2022年高考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．12．復數的虛部是()A． B． C． D．3．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．4．已知，則“直線與直線垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．世紀產生了著名的“”猜想：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半；如果是奇數，則將它乘加，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖，若輸入正整數的值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．6．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，指數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節，連排六節，一天課程講座排課有如下要求：“數”必須排在第三節，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種7．已知盒中有3個紅球，3個黃球，3個白球，且每種顏色的三個球均按，，編號，現從中摸出3個球（除顏色與編號外球沒有區別），則恰好不同時包含字母，，的概率為（）A． B． C． D．8．已知集合，若，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人．已知：①甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠古村寨；③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知下列命題：①“”的否定是“”；②已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題；③“”是“”的充分不必要條件；④“若，則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④12．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左焦點為，、為雙曲線上關于原點對稱的兩點，的中點為，的中點為，的中點為，若，且直線的斜率為，則__________，雙曲線的離心率為__________．14．設為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為________.15．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．16．在正方體中，為棱的中點，是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一種游戲的規則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數學期望.（2）當游戲得分為時，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當時，記，證明：數列為常數列，數列為等比數列.18．（12分）如圖1，與是處在同-個平面內的兩個全等的直角三角形，，，連接是邊上一點，過作，交于點，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.19．（12分）已知函數，，（1）討論的單調性；（2）若在定義域內有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數m的取值范圍.20．（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優秀傳統文化中的動漫題材，創作出一批又一批的優秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統計數據如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當統計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.21．（12分）為了拓展城市的旅游業，實現不同市區間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為，現規劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數存在唯一的極大值點，且.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

利用復數的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復數模的運算，屬于基礎題.2．C【解析】因為，所以的虛部是，故選C.3．C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關系，再由三點共線，又得到一個關于的關系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識，結合圖形尋找各向量間的關系，屬于中檔題.4．B【解析】

由兩直線垂直求得則或，再根據充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關系求得的值，同時熟記充要條件的判定方法是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.5．C【解析】

列出循環的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數不成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，不成立，是偶數成立，則；，成立，跳出循環，輸出的值為.故選：C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.6．C【解析】

根據“數”排在第三節，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數”排在第三節，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節和第2節或第4節和第5節或第5節和第6節，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據題設條件，先排列有限制條件的元素是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.7．B【解析】

首先求出基本事件總數，則事件“恰好不同時包含字母，，”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母，，”，記事件“恰好不同時包含字母，，”為，利用對立事件的概率公式計算可得；【詳解】解：從9個球中摸出3個球，則基本事件總數為（個），則事件“恰好不同時包含字母，，”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母，，”記事件“恰好不同時包含字母，，”為，則.故選：B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了排列組合的知識，解答的關鍵在于正確理解題意，屬于基礎題．8．A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示，求解函數的定義域化簡集合的表示，根據可以得到集合、之間的關系，結合數軸進行求解即可.【詳解】，.因為，所以有，因此有.故選：A【點睛】本題考查了已知集合運算的結果求參數取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數的定義域，考查了數學運算能力.9．D【解析】

根據演繹推理進行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁．故選：D．【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎．10．A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區域,即可進行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區域是單位圓及其內部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.11．B【解析】

由命題的否定，復合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關系對每個命題進行判斷．【詳解】“”的否定是“”，正確；已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題，正確；“”是“”的必要不充分條件,錯誤；“若，則且”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯誤.故選：B．【點睛】本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關系，復合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎．12．D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設，，根據中點坐標公式可得坐標，利用可得到點坐標所滿足的方程，結合直線斜率可求得，進而求得；將點坐標代入雙曲線方程，結合焦點坐標可求得，進而得到離心率.【詳解】左焦點為，雙曲線的半焦距．設，，，，，，即，，即，又直線斜率為，即，，，，在雙曲線上，，即，結合可解得：，，離心率.故答案為：；.【點睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應用問題，涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題；關鍵是能夠通過設點的方式，結合直線斜率、垂直關系、點在雙曲線上來構造方程組求得所需變量的值.14．【解析】

利用橢圓的參數方程，將所求代數式的最值問題轉化為求三角函數最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數的性質，以及求導數、單調性和極值，即可得到所求最小值．【詳解】解：設點，，其中，，由，，，可設，導數為，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函數遞減；由，可得函數遞增，可得時，函數取得最小值，且為，則的最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查橢圓參數方程的應用，利用三角函數的恒等變換和導數法求函數最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題．15．【解析】

由向量平行坐標表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．16．【解析】

根據題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據題意畫出幾何圖形，以為原點建立空間直角坐標系：設正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【點睛】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）分布列見解析，數學期望為6；（2）①；②證明見解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對應的概率，進而可求出變量的分布列和數學期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當且時，，結合，可推出，從而可證明數列為常數列；結合，可推出，進而可證明數列為等比數列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數學期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時，有，則時，，所以，故數列為常數列；又，，所以數列為等比數列.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列及數學期望，考查常數列及等比數列的證明，考查學生的計算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.18．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

根據折疊圖形，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據平面，得到.（2）根據，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，根據，可知，，表示相應點的坐標，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.設所求幾何體的體積為，設為高，則，表示梯形BEFD和ABD的面積由，再利用導數求最值.【詳解】（1）證明：不妨設與的交點為與的交點為由題知，，則有又，則有由折疊可知所以可證由平面平面，則有平面又因為平面，所以....（2）解：依題意，有平面平面，又平面，則有平面，，又由題意知，如圖所示：以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系由題意知由可知，則則有，，設平面與平面的法向量分別為則有則所以因為，解得設所求幾何體的體積為，設，則，當時，，當時，在是增函數，在上是減函數當時，有最大值，即六面體的體積的最大值是【點睛】本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉化，二面角的向量求法和空間幾何體的體積，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.19．（1）時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導函數，分類討論，由確定增區間，由確定減區間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結論．【詳解】（1）函數定義域是，，當時，，單調遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數單調性，若有唯一零點，則或．當時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】本題考查用導數研究函數的單調性，考查函數零點個數與不等式恒成立問題，解題關鍵在于轉化，不等式恒成立問題通常轉化為求函數的最值．這又可通過導數求解．20．（Ⅰ），該公司年年利潤的預測值為億元；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數據代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數，然后利用組合計數原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】（Ⅰ）根據表中數據，計算可得，，，又，，，關于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤的預測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.21．（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析【