2022/11/8第三章數(shù)系的擴(kuò)充___復(fù)數(shù)2022/11/1第三章12022/11/83.1.2復(fù)數(shù)的概念2022/11/13.1.2復(fù)數(shù)的概念22022/11/8一.復(fù)數(shù)的概念數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也不斷的被擴(kuò)大和充實(shí)，從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的每一次擴(kuò)充，推動(dòng)了生產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)展，也使數(shù)的理論逐步深化和發(fā)展，復(fù)數(shù)最初是由于解方程的需要產(chǎn)生的，后來(lái)由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。2022/11/1一.復(fù)數(shù)的概念數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)32022/11/8我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根。那么我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問(wèn)題可以得到圓滿的解決呢？回答是肯定的。實(shí)際上最根本的問(wèn)題就是要解決1的開(kāi)平方問(wèn)題，即怎樣的一個(gè)數(shù)，它的平方會(huì)等于－1。2022/11/1我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+b42022/11/8現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)數(shù)i，把i叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：（1）i21；（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法與乘法的運(yùn)算率(包括交換率、結(jié)合率和分配率)仍然成立。這樣就解決了前面所提出的問(wèn)題，即1可以開(kāi)平方，且－1的平方根為i.形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).2022/11/1現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)數(shù)i，把i叫做虛數(shù)單52022/11/8二.復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)由兩部分組成，實(shí)數(shù)a與b分別稱為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部與虛部，1與i分別是實(shí)數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng)b=0時(shí)，a+bi就是實(shí)數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)，a+bi是虛數(shù)，其中a=0且b≠0時(shí)稱為純虛數(shù)。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集.2022/11/1二.復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)由兩62022/11/8這樣實(shí)數(shù)集就是復(fù)數(shù)集的一個(gè)子集。它們的關(guān)系如下：2022/11/1這樣實(shí)數(shù)集就是復(fù)數(shù)集的一個(gè)子集。72022/11/8三.復(fù)數(shù)相等的定義根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a,b,c,d∈R，兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di相等規(guī)定為a+bi=c+di.由這個(gè)定義得到a+bi=0.兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.2022/11/1三.復(fù)數(shù)相等的定義根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，82022/11/8例1.實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是：（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解：復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i中，因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，它們分別是z的實(shí)部和虛部，∴（1）m=1時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）m≠1時(shí)，z是虛數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，即m=－1時(shí)，z是純虛數(shù)；2022/11/1例1.實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m92022/11/8例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等則實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，得方程組，解得x=,y=4.2022/11/1例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)102022/11/8xo1你能否找到用來(lái)表示復(fù)數(shù)的幾何模型嗎？實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。一一對(duì)應(yīng)規(guī)定了正方向，直線數(shù)軸原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)(形)(數(shù))(幾何模型)2022/11/1xo1你能否找到用來(lái)表示復(fù)數(shù)的幾何模型嗎？11復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實(shí)軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)一一對(duì)應(yīng)z=a+bi概念辨析例題復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,122022/11/8復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實(shí)軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)一一對(duì)應(yīng)z=a+bi概念辨析例題2022/11/1復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐13實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義:能否把絕對(duì)值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XOAa|a|=|OA|實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離。xOz=a+biy|z|=|OZ|復(fù)數(shù)的絕對(duì)值復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離。(復(fù)數(shù)的模)的幾何意義:Z(a,b)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義:能否把絕對(duì)值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XO142022/11/8例3求下列復(fù)數(shù)的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(3)滿足|z|=5(z∈C)的z值有幾個(gè)？思考：(2)滿足|z|=5(z∈R)的z值有幾個(gè)？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<0)(1)復(fù)數(shù)的模能否比較大小？這些復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上構(gòu)成怎樣的圖形？圖示2022/11/1例3求下列復(fù)數(shù)的模：(3)滿足|z|=5(152022/11/8課堂小結(jié)：一.數(shù)學(xué)知識(shí)：二.數(shù)學(xué)思想：(1)復(fù)數(shù)相等(2)復(fù)平面(3)復(fù)數(shù)的模(3)類比思想(2)數(shù)形結(jié)合思想(1)轉(zhuǎn)化思想課題：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2022/11/1課堂小結(jié)：一.數(shù)學(xué)知識(shí)：二.數(shù)學(xué)思想：162022/11/8(A)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。辨析：1．下列命題中的假命題是（）D2022/11/1(A)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)辨析172022/11/82．“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的（）。(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)不充分不必要條件C2022/11/12．“a=0”是“復(fù)數(shù)a182022/11/8例2已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m允許的取值范圍。表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所在象限的問(wèn)題復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部所滿足的不等式組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化(幾何問(wèn)題)(代數(shù)問(wèn)題)一種重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想2022/11/1例2已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+192022/11/8例2已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m允許的取值范圍。變式：證明對(duì)一切m，此復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第四象限。不等式解集為空集所以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第四象限.2022/11/1例2已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+20課要求一.上課前的準(zhǔn)備:1.在聽(tīng)到鈴聲后快速進(jìn)教室,上課前必須準(zhǔn)備好學(xué)習(xí)用品:書(shū)本,練習(xí)本,文具統(tǒng)一放在桌面的左上角;2.