第8章二元一次方程組8.1二元一次方程組第8章二元一次方程組一、創設情境,導入新課

問題:古老的“雞兔同籠問題”“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足.問雞、兔各幾何？”

這是我國古代數學著作《孫子算經》中記載的數學名題.它曾在好幾個世紀里引起過人們的興趣,這個問題也一定會使在座的各位同學感興趣.怎樣解答這個問題呢?一、創設情境,導入新課問題:古老的“雞兔同籠問題”

方案一:算術方法把兔子都看成雞,則多出94-35×2=24只腳,每只兔子比雞多出兩只腳,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),進而雞有35-12=23(只).類似地也可以先求雞的數量.35×4-94=46,46÷2=23.

方案二:列一元一次方程解設有x只雞,則有(35-x)只兔,根據題意,得2x+4(35-x)=94(解方程略).一、創設情境,導入新課“元”是指什么?“次”是指什么?方案一:算術方法一、創設情境,導入新課“元”是指什

問題:上面的問題可以用一元一次方程來解,還有其他方法嗎？（設雞有x只，兔有y只,根據題意可列兩個方程如下）二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念(1)你能給這兩個方程起個名字嗎?(2)為什么叫二元一次方程呢?(3)什么樣的方程叫二元一次方程呢?問題:上面的問題可以用一元一次方程來解,還有其他方法嗎？二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念探究活動:滿足x+y=35的值有哪些?請填入表中:xy

方案三:設有x只雞,y只兔,依題意得

x+y=35,①2x+4y=94.②

定義1:含有兩個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1的方程,叫做二元一次方程.二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念探究活動:滿足x+二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

在上面的問題中,雞、兔的只數必須同時滿足①②兩個方程.把①②兩個二元一次方程結合在一起,用大括號來連接.我們也給它起個名字,叫什么好呢?二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念在上面的問題中二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

定義2:把兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組.即方程組中有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，這樣的方程組就叫做二元一次方程組.

討論:二元一次方程、二元一次方程組的解的概念.二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念定義2:把兩個二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

啟發:

(1)若不考慮此方程與上面實際問題的聯系,還可以取哪些值?(2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎?(3)它與一元一次方程的解有什么區別?二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念啟發:

定義3:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫二元一次方程的解,記為二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

問:那么什么是二元一次方程組的解呢?

討論達成共識:二元一次方程組的解必須同時滿足方程組中的兩個方程.即:既是方程①的解，又是方程②的解.定義3:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,

比如:從方案一,我們知道,x=23,y=12使方程組中每一個方程都成立,所以我們把x=23,y=12叫做二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

定義4:二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

注意:二元一次方程組的解是成對出現的,用大括號來連接,表示“且”.比如:從方案一,我們知道,x=23,y=12使方程組中每

議一議:

將上述“雞兔同籠”問題的三種方案進行優劣對比,你有哪些想法呢?二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念議一議:二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

通過探究活動得出結論：

1.二元一次方程的解是成對出現的.2.二元一次方程的解有無數多個,這與一元一次方程有顯著的區別.

通過對比,我們體驗到從算術方法到代數方法是一種進步.而當我們遇到求多個未知量,而且數量關系復雜時,列二元一次方程組比列一元一次方程容易,它大大減輕了我們的思維負擔.二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念通過探究活動得三、鞏固新知

對下面的問題,列出二元一次方程組,并根據問題的實際意義,找出問題的解.

加工某種產品需經兩道工序,第一道工序每人每天可完成900件,第二道工序每人每天可完成1200件.現有7位工人參加這兩道工序,應怎樣安排人力,才能使每天第一、第二道工序所完成的件數相等?三、鞏固新知對下面的問題,列出二元一次方程組,并根據三、鞏固新知解：設第一道工序需要x人，第二道工序需要y人，根據題意列方程組得答：第一道工序需要4人，第二道工序需要3人．三、鞏固新知解：設第一道工序需要x人，第二道工序需要y人，答

例1：下列各對數值中是二元一次方程x+2y=2的解的是（）三、鞏固新知A,B,C

解法分析：將A,B,C,D中各對數值逐一代入方程檢驗是否滿足方程，選A,B,C.例1：下列各對數值中是二元一次方程x+2y=2的解的是（

變式:其中是二元一次方程組的解的是（）解法分析：在例1的基礎上,進一步檢驗A,B，C中各對值是否滿足2x+y=-2,使學生明確認識到二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程.B三、鞏固新知變式:其中是二元一次方程組的解的是（四、小結小結:談談你本節課的收獲.1.每個方程都含有兩個未知數(x和y)，并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.2.把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.3.使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.四、小結小結:談談你本節課的收獲.1.每個方程都含有4.一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.5.二元一次方程有無窮多個解；二元一次方程組有且只有一組解.四、小結4.一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二教材習題8.1第1,2,3,5題.五、布置作業五、布置作業謝謝大家！再見！謝謝大家！第5章相交線與平行線5.1相交線5.1.1相交線第5章相交線與平行線一、創設情境，導入新課

