令.，可得\「,則有"-I■'\2兀?:觀察可得二面角r-L-Ej-的平面角、19.(1)取FE的中點P，連接CP交BE于點M,M點即為所求的點.連接PG,???G是AD的中點，P是FE的中點，???PG//AF,又PGu平面MGC,AF匸平面MGC，所以直線AF//平面MGC,BMBC???PE//AD,AD//BC,???PE//BC,一=——=2,MEPE故點M為線段BE上靠近點E的三等分點.(2)不妨設AD=2，由(1)知PG丄AD,又平面ADEF丄平面ABCD，平面ADEFI平面ABCD=AD,PGu平面ADEF，?PG丄平面ABCD.故PG丄GD，PG丄GC，以G為坐標原點，GC，GD，GP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系G-xyz,???ZABC=60。,AB=AD=2AF,AADC為正三角形，GC=j3,_uuuruuu-???G(0,0,0),Cg'3,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1),.GE=(0,1,1),GC=G3,0,0),ururuururuur[y+z=0,設平面CEG的一個法向量n=(x,y,z),則由n?GE=0,GC=0可得j°ur令y=1則n=(0,1,-1)uur_uuruuu???CD=(-J3,1,0)=BA,且A(0,-1,0),故B&3,-2,0),故BG=(—3,2,0),uruuu_廠小小小廠?In-BGIV14故直線BG與平面GCE所成角的正弦值為sm0=-muuu^=InI?丨BGI7

20.(I)取PC中點H，連接EH、FH.???E為AB的中點，ABCD是菱形，???AE//CD，且AE=-CD，又F為PD的中點，H為PC的中點，FH//CD,且FH=丄CD，.:AE//FH，且AE=FH，則四邊形AEHF是平行四邊形，???AF//EH.又AF匸平面PCE，EHu面PCE，AF//平面PCE.(II)取BC(II)取BC的中點為O，???ABCD是菱形，AC=AB,AO丄BC，以A為原點,AO,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，則73,1,0),D(0,2,0)，O(/3,0,0),P(0,0,1),E$,-2,0uuur,2,0，uuuuuur,2,0，AO=\/3,0,0，設平面的法向量為n=(x,y,z)，則<1n?Pc=0卜?n=(x,y,z)，則<11uur，即仁，令y=-1，則x=3,z=2，n-EC=0Ix+y=01〔22平面PCE的一個法向量為n=(/3,—1,2)，又平面PAD的一個法向量為n=(1,0,0)??cosVn,n>=i2i2|nI?InI1PCE所成銳二面角的余弦值為丁.43=丫6.即平面PAD與平面J3+1+4421.解：(1)證明：取PD的中點F，連接EF,CF,因為E,F分別是PA,PD的中點，所以EF//AD且EF=—AD,^2因為BC=丄AB,BC//AD，所以EF//BC且EF=BC，所以BE//CF,又BE匸平面PCD,CFu平面PCD，所以BE//平面PCD.Rr(2)Rr(2)以P為坐標原點，PD,PA所在直線分別為x軸和y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設BC=1，則P(0,0,0),A(0,J3,0),D(l,0,0),C(1,0,1),B(—,￡,1),uuuuur1J3uuuruuurn-PA=0vruurnn-AB=0Iruuurn-PA=0vruurnn-AB=0Iv'3y=01忑y丄0，—xFz=0〔22r設平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z)，則r令x=2，得n=(2,0,-1)，同理可求平面ABD的一個法向量為,runcos{n,mrurn,runcos{n,mrurn-mv15

"V平面ABD和平面ABC為同一個平面,所以二面角P—所以二面角P—AB—C的余弦值為522.解：(I)證明：因為二面角S—AB—C的大小為90°,則SA丄AD,又SA丄AB，故SA丄平面ABCD，又BDu平面ABCD，所以SA丄BD；在直角梯形ABCD中，ZBAD二ZADC二90。，AD二2CD二1，AB二2,所以tanZABD=tanZCAD=1-，又ZDAC+ABAC二90。，2所以ZABD+ZBAC二90。，即AC丄BD；又ACISA=A，故BD丄平面SAC，因為AFu平面SAC，故BD丄AF.(II)設點E(II)設點E到平面ABCD的距離為h因為V=VB—ABCE—ABC且一EABC二—V5S一ABCDV故SABCDE一V故SABCDE一ABC1S-SA3梯形ABCDx13AABCx2x1xh2故h=—，做點E到平面ABCD的距離為—.2223.(1)QE為SD的中點，AD=DC=—SD,ZSDA=ZSDC=6002ED二EC二AD二DC.設O為AC的中點，連接EO,DO則EO丄ACQAD//BC,BC丄CD.AD丄BC.又OD二OA二OC.AEOC二AEOD從而EO丄ODQAC二ABCDDOu面ABCDACIDO=0.EO丄面ABCDQEOu面AEC

