第三講點、直線、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)要求考情分析1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解基本事實和定理.2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題1.本講主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角.2.題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，主要為中低檔題1.四個基本事實基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類

(2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).3.直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).題組一走出誤區(qū)1.(多選題)設(shè)α是給定的平面，A，B是不在α內(nèi)的任意)兩點，則下列說法一定正確的是( A.在α內(nèi)存在直線與直線AB異面 B.在α內(nèi)存在直線與直線AB相交 C.在α內(nèi)存在直線與直線AB平行 D.存在過直線AB的平面與α垂直

答案：AD

題組二走進(jìn)教材

2.(教材改編題)如圖6-3-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()圖6-3-1A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C3.(教材改編題)用一個平面去截正方體，截面的形狀不可能是()B.正方形D.正六邊形A.正三角形C.正五邊形答案：C

題組三真題展現(xiàn)

4.(2019年全國Ⅲ)如圖6-3-2，點

N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則(

)圖6-3-2A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線答案：B

5.(2019年上海)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足：a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以)B.兩兩平行D.兩兩異面下哪種關(guān)系( A.兩兩垂直 C.兩兩相交

答案：B

考點一平面的基本性質(zhì)1.(2021年棗莊期末)有結(jié)論：①不共線的三點確定一個平面；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.其中公理(基本事實)的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析：基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，①是基本事實，基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行，②是基本事實，經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面，為共面的判定定理，③不是基本事實，故基本事實的個數(shù)為2個.故選C.答案：C2.在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取)E，F(xiàn)，G，H四點.如果EF∩HG＝P，則點P( A.一定在直線BD上 B.一定在直線AC上 C.在直線AC或BD上 D.不在直線AC上，也不在直線BD上

解析：如圖D38所示，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故選B.圖D38答案：B3.(多選題)(2020年全國Ⅱ改編)下列選項正確的是(

)A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D.若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l

解析：對于A，可設(shè)l1

與l2

相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3

與l1

相交，則交點B在平面α內(nèi)，同理，l3與l2

的交點A也在平面α內(nèi)，所以，AB?α，即l3?α，A正確；對于B，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，B錯誤；對于C，空間中兩條直線可能相交、平行或異面，C錯誤；對于D，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內(nèi)所有直線.因為直線l?平面α，所以直線m⊥直線l，D正確.故選AD.答案：AD【題后反思】共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；二是證明兩平面重合. (2)證明共線的方法：一是先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

考點二判斷空間兩直線的位置關(guān)系[例1](1)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若mα，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A.垂直B.相交C.異面D.平行

解析：依題意，m∩α＝A，n?α，∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.

答案：D

(2)(2021年黃山期中)如圖6-3-3，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.則下列結(jié)論正確的是()A.直線AB與CD可能為異面直線B.直線AB，CD，l相交于一點C.AB＝CDD.直線AC與BD可能為異面直線圖6-3-3解析：梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD是共面直線，A錯誤；由題意知，AB與CD不一定相等，C錯誤；在梯形ABCD中，對角線AC，BD是共面直線，D錯誤；畫出圖形，如圖6-3-4所示：圖6-3-4設(shè)AB∩CD＝M.又AB?α，CD?β，所以M∈α，且M∈β，所以M∈α∩β.又α∩β＝l，所以M∈l，即直線AB，CD，l相交于一點，B正確.答案：B【題后反思】

空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.【變式訓(xùn)練】1.若直線l1

和l2

是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2

在平面β)內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是( A.l與l1，l2

都不相交 B.l與l1，l2

都相交 C.l至多與l1，l2

中的一條相交 D.l至少與l1，l2中的一條相交解析：由直線l1

和l2

是異面直線可知l1

與l2

不平行，故l1，l2

中至少有一條與l相交.故選D.答案：D

2.如圖6-3-5所示，正方體ABCD-A1B1C1D1

中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：圖6-3-5①直線AM與CC1

是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1

是異面直線；④直線AM與DD1

是異面直線.其中正確的結(jié)論為________.解析：因為點A在平面CDD1C1

外，點M在平面答案：③④CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，①錯誤；取DD1中點E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，②錯誤；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，③正確；同理④正確.填③④.

考點三求兩條異面直線所成的角

[例2](2021年青島模擬)如圖6-3-6，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，AA1＝2AB)＝2，則異面直線A1B與AD1

所成角的余弦值為(

圖6-3-6

圖6-3-7答案：D【題后反思】用平移法求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角.(3)三求：解三角形，求出所作的角.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021年聊城一模)如圖6-3-8，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()圖6-3-8解析：如圖D39，過點E作圓柱的母線交下底面于點F，連接AF，易知F為

的中點，圖D39答案：D答案：ACD

⊙構(gòu)造模型解決空間線、面位置關(guān)系

[例3]已知

m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題： ①若m⊥α，n⊥α，則m∥n； ②若m∥α，n∥α，則m∥n； ③若n∥α，m∥β，α∥β，則m∥n； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.則以上命題中真命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3解析：垂直于同一平面的兩條直線平行，即①為真命題；若m∥α，n∥α，則m與n的位置關(guān)系是平行、相交或異面，即②為假命題；若n∥α，m∥β，α∥β，則m與n的位置關(guān)系是平行、相交或異面，即③為假命題；因為m⊥α，α∥β，所以m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，即④為真命題.答案：C【題后反思】

(1)構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤.

(2)由于長方體或正方體中包含了線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直及面面垂直等各種位置關(guān)系，故構(gòu)造長方體或正方體來判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系，顯得直觀、易判斷.構(gòu)造時注意其靈活性，想象各種情況反復(fù)驗證.【高分訓(xùn)練】1.(2021年鄭州模擬)已知空間三條直線l，m，n，若l與m垂直，l與n垂直，則()A.m與n異面B.