.PAGE.數(shù)列通項(xiàng)與求和常見(jiàn)方法歸納知能要點(diǎn)1、求通項(xiàng)公式的方法：<1>觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系,然后猜想檢驗(yàn),即得通項(xiàng)公式an；<2>利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<S1,Sn－Sn－1>>eq\b\lc\\rc\<\a\vs4\al\co1<n＝1,,n≥2；>><3>公式法：利用等差<比>數(shù)列求通項(xiàng)公式；<4>累加法：如an＋1－an＝f<n>,累積法,如eq\f<an＋1,an>＝f<n>；<5>轉(zhuǎn)化法：an＋1＝Aan＋B<A≠0,且A≠1>．2、求和常用的方法：<1>公式法：①②<2>裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差,即,然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見(jiàn)的裂項(xiàng)：①②③④⑤<3>錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法<這也是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法>.<4>倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性,則常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和<這是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法>.<5>分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將"和式"中"同類項(xiàng)"先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.二、知能運(yùn)用典型例題考點(diǎn)1：求數(shù)列的通項(xiàng)[題型1]解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法<逐差相加法>求解。[例1]已知數(shù)列滿足,,求。解：由條件知：分別令,代入上式得個(gè)等式累加之,即所以,[題型2]解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法<逐商相乘法>求解。[例2]已知數(shù)列滿足,,求。解：由條件知,分別令,代入上式得個(gè)等式累乘之,即又,[題型3]<其中p,q均為常數(shù),且>。解法<待定系數(shù)法>：轉(zhuǎn)化為：,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。[例3]已知數(shù)列中,,,求。解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令,則,且.所以是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,所以.[題型4]<其中p,q均為常數(shù),且>。<或,其中p,q,r均為常數(shù)>。解法：一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得：引入輔助數(shù)列<其中>,得：再待定系數(shù)法解決。[例4]已知數(shù)列中,,,求。解：在兩邊乘以得：令,則,解之得：所以[題型5]遞推公式為與的關(guān)系式。<或>解法：這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。[例5]已知數(shù)列前n項(xiàng)和.<1>求與的關(guān)系；<2>求通項(xiàng)公式.解：<1>由得：于是所以.<2>應(yīng)用題型4<,其中p,q均為常數(shù),且>的方法,上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以[題型6]解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為,再利用待定系數(shù)法求解。[例6]已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由兩邊取對(duì)數(shù)得,令,則,再利用待定系數(shù)法解得：。考點(diǎn)2：數(shù)列求和[題型1]公式法[例7]已知是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列滿足<1>求的通項(xiàng)公式；<2>求的前項(xiàng)和.解：<1>依題a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,解得a1=2…2分通項(xiàng)公式為an=2+3<n-1>=3n-1…6分<2>由<Ⅰ>知3nbn+1=nbn,bn+1=bn,所以{bn}是公比為的等比數(shù)列…9分所以{bn}的前n項(xiàng)和Sn=…12分[題型2]裂項(xiàng)求和[例8]為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0,.<1>求{}的通項(xiàng)公式；<2>設(shè)QUOTEQUOTE,求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.解析：<1>=；<2>由<1>知,=,所以數(shù)列{}前n項(xiàng)和為==.[題型3]錯(cuò)位相減求和[例9]已知數(shù)列和滿足,.<1>求與；<2>記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求.解析：<1>由,得.當(dāng)時(shí),,故.當(dāng)時(shí),,整理得,所以.<2>由<1>知,所以所以所以.[題型4]分組求和[例10]已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1＝3,a4＝12,數(shù)列{bn}滿足b1＝4,b4＝20,且{bn－an}為等比數(shù)列．<1>求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；<2>求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．解：<1>設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d＝eq\f<a4－a1,3>＝eq\f<12－3,3>＝3.所以an＝a1＋<n－1>d＝3n<n＝1,2,…>．設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q,由題意得q3＝eq\f<b4－a4,b1－a1>＝eq\f<20－12,4－3>＝8,解得q＝2. 所以bn－an＝<b1－a1>qn－1＝2n－1.從而bn＝3n＋2n－1<n＝1,2,…>．<2>由<1>知bn＝3n＋2n－1<n＝1,2,…>．?dāng)?shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為eq\f<3,2>n<n＋1>,數(shù)列{2n－1}的前n項(xiàng)和為1×eq\f<1－2n,1－2>＝2n－1,所以,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為eq\f<3,2>n<n＋1>＋2n－1.三、知能運(yùn)用訓(xùn)練題1、<1>已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；<2>已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解]<1>,<2>,,當(dāng)時(shí),.2、已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解],是以為公比的等比數(shù)列,其首項(xiàng)為3、已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解],,令則,4、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解析]當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.是以為公比的等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,5、已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解析],,令數(shù)列是等差數(shù)列,,.6、已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解]由得又,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,．7、已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和為.<1>求數(shù)列的通項(xiàng)公式；<2>設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.[解析]〔1設(shè)數(shù)列的公差為,令得,所以.令得,所以.解得,所以〔2由〔I知所以所以兩式相減,得所以8、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f<n2＋n,2>,n∈N*.<1>求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；<2>設(shè)bn＝＋<－1>nan,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．解：<1>當(dāng)n＝1時(shí),a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝eq\f<n2＋n,2>－eq\f<〔n－12＋〔n－1,2>＝n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.<2>由<1>知,bn＝2n＋<－1>nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n＝<21＋22＋…＋22n>＋<－1＋2－3＋4－…＋2n>．記A＝21＋22＋…＋22n,B＝－1＋2－3＋4－…＋2n,則A＝eq\f<2〔1－22n,1－2>＝22n＋1－2,B＝<－1＋2>＋<－3＋4>＋…＋[－<2n－1>＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.9、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,是等差數(shù)列,且<1>求數(shù)列的通項(xiàng)公式；<2>令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解析：〔1由題意知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,可解得,所以.〔2由〔Ⅰ知,又,得,,兩式作差,得所以10、等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且<1>求數(shù)列的通項(xiàng)公式；<2>設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：〔1設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由得所以。由條件可知a>0,故。由得,所以。故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=。〔2故所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為11、在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．<1>求d,an；<2>若d<0,求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：<1>由題意得,a1·5a3＝<2a2＋2>2,由a1＝10,{an}為公差為d的等差數(shù)列得,d2－3d－4＝0,解得d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11<n∈N*>或an＝4n＋6<n∈N*>．<2>設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0,由<1>得d＝－1,an＝－n＋11,