專題十二 推理與證明第三十二講 推理與證明答案部分 2019年1.解析：由題意，可把三人的預測簡寫如下：甲：甲 乙．乙：丙乙且丙 甲．丙：丙 乙．因為只有一個人預測正確，如果乙預測正確，則丙預測正確，不符合題意．如果丙預測正確，假設甲、乙預測不正確，則有丙乙，乙甲，因為乙預測不正確，而丙乙正確，所以只有丙甲不正確，所以甲丙，這與丙乙，乙甲矛盾．不符合題意．所以只有甲預測正確，乙、丙預測不正確，甲乙，乙丙．故選A．2010-2018年1．B【解析】解法一

因為

lnx≤

x1(x

0)，所以1234ln(1a

a

a

aa a a≤1231，所以

4111a

a

a a≤

，又

a

，所以等比數(shù)列的公比

q

0．若q≤

1，則

a1

a2

a3

a4

a1(1q)(1q2）≤0

，而 a1

a2

a3

≥a11，所以123與ln(aaln(aaa)0，a)aaaa≤0矛盾，1231234所以1q0，所以aaaq2131(1)，0241(12)0aaaqq，a所以a，aa，故選B．132423)解法二因為ex≥x1，a1a2a3a4ln(a1a2a3)，aaaa1231234所以1a4≤1，1234ea a

a≥

a

a a a

，則又 a11，所以等比數(shù)列的公比

q 0．

若

q

≤1，則1234a a a a a(1)(12 q q）≤，10而 a1 a2 a3≥a11，所以ln(a a a)0123與ln(a a a) a a a a≤0矛盾，1231234 所以1q 0，所以a1 a3 a1(1q2) 0，a2 a4a1q(1q2) 0，所以13a

a，a a

，故選

B．242．D【解析】解法一

點

(2,1)

在直線

x

y1上，ax

y

4表示過定點(0,4)

，斜率為

a的直線，當a0時，xay2表示過定點(2,0)，斜率的直線，不等式xay≤2為1a表示的區(qū)域包含原點，不等式axy4表示的區(qū)域不包含原點．直線axy4與直線xay2互相垂直，顯然當直線axy4的斜率a0時，不等式axy4表3示的區(qū)域不包含點(2,1)，故排除A；點(2,1)與點(0,4)連線的斜率為，當2a3，即23a時，axy4表示的區(qū)域包含點(2,1)，此時xay2表示的23a時，2區(qū)域也包含點 (2,1)，故排除 B；當直線ax y 4的斜率 3，即2ax y 4表示的區(qū)域不包含點 (2,1)，故排除 C，故選D．2a1 a 3，所以當且僅當3 ，解得解法二若(2,1)，a≤時，4則3，所以當且僅當3≤2a222(2,1)A．故選 D．3．D【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選D． S表示點 A到對面直線的距離（設為 h）乘以 BB長度一半，即 4．A【解析】nnnBB