問題：剪刀兩個把手之間的角發生了什么變化？剪刀張開的口又怎么變化？

如果將剪刀的構造看作兩條相交的直線，這就關系到兩條直線所成的角的問題.一、創設情境，導入新課問題：剪刀兩個把手之間的角發生二、探究鄰補角與對頂角的概念（1）兩條直線相交，形成了幾個角？OCABD

（2）將這些角兩兩配對，共能組成幾對角，各對角存在怎樣的位置關系？根據這種位置關系將它們分類.二、探究鄰補角與對頂角的概念（1）兩條直線相交，形成了幾個角12ACDO34B

如圖，∠1與∠2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.鄰補角二、探究鄰補角與對頂角的概念12ACDO34B如圖，∠1與∠2有一條公共邊OA，12ACDO34B

如圖，∠1與∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角.對頂角二、探究鄰補角與對頂角的概念12ACDO34B如圖，∠1與∠3有一個公共頂點O，三、探究鄰補角與對頂角的性質

分別量一量各對頂角的度數，各類角的度數有什么關系？思考：在前面轉動剪刀的過程中，這種關系是否始終保持？12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質分別量一量各對頂角的度數，各三、探究鄰補角與對頂角的性質鄰補角互補12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質鄰補角互補12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質對頂角相等12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質對頂角相等12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質12ACDO34B因為∠1與∠2互補,∠3與∠2互補，所以∠1=∠3.類似地，∠2=∠4.三、探究鄰補角與對頂角的性質12ACDO34B因為∠1與∠2四、應用新知

12

如圖，直線a，b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度數.34ab解：因為∠1+∠2=180°（鄰補角的定義）,所以∠2=180°-∠1=180°-40°=140°；由對頂角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.四、應用新知12如圖，直線a，b相交，∠1=40°，求五、練習小結

如圖,取兩根木條a，b，將它們釘在一起，并把它們想象成兩條直線，就得到一個相交線的模型.你能說出其中的一些鄰補角與對頂角嗎?兩根木條所成的角中，如果∠α=35°，其他三個角各等于多少度?如果∠α等于90°，115°，m°呢?五、練習小結如圖,取兩根木條a，b，將它們釘在一起，五、練習小結

如圖,取兩根木條a，b，將它們釘在一起，并把它們想象成兩條直線，就得到一個相交線的模型.你能說出其中的一些鄰補角與對頂角嗎?兩根木條所成的角中，如果∠α=35°，其他三個角各等于多少度?如果∠α等于90°，115°，m°呢?解：若∠α=35°，其他三個角分別為：145°，35°，145°.若∠α=90°，其他三個角分別為：90°，90°，90°.若∠α=115°，其他三個角分別為：65°，115°，65°.若∠α=m°，其他三個角分別為：(180-m)°，m°，(180-m)°.五、練習小結如圖,取兩根木條a，b，將它們釘在一起，五、練習小結談談你對鄰補角和對頂角的認識.角的名稱鄰補角對頂角位置關系2.有一條公共邊3.另一邊互為反向延長線1.有公共頂點1.有公共頂點2.沒有公共邊3.兩邊互為反向延長線性質鄰補角互補

對頂角相等相同點

都有一個公共頂點，它們都是成對出現的不同點

對頂角沒有公共邊，而鄰補角有一條公共邊；兩條直線相交時，一個角的對頂角只有一個，而一個角的鄰補角有兩個五、練習小結談談你對鄰補角和對頂角的認識.角的名稱鄰補角對六、布置作業習題5.1第1，2，8，9題.六、布置作業習題5.1第1，2，8，9題.謝謝大家！再見！謝謝大家！第8章二元一次方程組8.1二元一次方程組第8章二元一次方程組一、創設情境,導入新課

問題:古老的“雞兔同籠問題”“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足.問雞、兔各幾何？”

這是我國古代數學著作《孫子算經》中記載的數學名題.它曾在好幾個世紀里引起過人們的興趣,這個問題也一定會使在座的各位同學感興趣.怎樣解答這個問題呢?一、創設情境,導入新課問題:古老的“雞兔同籠問題”

方案一:算術方法把兔子都看成雞,則多出94-35×2=24只腳,每只兔子比雞多出兩只腳,由此可先求出兔子有24÷2=12(只),進而雞有35-12=23(只).類似地也可以先求雞的數量.35×4-94=46,46÷2=23.

方案二:列一元一次方程解設有x只雞,則有(35-x)只兔,根據題意,得2x+4(35-x)=94(解方程略).一、創設情境,導入新課“元”是指什么?“次”是指什么?方案一:算術方法一、創設情境,導入新課“元”是指什

問題:上面的問題可以用一元一次方程來解,還有其他方法嗎？（設雞有x只，兔有y只,根據題意可列兩個方程如下）二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念(1)你能給這兩個方程起個名字嗎?(2)為什么叫二元一次方程呢?(3)什么樣的方程叫二元一次方程呢?問題:上面的問題可以用一元一次方程來解,還有其他方法嗎？二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念探究活動:滿足x+y=35的值有哪些?請填入表中:xy

方案三:設有x只雞,y只兔,依題意得

x+y=35,①2x+4y=94.②

定義1:含有兩個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1的方程,叫做二元一次方程.二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念探究活動:滿足x+二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

在上面的問題中,雞、兔的只數必須同時滿足①②兩個方程.把①②兩個二元一次方程結合在一起,用大括號來連接.我們也給它起個名字,叫什么好呢?二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念在上面的問題中二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

定義2:把兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組.即方程組中有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，這樣的方程組就叫做二元一次方程組.