進(jìn)入教室后自己復(fù)習(xí)或預(yù)習(xí),等待老師上課.禁止大聲喧嘩/打鬧.三.上課期間:不能吃食物喝飲料,不能擺弄筆本,不能隨便下位,;坐姿端正(不趴下/不側(cè)坐/不喧嘩/不說(shuō)笑/不打鬧,雙手放在桌上,眼睛注視老師).不做小動(dòng)作,不交頭接耳;學(xué)會(huì)傾聽(tīng):老師和同學(xué)講話時(shí),要坐姿端正,專心致志地聽(tīng),邊聽(tīng)邊想別人在說(shuō)什么,說(shuō)的對(duì)不對(duì),等別人講完后再舉手得到同意后,才能發(fā)表自己的觀點(diǎn).四.聽(tīng)課做到六要:1.要做好聽(tīng)課準(zhǔn)備.2.要聚精會(huì)神/專心致志,遵守課堂紀(jì)律;不講小話,不做與學(xué)無(wú)關(guān)的事,不遲到,不早退,不曠課;3.要緊跟老師的教學(xué)動(dòng)腦,動(dòng)手,手腦并用;4.要踴躍回答老師的提問(wèn)并大膽提出自己的疑難問(wèn)題;5.要帶著自己預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的疑難問(wèn)題,認(rèn)真聽(tīng)講;6.要做好課堂筆記,沒(méi)記下的課后要補(bǔ)記.制作不易盡請(qǐng)參考制作不易盡請(qǐng)參考21xyO設(shè)z=x+yi(x,y∈R)滿足|z|=5(z∈C)的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上將構(gòu)成怎樣的圖形？55–5–5xyO設(shè)z=x+yi(x,y∈R)滿足|z|=5(z∈C)的222022/11/8第三章數(shù)系的擴(kuò)充___復(fù)數(shù)2022/11/1第三章232022/11/83.1.2復(fù)數(shù)的概念2022/11/13.1.2復(fù)數(shù)的概念242022/11/8一.復(fù)數(shù)的概念數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也不斷的被擴(kuò)大和充實(shí)，從自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的每一次擴(kuò)充，推動(dòng)了生產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)展，也使數(shù)的理論逐步深化和發(fā)展，復(fù)數(shù)最初是由于解方程的需要產(chǎn)生的，后來(lái)由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。2022/11/1一.復(fù)數(shù)的概念數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)252022/11/8我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根。那么我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問(wèn)題可以得到圓滿的解決呢？回答是肯定的。實(shí)際上最根本的問(wèn)題就是要解決1的開(kāi)平方問(wèn)題，即怎樣的一個(gè)數(shù)，它的平方會(huì)等于－1。2022/11/1我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+b262022/11/8現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)數(shù)i，把i叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：（1）i21；（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法與乘法的運(yùn)算率(包括交換率、結(jié)合率和分配率)仍然成立。這樣就解決了前面所提出的問(wèn)題，即1可以開(kāi)平方，且－1的平方根為i.形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).2022/11/1現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)數(shù)i，把i叫做虛數(shù)單272022/11/8二.復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)由兩部分組成，實(shí)數(shù)a與b分別稱為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部與虛部，1與i分別是實(shí)數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng)b=0時(shí)，a+bi就是實(shí)數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)，a+bi是虛數(shù)，其中a=0且b≠0時(shí)稱為純虛數(shù)。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集.2022/11/1二.復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)由兩282022/11/8這樣實(shí)數(shù)集就是復(fù)數(shù)集的一個(gè)子集。它們的關(guān)系如下：2022/11/1這樣實(shí)數(shù)集就是復(fù)數(shù)集的一個(gè)子集。292022/11/8三.復(fù)數(shù)相等的定義根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a,b,c,d∈R，兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di相等規(guī)定為a+bi=c+di.由這個(gè)定義得到a+bi=0.兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.2022/11/1三.復(fù)數(shù)相等的定義根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，302022/11/8例1.實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是：（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解：復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i中，因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，它們分別是z的實(shí)部和虛部，∴（1）m=1時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）m≠1時(shí)，z是虛數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，即m=－1時(shí)，z是純虛數(shù)；2022/11/1例1.實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m312022/11/8例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等則實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，得方程組，解得x=,y=4.2022/11/1例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)322022/11/8xo1你能否找到用來(lái)表示復(fù)數(shù)的幾何模型嗎？實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。一一對(duì)應(yīng)規(guī)定了正方向，直線數(shù)軸原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)(形)(數(shù))(幾何模型)2022/11/1xo1你能否找到用來(lái)表示復(fù)數(shù)的幾何模型嗎？33復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實(shí)軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)一一對(duì)應(yīng)z=a+bi概念辨析例題復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,342022/11/8復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實(shí)軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)一一對(duì)應(yīng)z=a+bi概念辨析例題2022/11/1復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐35實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義:能否把絕對(duì)值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XOAa|a|=|OA|實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離。xOz=a+biy|z|=|OZ|復(fù)數(shù)的絕對(duì)值復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離。(復(fù)數(shù)的模)的幾何意義:Z(a,b)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義:能否把絕對(duì)值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XO362022/11/8例3求下列復(fù)數(shù)的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(3)滿足|z|=5(z∈C)的z值有幾個(gè)？思考：(2)滿足|z|=5(z∈R)的z值有幾個(gè)？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<0)(1)復(fù)數(shù)的模能否比較大小？這些復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上構(gòu)成怎樣的圖形？圖示2022/11/1例3求下列復(fù)數(shù)的模：(3)滿足|z|=5(372022/11/8課堂小結(jié)：一.數(shù)學(xué)知識(shí)：二.數(shù)學(xué)思想：(1)復(fù)數(shù)相等(2)復(fù)平面(3)復(fù)數(shù)的模(3)類比思想(2)數(shù)形結(jié)合思想(1)轉(zhuǎn)化思想課題：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2022/11/1課堂小結(jié)：一.數(shù)學(xué)知識(shí)：二.數(shù)學(xué)思想：382022/11/8(A)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。辨析：1．下列命題中的假命題是（）D2022/11/1(A)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)辨析392022/11/82．“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的（）。(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)不充分不必要條件C2022/11/12．“a=0”是“復(fù)數(shù)a402022/11/8例2已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m