/.面EAC/.面EAC丄面ABCD6分⑵設F為CD的中點，連接OF、EF，則OF平行且等于2ADQAD〃BC:.EF〃BC不難得出CD丄面OEF（QEO丄CDFO丄CD）/.面ECD丄面OEFOF在面ECD射影為EF，ZEFO的大小為BC與面ECD改成角的大小設AD二a,則OF=EF='a22cos<EFO=匹EF即BC與ECD即BC與ECD改成角的余弦值為.（亦可以建系完成）12分24.解（I）過點P作PO丄底面ABC,垂足為O,連接AO、CO,則ZPCO為所求線面角，QAC丄PA,AC丄PO,且PAcPO=P，??.AC丄平面PAO.則ZPAO為二面角P-AC-B平面角的補角—PO1:,ZPAO=600,又QPA=2,?P0二、3，sinZPCO==-CO2/.zPCO=30°，直線PC與面ABC所成角的大小為30°.（II）過O作OE丄BC于點E，連接PE，則ZPEO為二面角P-BC-A的平面角,QAC丄平面PAO,AC丄OAZAOE=45°,設OE與CA相交于F./OE=EF+FO=2+在APEO中，tanZPEO=竺EO4.3-屈-7-則二面角P-BC-A的正切值為4J3-、6725.解：(1)如圖，取PA中點F，連接EF,FD,0E是BP的中點，0EF//AB且EF=1AB，又0DC//AB,DC=1AB22:.EF//DC四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD又0EC匸平面PAD,FDu平面PAD.EC//平面ADE(II)取AD中點H，連接PH，因為PA二PD，所以PH丄AD0平面PAD丄平面ABCD于AD，.PH丄面ABCD，.HB是PB在平面ABCD內的射影.APBH是PB與平面ABCD所成角0四邊形ABCD中，ZABC=ABCD=900.四邊形ABCD是直角梯形DC=CB=1AB2設AB=2a，則BD=、i2a在AABD中，易得ADBA=450,AD=\：2aPH=^PD2-DH2竺a.又?BD2+AD2=4a2=AB2.?.AABD是等腰直角三角形，ZADB=90oHB=JDHHB=JDH2+DB2=■1c敘0a2+2a2=a22TOC\o"1-5"\h\z<2_pha.5在RtAPHB中，tanZPBH=——=2=二HB對‘105a2（III）在平面ABCD內過點H作AB的垂線交AB于G點，連接PG,則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG丄AB，所以ZPGH是二面角P—AB—D的平面角，由AB=2a,HA='a，又ZHAB=450.HG=—a22PH~S-a在RtAPHG中，tanZPGH==一=、遼HG1a2二面角P—AB—D的余弦值大小為26.（1）???四棱錐P-ABCD的底面ABCD為邊長為2的正方形，PA=2，PB=PD=2...PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，APA丄AB，PA丄AD，???以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，VE，F，G，H分別為棱PA，PB，AD，CD的中點.?C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），（-2，0，0）^F=（-1，-2，1），CG=（-2，-1，0），設平面CFG的法向量!-=（x，y，z），npCF--K-2y+z=0—■則彳■，取x=1，得n=（1，-2，-3），:n?CG=-2s-y=0

設CD與平面設CD與平面CFG所成角為0，|CD-n|2__.-14則sin0=|cosVCH*口＞1==='|PD|?|n|小414.?.CD與平面CFG所成角的正弦值為斗J.(2)假設棱(2)假設棱PD上是否存在點M(a.b,c),且面二丸m(o<x<i)，使得平面CFG丄平面MEH,IinpEH=K+2y-z=0':n.-EM=2^vKl-2則(a,b,c-2)=(0,2X,-2X),?.a=0,b=2X,c=2-Ik，即M(0,Ik,2—2九