與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識(shí)講解與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識(shí)講解與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識(shí)講解資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識(shí)講解版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：與三角形有關(guān)的線段（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號(hào)語(yǔ)言及圖形表述方法；2.理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；3.理解三角形的高、中線、角平分線及重心的概念，學(xué)會(huì)它們的畫法及簡(jiǎn)單應(yīng)用；4.對(duì)三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識(shí)，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義及分類1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒(méi)有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來(lái)表示，也可以用小寫字母a、b、c來(lái)表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．2．三角形的分類(1)按角分類：要點(diǎn)詮釋：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.(2)按邊分類：要點(diǎn)詮釋：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;②等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系.要點(diǎn)三、三角形的高、中線與角平分線1、三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).2、三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的中線是線段；(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；(4)中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.3、三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點(diǎn)D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.要點(diǎn)四、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】類型一、三角形的定義及表示 1．如圖所示．(1)圖中共有多少個(gè)三角形并把它們寫出來(lái)；(2)線段AE是哪些三角形的邊(3)∠B是哪些三角形的角【思路點(diǎn)撥】在(1)問(wèn)中數(shù)三角形的個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)按一定規(guī)律去找，這樣才會(huì)不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)問(wèn)中，突破口在于由三角形定義知，除了A、E再找一個(gè)第三點(diǎn)，使這點(diǎn)不在AE上，便可得到以AE為邊的三角形；(3)問(wèn)的突破口是∠B一定是以B為一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形中．【答案與解析】解：(1)圖中共有6個(gè)三角形，它們是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)線段AE分別為△ABE，△ADE，△ACE的邊．(3)∠B分別為△ABD，△ABE，△ABC的角．【總結(jié)升華】在數(shù)三角形的個(gè)數(shù)時(shí)一定要按照一定的順序進(jìn)行，做到不重不漏．舉一反三：【變式】如圖，，以A為頂點(diǎn)的三角形有幾個(gè)用符號(hào)表示這些三角形．【答案】3個(gè),分別是△EAB,△BAC,△CAD.類型二、三角形的三邊關(guān)系2.三根木條的長(zhǎng)度如圖所示，能組成三角形的是()【答案】D.【解析】要構(gòu)成一個(gè)三角形．必須滿足任意兩邊之和大于第三邊．在運(yùn)用時(shí)習(xí)慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊．A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中，較短兩邊之和小于或等于第三邊．故不能組成三角形．D選項(xiàng)中，2cm+3cm＞4cm．故能夠組成三角形．【總結(jié)升華】判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡(jiǎn)易方法是：①判斷出較長(zhǎng)的一邊；②看較短的兩邊之和是否大于較長(zhǎng)的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形．【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段例1】舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形.(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______.【答案】【解析】三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．【總結(jié)升華】三角形的兩邊a、b，那么第三邊c的取值范圍是│a-b│<c<a+b.舉一反三：【變式】（2015春?盱眙縣期中）四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點(diǎn)O．求證：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．【答案】證明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．類型三、三角形中重要線段4.小華在電話中問(wèn)小明：“已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積”小明提示：“可通過(guò)作最長(zhǎng)邊上的高來(lái)求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()【答案】C【解析】三角形的高就是從三角形的頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．解答本題首先應(yīng)找到最長(zhǎng)邊，再找到最長(zhǎng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)．然后過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)作最長(zhǎng)邊的垂線即得到三角形的高．【總結(jié)升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高，并且三條高所在的直線交于一點(diǎn)．這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部．舉一反三：【變式】（2015?長(zhǎng)沙）如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A．B．C．D．【答案】A．5.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：①AD＝BD，②△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3．【答案與解析】解：依題意：△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．答：AC的長(zhǎng)為5cm．【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形的中線的定義得到線段AD＝BD是解答本題的關(guān)鍵，另外對(duì)圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用