討論:二元一次方程、二元一次方程組的解的概念.二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念定義2:把兩個二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

啟發:

(1)若不考慮此方程與上面實際問題的聯系,還可以取哪些值?(2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎?(3)它與一元一次方程的解有什么區別?二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念啟發:

定義3:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫二元一次方程的解,記為二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

問:那么什么是二元一次方程組的解呢?

討論達成共識:二元一次方程組的解必須同時滿足方程組中的兩個方程.即:既是方程①的解，又是方程②的解.定義3:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,

比如:從方案一,我們知道,x=23,y=12使方程組中每一個方程都成立,所以我們把x=23,y=12叫做二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

定義4:二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

注意:二元一次方程組的解是成對出現的,用大括號來連接,表示“且”.比如:從方案一,我們知道,x=23,y=12使方程組中每

議一議:

將上述“雞兔同籠”問題的三種方案進行優劣對比,你有哪些想法呢?二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念議一議:二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念

通過探究活動得出結論：

1.二元一次方程的解是成對出現的.2.二元一次方程的解有無數多個,這與一元一次方程有顯著的區別.

通過對比,我們體驗到從算術方法到代數方法是一種進步.而當我們遇到求多個未知量,而且數量關系復雜時,列二元一次方程組比列一元一次方程容易,它大大減輕了我們的思維負擔.二、探究二元一次方程、二元一次方程組的概念通過探究活動得三、鞏固新知

對下面的問題,列出二元一次方程組,并根據問題的實際意義,找出問題的解.

加工某種產品需經兩道工序,第一道工序每人每天可完成900件,第二道工序每人每天可完成1200件.現有7位工人參加這兩道工序,應怎樣安排人力,才能使每天第一、第二道工序所完成的件數相等?三、鞏固新知對下面的問題,列出二元一次方程組,并根據三、鞏固新知解：設第一道工序需要x人，第二道工序需要y人，根據題意列方程組得答：第一道工序需要4人，第二道工序需要3人．三、鞏固新知解：設第一道工序需要x人，第二道工序需要y人，答

例1：下列各對數值中是二元一次方程x+2y=2的解的是（）三、鞏固新知A,B,C

解法分析：將A,B,C,D中各對數值逐一代入方程檢驗是否滿足方程，選A,B,C.例1：下列各對數值中是二元一次方程x+2y=2的解的是（

變式:其中是二元一次方程組的解的是（）解法分析：在例1的基礎上,進一步檢驗A,B，C中各對值是否滿足2x+y=-2,使學生明確認識到二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程.B三、鞏固新知變式:其中是二元一次方程組的解的是（四、小結小結:談談你本節課的收獲.1.每個方程都含有兩個未知數(x和y)，并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.2.把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.3.使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.四、小結小結:談談你本節課的收獲.1.每個方程都含有4.一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.5.二元一次方程有無窮多個解；二元一次方程組有且只有一組解.四、小結4.一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二教材習題8.1第1,2,3,5題.五、布置作業五、布置作業謝謝大家！再見！謝謝大家！第5章相交線與平行線5.1相交線5.1.1相交線第5章相交線與平行線一、創設情境，導入新課

問題：剪刀兩個把手之間的角發生了什么變化？剪刀張開的口又怎么變化？

如果將剪刀的構造看作兩條相交的直線，這就關系到兩條直線所成的角的問題.一、創設情境，導入新課問題：剪刀兩個把手之間的角發生二、探究鄰補角與對頂角的概念（1）兩條直線相交，形成了幾個角？OCABD

（2）將這些角兩兩配對，共能組成幾對角，各對角存在怎樣的位置關系？根據這種位置關系將它們分類.二、探究鄰補角與對頂角的概念（1）兩條直線相交，形成了幾個角12ACDO34B

如圖，∠1與∠2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.鄰補角二、探究鄰補角與對頂角的概念12ACDO34B如圖，∠1與∠2有一條公共邊OA，12ACDO34B

如圖，∠1與∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角.對頂角二、探究鄰補角與對頂角的概念12ACDO34B如圖，∠1與∠3有一個公共頂點O，三、探究鄰補角與對頂角的性質

分別量一量各對頂角的度數，各類角的度數有什么關系？思考：在前面轉動剪刀的過程中，這種關系是否始終保持？12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質分別量一量各對頂角的度數，各三、探究鄰補角與對頂角的性質鄰補角互補12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質鄰補角互補12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質對頂角相等12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質對頂角相等12ACDO34B三、探究鄰補角與對頂角的性質12ACDO34B因為∠1與∠2互補,∠3與∠2互補，所以∠1=∠3.類似地，∠2=∠4.三、探究鄰補角與對頂角的性質12ACDO34B因為∠1與∠2四、應用新知

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如圖，直線a，b相交，