定理由功的互等定理，第Ⅰ狀態的力在第Ⅱ狀態的位移上做虛功，等于第Ⅱ狀態的力在第Ⅰ狀態的位移上做虛功。故有即一般情況下可可寫成§6-8線彈性結構的的互等定理支座i由于支座j發生單位位移移所引起的支支座反力kij，等于支座j由于支座i發生單位位移移而引起的支支座反力kji。注意：反力互互等定理也適適用于其他廣廣義力的互等等。例：k12是反力矩，k21是反力，兩者者互等只是數數值上互等。§6-8線彈性結構的的互等定理4.反力位移互等定理理單位廣義力引引起的結構中中某支座的反反力等于該支支座發生單位廣義義位移所引起起的單位廣義義力作用點沿沿其方向的位移，，但符號相反反。-----反力位移互等等定理§6-8線彈性結構的的互等定理小結結本章討論了虛虛功原理以及及應用虛功原原理來求解結結構的位移。。虛功原理又又分為虛位移移原理和虛力力原理，它們們都是虛功原原理的具體應應用。前者用用于求內力和和反力，后者者用于求位移移。在應用虛虛功原理時要要涉及兩個量量：力系和位移。這兩者是彼彼此無關的，，但卻需滿足足一定的條件件。力系必須須是平衡的；；位移必須是是符合約束條條件的、無限限小的連續位位移。由于力力與位移兩者者彼此無關，因此可以虛設設一組力系(虛力原理)，讓它在實際的的結構位移上上做功,列出虛功方程程，從中求出未知知位移。這就是虛力原原理表達的虛虛功方程。也也就是位移計計算的一般公公式最基本的的形式。小結位移和變變形()是結構在在給定條條件下所所具有的的.是實際的的位移狀狀態。力力系()則是虛設設的。虛虛擬力力系的設設置應當當根據所所求位移移來相應應的設置置，并根根據需要要求出其其相應的的反力和和內力。。變形(ε,γ,κ)是泛指的的，若是是荷載引引起的則則代入公公式(6.3.3)即導出公公式(6.5.2）。若是溫溫度引起起的，則則代入公公式(6.3.1a)、(6.7.1a)和(6.7.2b)即導出溫溫度變化化引起的的位移計計算公式式(6.7.3a)。若計算支支座移動動引起的的位移，，則因靜靜定結構構因支座座位移不不會引起起結構變變形，只只會引起起結構的的剛體位位移,這時ε=γ=κ=0。公式等號號右邊前前一項為為零，只只剩后一一項.這就是公公式(4.7.4)。小結虛功原理理本身適適用于任任何變形形體，但但在本章章推導位位移計算算公式時時引入了了彈性規規律，故故公式(6.5.2)只適用于于線彈性性體系。。圖乘法是是具體的的運算方方法。只只有滿足足一定的的條件下下才能用用圖乘法法。象曲曲桿、變變截面桿桿等均不不能用圖圖乘法。。互等定理理是線彈彈性體系系的基本本定理。。本章介介紹的四四個互等等定理是是最常用用的。這這四個個互等定定理中，，功的互互等定理理是最基基本的。。小結1.虛功原理理不涉及及材料的的物理性性質，因因此它適適用于任任何固體材料料。╳√3.圖示桁架架中腹桿桿截面的的大小對對C點的豎向向位移有有影響。。一、判斷斷題2.功的互等等定理適適用于線線性和非非線性變變形體系系。提示：在在F作用下，，腹桿全全為零