第四章

無限長單位脈沖響應（IIR）概述:許多信息處理過程，如信號的過濾、檢測、等都要用到濾波器，數字濾波器是數字信號處理中使用得最廣泛的一種線性系統環節，是數字信號處理的重要基礎。數字濾波器的功能（本質）是將一組輸入的數字序列通過一定的運算后轉變為另一組輸出的數字序列。實現方法主要有兩種：數字信號處理機和計算機。數字濾波器——線性時不變系統。y(n)

x(n)*h(n)一般M

Nb

za

zNMNM

i

i

i

iiii11(1

d

z1

)(1

c

z

)1H

(Z

)

i0

A

i1 數字濾波器的數學描述：差分方程M Ny(n)

ai

x(n

i)

bi

y(n

i)i0

i1系統函數i1Y

(z)

X

(z)H

(z)3)脈沖響應H

(Z

)

h(n)znn0Y

(e

j

)

X

(e

j

)H(e

j

)分類:遞歸系統

非遞歸系統IIRFIR高通低通帶通帶阻經典現代數字濾波器：卡爾曼濾波器維納濾波器數字濾波器模擬濾波器數字濾波器的設計步驟：1）確定濾波器的性能指標。近性能指標，2）用一個因果穩定系統的H(z)或h(n)

去即求h(n)

的表達式；用一個有限精度的運算去實現這個傳遞函數。包括選擇運算結構：如級聯型、并聯型、卷積型、頻率采樣型以及快速卷積（FFT）型等;選擇合適的字長和有效數字的處理方法等(第六章)。確定工程實現方法。ii或確定

H(z)

的系數a

b（第四、五章）c、i

或極零點

i

、di

。設計方法：1）先設計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預定指標的數字濾波器。由于模擬的網絡綜合理論已經發展得很成熟，模擬濾波器不僅有簡單而嚴格的設計公式，而且設計參數已表格化，設計起來方便、準確，可將這些理論繼承下來，作為設計數字濾波器的工具。2）最優化設計方法分兩步：a)確定一種最優準則，如最小均方誤差準則，即使與所要求設計出的實際頻率響應的幅度特性|

H(e

j

)|d的理想頻率響應

|

H

(e

j

)

|

的均方誤差最小，2Mji

He()H()ei1此外還有其它多種誤差最小準則。b)

在此最佳準則下，求濾波器的系數ai

和

bi（

通過不斷地迭代運算，改變

ai

、bi

，直到滿足要求為止。）以上兩種設計方法中，著重講第一種，因為數字濾波器在很多場合所要完成的任務與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網絡等，這時數字濾波也可看作是

“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設計中，采用這種設計方法目前最普遍。由于計算機技術的發展，最優化設計方法的使用也逐漸增多。濾波器的性能指標濾波器的性能指標阻帶|H(jΩ)|=0，以對數表示阻帶衰減，則為∞；通帶內幅度|H(jΩ)|=cons.；H(jΩ)的相位是線性的。通帶:使信號通過的頻帶

阻帶：抑制噪聲通過的頻帶過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍p

：通帶截止頻率。最小阻帶衰減：

At

20lgs過渡帶為零；理想濾波器濾波器的作用2.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100x=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs)+sin(2*pi*f3*n/fs)f1=200;

f2=600;

f3=900;

fs=3000;000.20.40.620000帶通濾波器頻響-1.50102030405060708090100-1-0.500.511.5002004006008001000120050010001500濾波后時域波形§4.1

根據模擬濾波器設計IIR濾波器利用模擬濾波器設計數字濾波器，就是從已知的模擬濾波設計數字濾波器傳遞函數H(z)，這歸根到底是一個由S平面到Z平面的變換，這種 變換應遵循兩個基本原則：器傳遞函數Ha應到Z平面的單位圓

上。的的因果穩定性面Re{S}＜0

應成H(z)后保持不變，即S平面到Z平面的單位圓以內|Z|<1。2）Hae

j1）H(z)

的頻響要能模仿

Ha

(s)

的頻響，即S平面的虛軸變換方法：下面 兩種常用的一、脈沖響應不變法利用模擬濾波器理論設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可從不同的角度出發。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發，使數字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)

正好等于模擬濾波器的沖激響應ha(t)的采樣值，即h(n)=ha(nT),T為采樣周期。

①如以Ha(s)及H(z)分別表示ha(t)

的拉氏變換及h(n)

的Z變換，即Ha(s)=L[ha(t)]

,H(z)=Z[h(n)]根據采樣序列z

變換與模擬信號拉氏變換的關系，得：①

理想采樣的拉氏變換

H

a

(s)

與模擬信號的拉氏變換

H

a

(s)

之間的關系。的拉氏變換

H

a

(s)

與采樣序列的Z

變換

H

(z)

之間存在的S

平面與Z平面的

關系。③

Ha

(s)的周期延拓與H(z)

的關系。H

Z

②mz

eSTa

aTH

s

j

2

mT

H?

