數列解題方法一、基礎知識：數列的定義數列的有關概念

項項數數列數列的通項數列與函數的關系

通項等差數列的定義等比數列的定義等差數列的通項等比數列的通項等比數列等差數列等差數列的性質等比數列的性質等差數列的前n項和等比數列的前n項和數列：1．數列、項的概念：按一定次序排列的一列數，叫做數列，其中的每一個數叫做數列的項．2．數列的項的性質：①有序性；②確定性；③可重復性．3．數列的表示：通常用字母加右下角標表示數列的項，其中右下角標表示項的位置序號，因此數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，?，an，（?），簡記作{n}．其中n是該數列的第n項，列表法、圖象法、符號aa法、列舉法、解析法、公式法（通項公式、遞推公式、求和公式）都是表示數列的方法．4．數列的一般性質：①單調性；②周期性．5．數列的分類：①按項的數量分：有窮數列、無窮數列；②按相鄰項的大小關系分：遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列、其他；③按項的變化規律分：等差數列、等比數列、其他；④按項的變化范圍分：有界數列、無界數列．6．數列的通項公式：如果數列{an}的第n項n與它的序號n之間的函數關a=fa系可以用一個公式n（）（∈N+或其有限子集{1，2，3，?，n}）nn來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．數列的項是指數列中一個確定的數，是函數值，而序號是指數列中項的位置，是自變量的值．由通項公式可知數列的圖象是散點圖，點的橫坐標是項的序號值，縱坐標是各項的值．不是所有的數列都有通項公式，數列的通項公式在形式上未必唯一．7．數列的遞推公式：如果已知數列{n}的第一項（或前幾項），且任一項an=n與它的前一項n-（1或前幾項n-1，n-2，?）間關系可以用一個公式an1）（an1,an（=2，3，?）（或n=（2）(3，4，5，?)，?）nafn=來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式．8．數列的求和公式：設n表示數列{n}和前n項和，即n=n=1+2+?iSaSaaai1+n，如果n與項數n之間的函數關系可以用一個公式n=（）（=1，aSSfnn2，3，?）來表示，那么這個公式叫做這個數列的求和公式．9．通項公式與求和公式的關系 ：通項公式n與求和公式n的關系可表示為：anS1(n1)aSSnSn1(n2)等差數列與等比數列：等差數列等比數列一般地，如果一個數列從第二一般地，如果一個數列從第二文項起，每一項與它的前一項的 項起，每一項與它的前一項的字差是同一個常數，那么這個數 比是同一個常數，那么這個數定列就叫等差數列，這個常數叫 列就叫等比數列，這個常數叫義等差數列的公差。 等比數列的公比。符號an1andan1q(q0)an定義遞 增 數 列 ：遞增數列：分遞減數列：類

d0a10，q1或a10，0q1d0遞減數列：常數數列：d0a10，q1或a10，0q1擺動數列： q 0常數數列：q1通ana1(n1)dpnqam(nm)dana1qn1amqnm0）項其中pd,qa1d（q前nSnn(a1an)na1n(n1)dpn2qna1(1qn)1)22Sn1(q其中pd,qa1dq項na1(q1)22和中a,b,c成等差的充要條件:2baca,b,c成等比的必要不充分條件：b2ac項等和性：等差數列an等積性：等比數列an若mnpq則若mnpq則主amanapaqamanapaq推論：若mn2p則推論：若mn2p則要aman2apaa(a)2性mnpankank2anaa(a)2knkn質na1ana2an1a3an2aaaaaan1n21n23即：首尾顛倒相加，則和即：首尾顛倒相乘，則積相等相等1、等差數列中連續m項的和，1、等比數列中連續項的和，組組成的新數列是等差數列。即：成的新數列是等比數列。即：sm,s2msm,s3ms2m,等差，公sm,s2msm,s3ms2m,等比，公比為差為m2d則有s3m3(s2msm)qm。其2、從等差數列中抽取等距離的2、從等比數列中抽取等距離項組成的數列是一個等差數的項組成的數列是一個等比數列。列。如：a1,a4,a7,a10,（下標成等差如：a1,a4,a7,a10,（下標成等差它數列）數列）3、an,bn等差，則a2n，a2n1，3、an,bn等比，則a2n，a2n1，kanb，panqbn也等差。kan4、等差數列an的通項公式是n也等比。其中k0的一次函數，即：4、等比數列的通項公式類似于andnc(d0)n的指數函數，等差數列an的前n項和公式na1即：ancq，其中cq是一個沒有常數項的n的二次等比數列的前n項和公式是函數，一個平移加振幅的n的指數函性即：SnAn2Bn(d0)數，即：sncqnc(q1)5、項數為奇數1的等差數列2n5、等比數列中連續相同項數的有：積組成的新數列是等比數列。s奇ns奇s偶ana中s偶n1s2n1(2n1)an項數為偶數2n的等差數列質有：s奇an，s偶s奇nds偶an1s2nn(anan1)6、anm,amn則amn0snsm則smn0(nm)snm,smn則smn(mn)證證明一個數列為等差數列的方明法：方 1、定義法：an1 an d(常數)法 2、中項法：an1 an1 2an(n 2)