的長度為定值，那么我們需要知道

hn

的

1S hBB

，由題目中條件可知

nn1nnn12nnn12關系式，過 A作垂直得到初始距離 h，那么 A1,An和兩個垂足構(gòu)成了等腰梯形，那么11h

h1

AA1tan

，其中

為兩條線的夾角，即為定值，那么nnn1S

(h

AAtan)BBnSn12

1

S AA(n11nnn11

，

ShAA

BB( tan) ，作差后：n1211n1nn1n12nBB ，都為定值，所以

S

S為定值．故選

A．tan)nn1n1n5．B【解析】學生甲比學生乙成績好，即學生甲兩門成績中一門高過學生乙，另一門不低于學生乙，一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好， 并且沒有相同的成績，則存 在的情況是，最多有 3人，其中一個語文最好，數(shù)學最差；另一個語文最差，數(shù)學最好；第三個人成績均為中等．故選B．6．A【解析】“至少有一個實根”的反面為“沒有實根”，故選A．7．D【解析】∵5 3125，5615625，57 78125，58 390625，591953125，55 976562510，∴5n(nZ,且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為 4，記5n(nZ,且n≥5)的末四位數(shù)字為 f(n)，則f(2011)f(50147)f(7)，∴52011與57的末位數(shù)字相同，均為8125，選D．8．D【解析】由給出的例子可以歸納推理得出：若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則它的導函數(shù)是奇函數(shù)，因為定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足f(x) f(x)，即函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，所以它的導函數(shù)是奇函數(shù)，即有g(x)=g(x)，故選D。9．27【解析】所有的正奇數(shù)和 2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成 {a}，在數(shù)列{a}nn2138Sa，26．當n1時，1112224不符合題意；當n2時，Sa，不符合題意；當n3時，2312336中，25前面有16個正奇數(shù)，即25a ，aS3 612a4 48，不符合題意；當n 4時，41012560S a ，不符合題意；??；=441+62=503<21(141)2(112a516，不符合262)5題2721222(143)2(1=484+62=546>12a意；當n27時，S=540，符合題2)22875212當n26時，S3意．故使得 Sn成立的n的最小值為27．12n110．612【解析】設男生數(shù)，女生數(shù)，教師數(shù)為a,b,c，則2cabc,a,b,c①8 a b 4，所以bmax 6，②當Ncmin1時，2 a b1，a，bN，a，b不存在，不符合題意；cmin2時，4ab2，a，bN，a，b不存在，不符合題意；cmin3時，6ab3，此時a5，b4，滿足題意．當當所以a b c12．411．【解析】通過歸納可得結(jié)果為 4(1) nn13nn ．3P，而

(1,1)12．②③【解析】對于①，令

P(1,1)

，則其“伴隨點”為

(,)11

點”為

(1,1)

，而不是

P，故錯誤；對于②設

P(x,y)是單位圓

C:x2

y2

1上的22P22的“伴隨x點，其“伴隨點”為 P(x,y)，則有yx22yy所以x2yx y)222y2x)21，所以②正確；對于③設22(x y2(x y2122x yP(x,y)的“伴隨點”為y x2x,2 ，P(yx2)y 2x,Pxy的“伴隨點”)1(,為(x,)yP1P(222，易知2x yx yx2 y2x2 )P1(22,2與y軸 y2x yx yyx2)關于對稱，所以③正確；對于④，設原直線的解析式為 Ax By C 0，其中A,B不同時為0，且P(x,y)為該直線上一點，00Pxy的“伴隨點”為 P(x,y)，其中 P,P(,)0022x都不是原點，且y0 ，則x x2 y2y，x20y(0yxyx，0(00)0)xyx2000 y2C 將 P(x,y)代入原直線方程，得 A(x2 y2)yB(x2 y2)x0，0000004則CAyBxy20200，由于 22x y的值不確定，所以“伴隨點”不一定共線，00所以④錯誤．13．1和3【解析】為方便說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C從丙出發(fā)，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是 5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪 一張，均含有數(shù)字 1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1可知，乙所拿的卡片必然是

C，最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是

2，知甲所拿的卡片為

B，此時丙所

拿的卡片為

A．111114．11111

2342n2n12nn1n

2．【解析】觀察等式知：第

n個等式的左邊有

2n

個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，1且分子為 1，分母是 1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是1．15．2n14n1n 2【解析】解法一直接遞推歸納；等腰直角三角形 ABC中，斜邊

BC

22

，所以AB AC a1

2,AA1

a2

2，A1A2 a31，2

，AA1 ．

)4

a

a76156(2

解法二 求通向：等腰直角三角形

ABC中，斜邊

BC

2，所以 AB AC a1 2,AA1 a2 2，，a7A A an1nn1sinan2a 2n2 2(，故n)=12()26422416．6【解析】因為①正確，②也正確，所以只有①正確是不可能的；若只有②正確，①③④都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正確，①②④都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(3,1,2,4)；若只有④正確，①②③都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(2,1,4,，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．綜上符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是6．17．42【解析】先由徒弟粗加一工原料 B，6天后，師傅開始精加工原料B，徒弟同時開始粗加工原料A，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A完成，此時師傅還在精加工原料B，27天后，師傅精加工原料B完成，然后接著精加工原料A，再15天后，師傅精加工原料A完成，整個工作完成，一共需要6+21+15=42個工作日．518．x【解析】由 fx1x12014x可得() x，得xx1x，故可歸納得f2(x) f()1x12xx2014，fxffx3() (2())3x()．fx19．FV E 2【解析】三棱柱中 5+6-9=2；五棱錐中 6+6-10=2；立方體中 6+8-12=2，由此歸納可得