(s)

1h?

(t)ah

(t)ah

(n)h?

(t)②

理想采樣

a由②式知，采用脈沖響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器的設計步驟：1）對Ha(s)作周期延拓，2）利用關系

到Z

平面上。z

eST

的所完成的S

平面到Z

平面的變換，正是以前所

的拉氏變換到

Z

變換的標準變換關系，即頻率變換關系是線性的* S平面上每一條寬為的橫帶部分，都將重疊地

到Z平面的整個平面上:每一橫帶的左半部分每一橫帶的右半部分到Z平面單位圓以內，到Z平面單位圓以外；*都對應于繞單位圓一周。軸 到單位圓上，j

軸上每一段sT關系

z

e

：T2j2Ts

j則令

z

rej

,r

eT

,

T00j

T

3

T3TTj

Im(z)Re(

z)S

平面Z平面

:

~

H(Z)的關系，而不是Ha(s)

本身與H(Z)的關系，因此，使用脈沖響應不變法時，從Ha(s)到H(z)并沒有一個由S平面到Z平面的一一對應的簡單代數關系，即沒有一個S=f(z)代數關系式。sT應

，z

e

的 關系反映的是

Ha(s)

的周期延拓與頻率響應由②式，還可看到，數字濾波器的頻響并不是簡單的重現模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓：③延拓周期為H

e1

2

m

jHa

jTTm

2Ts正如第一章的采樣定律中所

的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率ΩS/2

以內，即2aH

(

j)

0

s這時數字濾波器的頻響才能不失真地重現模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率ΩS/2以內）但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即，如圖，這時，數字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。)

1T

TH

(e

)

H

(

jaj脈沖響應不變法中的頻響混疊0H

(e

j

)頻譜混Ha

(疊j

T

)0由Ha(s)

計算H(Z)脈沖響應不變法特別適用于用部分分式表達傳遞函數，模擬濾波器的傳遞函數若只有單階極點，且分母的階數高于分子階數N＞M，則可表達為部分分式形式；⑤單位階躍⑥is

sAiai

1NH

(s)

其拉氏反變換為：Ns

tiau(t)ii1對ha(t)

采樣得到數字濾波器的單位脈沖響應序列Ae

u(t),h

(t)

N

Ns

T

nis

nTiah(n)

h

(nT

)

A

ei)

u(n)A

(eii1i1u(n)

再對h(n)取Z變換，得到數字濾波器的傳遞函數：，如果級數收斂，必有第二個求和為等比級數之和，為1

(esiT

z1

)k所以，⑦

N

Nn0

i1

i1i

n0z1

)ns

nT

nH

(z)

s

T(eiz

AAeii1

esiT

z1k

0,Ai(esiT

z1

)kH

(z)

Ni

1is

T

11

e

z比較⑤式和⑦式，看到：S平面上的極點

S=Si

變換到Z平面上是極點

,而Ha(s)與H(Z)中部分分式所對應的系數不變，但要注意，這種Ha(s)到H(Z)的對應變換關系，只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立。穩定性：如果模擬濾波器是穩定的，則所有極點Si都在SsiT面，即Re[si]＜0,那么變換后H(Z)的極點e也都在單位圓以內，即

,因此數字濾波器保持穩定。z

esiTesiT

eRe

(si

)T

1雖然脈沖響應不變法能保證S平面與Z平面的極點位置有一一對應的代數關系，但這并不是說整個S平面與Z平面就存在這種一一對應的關系，特別是數字濾波器的零點位置與S平面上的零點沒有一一對應關系，而是隨著Ha(s)

的極點Si

與系數Ai

的不同而不同。例將一個具有如下傳遞函數的模擬濾波器數字化。解： 直接利用⑦式，得11(s

1)(s

3)2H

(s)

s

1

s

3H

(z)

111

z

1eT

1

z

1e3T

e3T

)

e4T

z

21

z

1

(eTz

1

(eT

e3T

)模擬濾波器的頻率響應為:示于圖a(3

2

)

j4(

j

1)(

j

3)H

(

j)

H

(s)

s

j22a數字濾波器的頻率響應為:與采樣間隔T有關，如圖b，T越小，衰減越大，混疊越小，當fs=24Hz,混疊可忽略不計，為什么有混迭?顯然H

(e

j

)j

e3T

)e

j