全等三角形本課內容本節內容2.5子目內容2.5.2三角形全等的判定定理（2）返回

如圖2-46,在△ABC和△A’B’C’

中,如果∠A=∠A′

,∠B=∠B′

,

BC=B’C’.那么△ABC和△A’B’C’

全等嗎？圖2-46動腦筋在△ABC和△A’B’C’中,∵∠A=∠A′,

∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.又∵BC=B’C’,

∠B=∠B′,∴△ABC≌△A’B’C’(ASA)

.

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(可簡寫成“角角邊”或“AAS”).結論例5

已知：如圖2-47,∠B=∠D,∠1=∠2.

求證：△ABC≌△ADC.“角角邊”圖2-47舉例證明：∵

∠1=∠2,∴∠ACB=∠ACD(等角的補角相等).在△ABC和△ADC中,∠B=∠D,

∠ACB=∠ACD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC（AAS）.例6

已知：如圖2-48,點B,F,C,E在同一條直線上,

AC∥FD,∠A=∠D,BF=EC.求證：△ABC≌△DEF.“角角邊”圖2-48舉例證明：∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.∵BF=EC,∴

BF+FC=EC+FC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠ACB=∠DFE

,BC=EF,∴△ABC≌△DEF（AAS）.探究如圖2-49,在△ABC和△A’B’C’

中,如果AB=A’B’,

BC=B’C’,

AC=A’C’

,那么△ABC和△A’B’C’全等嗎？

圖2-49A’B’C’B’’C’’A’’探究如圖2-49,在△ABC和△A’B’C’

中,如果AB=A’B’,

BC=B’C’,

AC=A’C’

,那么△ABC和△A’B’C’全等嗎？

圖2-50∵A’B’=A’’B’,

A’C’=A’’C’

,∴∠1=∠2,∠3=∠4.從而∠1+∠3=∠2+∠4,

即∠B’A’C’=∠B’A’’C’.在△A’B’C’和△A’’B’C’中,A’B’=A’’B’,∠B’A’C’=∠B’A’’C’

,A’C’=A’’C’,∴△A’B’C’≌△A’’B’C’（SAS）.

∴△ABC

≌△A’B’C’.三邊分別相等的兩個三角形全等.(可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).結論例7

已知：如圖2-51,

AB=CD,BC=DA.

求證：∠B=∠D.“邊邊邊”圖2-51舉例證明：在△ABC和△CDA中,AB=CD

,

BC=DA,AC=CA

(公共邊),∴△ABC≌△CDA（SSS）.∴

∠B=∠D.

例8

已知：如圖2-52,在△ABC中,

AB=AC,

點D,E在BC上,且AD=AE,BE=CD.求證：△ABD≌△ACE.“邊邊邊”圖2-52舉例證明：∵BE=CD,

∴

BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在△ABD和△ACE中,AB=AC,

BD=CE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE（SSS）.

小知識由“邊邊邊”可知,只要三邊的長度確定,那么這個三角形的形狀和大小也就固定了,三角形的這個性質叫作三角形的穩定性.

三角形的穩定性在生產和生活中有廣泛的應用.探究ABCB’C’A’2.5cm3cm45°45°3cm2.5cm由此你能得出什么結論？根據下列條件,分別畫△ABC和△A’B’C’.(1)AB=A’B’=3cm,AC=A’C’=2.5cm

,∠B=∠B’=45°；滿足上述條件畫出的△ABC和△A’B’C’一定全等嗎？結論兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等.探究根據下列條件，分別畫△ABC和△A’B’C’.(2)

∠A=∠A’=80°,∠B=∠B’=30°

,∠C=∠C’=70°.滿足上述條件畫出的△ABC和△A’B’C’一定全等嗎？請你動手畫一畫.由此你能得出什么結論？B’C’A’70°80°30°70°80°30°BAC結論三角分別相等的兩個三角形不一定全等.例9

已知：如圖2-55,

AC與BD相交于點O,

且AB=DC,AC=DB.求證：∠A=∠D.圖2-55舉例例9

已知：如圖2-55,

AC與BD相交于點O,

且AB=DC,AC=DB.求證：∠A=∠D.“邊邊邊”圖2-55舉例證明：連接BC.在△ABC和△DCB中,AB=DC,

BC=CB(公共邊),AC=DB,∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠A=∠D.

例10

某地在山區修建高速公路時需挖通一條隧道.為估測這條隧道的長度（如圖2-56）,需測出這座山A,B間的距離,結合所學知識,你能給出什么好方法嗎？圖2-56舉例解：選擇某一合適的地點O,使得從O點能測出AO與BO的長度.連接AO并延長至A’,使OA’=OA;連接BO并延長至B’,使OB’=OB,連接A’B’,這樣就構造出兩個三角形.O在△AOB和△A’OB’中,

OA=OA′,

∠AOB=∠A’OB′,OB=

OB’,∴△AOB≌△A’OB’(SAS)

.∴AB=A’B’.因此只要測出A’B’的長度就能得到這座山A,B間的距離.

圖2-56說一說

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