FV

E 2．

20．12－22+32－42+?+(1)n1n2=(1)n1

·

(1)

（n∈

N）12014xnn2【解析】觀察上式等號左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項數(shù)一次加1，故第n個等式左邊有n項，每項所含的底數(shù)的絕對值也增加1，一次為1，2，3，?n，指數(shù)都是2，符號成正負交替出現(xiàn)可以用(1)n1表示，等式的右邊數(shù)的絕對值是左邊項的底數(shù)的和，故等 式的右邊可以表示為 (1)n·(1)，所以第 n個式子可為 12－22+32－42+?nn 2+(1)nn=(1)n1·(1)nn1222（n∈N）．21．1000【解析】觀察 n和n前面的系數(shù)，可知一個成遞增的等差數(shù)列另一個成遞減的等差數(shù)列，故 Nn,24nn，N10,2410001121011122．122342221111【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左5662邊=1111 (n2n11，右邊=231)222，所以第五個不等式為n1112111111232242526．23．（1）6；（2）32n114【解析】（1）當N=16時，P xxxxxxLx，可設為(1,2,3,4,5,6,L,16)，012345616P xxxxLxxxxLx，即為 (1,3,5,7,9,L2,4,6,8,L,16)，113571524616PxxxxxxxxxxLx，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,L,16)，x位于 P中的第 6個位置；722）在P中x位于兩段中第一段的第87個位置，位于奇數(shù)位置上，此時P中x位12173在于四段中第一段的第 44個位置上，再作變換 P時， x位于八段中第二段的第3得221731736個位置上，再作變換時，173P中4x位于十六段中的第四段的第 11個位置上．也就是位于的第32n411個位置上．24． n (n1)L (3n 2) (2n1)【解析】把已知等式與行數(shù)對應起來，則每一個2等式的左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù) n，加數(shù)的個數(shù)是 2n1；等式右邊都是完全平方 數(shù)，行數(shù)1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49????等號左邊的項數(shù)

1234

??

1357

所以

n

(n1)L[n

(2n1)1](2n1)2

，即

n

(n1)L

(3n

2)

(2n1)20,n 【解析】根據(jù)合情推理，利用歸納和類比進行簡單的推理，當為偶數(shù)時 25．11 n，當為奇數(shù)時nn230,n可得T=當為偶數(shù)時n11，當n為奇數(shù)時nn2326．962【解析】觀察等式可知，cos的最高次的系數(shù)2,8,32,128構(gòu)成了公比為4的等比數(shù)列，故m1284512．取0，則cos1，cos101，代入等式⑤得151212801120np1，即np350（1）取，則cos1，cos101，代入等式⑤得322111111512()1280()1120()n()p()1222222108642即n4p200（2）聯(lián)立（1）（2）得，n400,p50，所以mnp=512(400)50962．727．【解析】(1)記(abc)為排列abc的逆序數(shù)，對 1，2，3的所有排列，有(123)=0，(132)=1，(213)=1，(231)=2，(312)=2，(321)=3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)．對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置．因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)．(2)對一般的 n(n≥4)的情形，逆序數(shù)為 0的排列只有一個：12n，所以(0)1f．n逆序數(shù)為 1的排列只能是將排列 12所以f(1) n1．n中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，為計算fn11，當1，2，?，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將 n1添加進原排列，n在新排列中的位置只能是最后三個位置．因此， f1(2) f(2) f(1) f(0) f(2) n．nnnnn當n≥5時，f(2)[f(2)f(2)][f(2)f(2)]?[f(2)f(2)]f(2)nnn1n1n2544nn 22 (n1) (n 2)f(2)4，2n因此，n≥5時，f(2)n2． n 2 228．【解析】證明:（1）因為a a n d，1(1)a是等差數(shù)列，設其公差為 d，則nn從而，當 n≥4時，ankanka1 (n k1)d a1 (n k1)d 2a 2(n1)d 2a，k1,2,3,1n所以an ananan anan an32+1+12+3，因此等差數(shù)列a是“P(3)數(shù)列”.n2）數(shù)列a既是“ P(2)數(shù)列”，又是“ P(3)數(shù)列”，因此，n2當n 3時，a2 a1 a1 annn4a，①nn8當n4時，3211236.②a

a a

a a

a annnnnnn由①知，an3an24an1(a