證明一個數列為等比數列的方法：1、定義法： an1 q(常數)an2、中項法：20)an1an1（an）(n2,an設元 三數等差：技 四數等差：巧

ad,a,ad三數等比：a3d,ad,ad,a3d四數等比：

,a,aq或a,aq,aq2qa,aq,aq2,aq31、若數列an是等差數列，則數列Can是等比數列，公比為Cd，聯其中C是常數，d是an的公差。系2、若數列an是等比數列，且an0，則數列logaan是等差數列，公差為logaq，其中a是常數且a0,a1，q是an的公比。數列的項an與前n項和Sn的關系：ans1(n1)snsn1(n2)數列求和的常用方法：1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數列求和。2、錯項相減法：適用于差比數列（如果做差比數列）

an等差， bn等比，那么 anbn 叫即把每一項都乘以 bn的公比q，向后錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。適用于數列1和1（其中an等差）anan1anan1可裂項為：11(11)，11(an1an)anan1danan1anan1d等差數列前 n項和的最值問題：1、若等差數列an的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通項an，則Sn最大an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，則當n取最靠近q的非零自然數時Sn最大；2p2、若等差數列an的首項a10，公差d0，則前n項和Sn有最小值（ⅰ）若已知通項an，則Sn最小an0；an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，則當n取最靠近q的非零自然數時Sn最小；2p數列通項的求法：⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。⑵已知Sn（即a1a2Lanf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。SnSn1,(n2)已知a1ga2gLganf(n)求an，用作商法：anf(1),(n1)。f(n),(n2)f(n1)⑶已知條件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求an；有時也可直接求an。⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)L(a2a1)a1(n2)。⑸已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1La2a1(n2)。anan1an2a1⑹已知遞推關系求 an，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an；形如ankan1kn的遞推數列都可以除以kn得到一個等差數列后，再求an。（2）形如anan1的遞推數列都可以用倒數法求通項。kan1b（3）形如an1ank的遞推數列都可以用對數法求通項。（8）遇到an1an1d或an1q時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段an1形式數列求和的常用方法：1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式。2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和。3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前n和公式的推導方法）.（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前n和公式的推導方法）.5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：①11)11；②1k)1(11k)；n(nnn1n(nknn③11111)，1111111；k2k2(kk1(k1)kk2(k1)kk1k12k1k1④11[11]；⑤n11；n(n2)1)(n2)(n1)!n!1)(n2n(n1)(n(n1)!⑥2(n1n)n211n212(nn1)nnn二、解題方法：求數列通項公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an（n1S1，n2時，anSnSn1）時，a13、求差（商）法如：an滿足1a112a2??1nan2n5121a22解：n1時，1215，∴a1421n2時，1112n152a122a2??2n1an1212得：1an22n∴an2n1∴an14(n1)2n1(n2)［練習］數列an滿足SnSn15an1，a14，求an3、疊乘法例如：數列an中，a13，an1n，求anann1解：a2·a3??an1·2??n1，∴an1a1a2an123na1n又a13，∴an3n5、等差型遞推公式由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法n2時，a2a1f(2)a3a2f(3)兩邊相加，得：????anan1f(n)ana1f(2)f(3)??f(n)∴an a0 f(2) f(3) ?? f(n)［練習］數列 an，a1 1，an 3n1 an1 n 2，求an6、等比型遞推公式ancan1dc、d為常數，c0，c1，d0可轉化為等比數列，設anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xdc1∴and是首項為a1d，c為公比的等比數列c1c1∴ancda1d·cn11c1∴ana1cdcn1d11c［練習］數列 an滿足a1 9，3an1 an 4，求an、倒數法例如：a11，an12an，求anan2由已知得：1an211an12an2an1 1 1∴an1 an 21為等差數列，1，公差為1ana1211n1·11n1an22∴an2n1數列前n項和的常用方法：1、公式法：等差、等比前 n項和公式2、裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。n1如：an是公差為d的等差數列，求k1akak1解：由/