確定性決策法及其應用2§2.1確定型決策概述概念:確定型決策是指待決策問題的未來發展只有一種確定的結果。決策者的任務就是分析各種可行方案所得的結果，從中選擇最佳方案。確定性決策的主要特征有四方面：一是事物未來的狀態只有一個狀態；二是有決策者希望達到的目標；三是有兩個以上的多個備選方案；四是不同方案在該狀態下的收益是清楚的3§2.2線性盈虧分析決策法線性盈虧分析（LinearBreakevenAnalysis）來自于管理會計中企業的生產決策問題：（在短期內）企業經理們要經常面臨決策生產多少產量合適？即產量水平定多高合適？這就離不開總收益與總成本的對比分析。從長期來看，經理們要設法確定企業生產的臨界產量，從而充分發揮企業的資源優勢，提高生產要素的使用效率，最終確定最優的生產規模。4簡言之，線性盈虧分析是對企業生產中的總成本與總收益的變化作線性分析的一種方法。其目的是掌握企業經營的盈虧界限，確定企業的最優生產規模，使企業獲得最大的經濟效益。其中“線性”二字是指企業的總收益和總成本均是產量的線性函數。5線性盈虧分析1.假定條件：企業的總收益TR(totalrevenue)和總成本TC(totalcost)均為產量Q的線性函數。2.決策變量：確定既不虧損又不盈利時的臨界產量水平Q*=?3.求解方法：(1)解析法（代數方法求解）(2)圖形法（借助幾何圖形求解）6例如，企業研發一新產品，成本分為固定成本FC(Fixcost)和變動成本VC(varycost)，且銷售價格P是已知的。要決策問題是，是否要決定生產該產品？以及如果要生產的話，生產多少產量合適？7盈虧分析原理如下：1.解析法：總收益TR=價格×銷量=P×Q總成本TC=固定成本FC+變動成本VC=固定成本FC+單位變動成本Cv×銷量Q

8求當利潤=0時（即盈虧平衡時）的Q*,即要求盈虧平衡產量則應滿足如下等式：顯然，當Q>Q*時，利潤為正，此時盈利；當Q<Q*時，利潤為負，此時虧損；當Q=Q*時，利潤為零，此時盈虧達到平衡9注意：盈虧分析的結論表述方式盈虧分析的結論，屬于帶有附加條件的分析結論。結論表述（達）模式為：如果……,那么……..；當…….時,則…….。請注意以下表述：10在Q*確定之后，要根據企業自己的具體生產能力進行如下決策：（1）若生產能力跟得上，則就生產Q>Q*這么多產量；（2）若沒有生產Q*這么大的生產能力，則就不生產該產品；112.圖解法總收益TR=P·Q總成本TC=F+Cv·Q當TR>TC時，盈利；當TR<TC時，虧損；122.圖解法根據盈虧平衡圖來確定Q*TRTCFCTRTCQAQ*0盈利區域和數額虧損區域及數額當Q>Q*時，盈利；當Q<Q*時，虧損；當Q=Q*時，利潤為零，此時盈虧達到平衡13舉例說明某企業準備投資一條生產線來生產某A產品，其生產的單位變動成本為12元，投資的固定成本總額為30000元，市場上銷售該產品每件的銷售價格為18元，那么在生產該產品的盈虧平衡點（保本點）的產量是多大？14具體應用之一——設備是否更新問題的決策例2.1：假設某公司生產某種產品，生產設備更新之前與之后的總成本分別為且已知產品售價為P，若更新設備則需要增加固定成本（一次性投資），但可減少單位變動成本，導致利潤增加。是否更新，各有利弊問：是否應該更新設備？分析：設更新設備之前與之后的盈虧平衡產量分別為Q*1和Q2*，假設更新之前與之后，使得總成本相等時的產量為盈虧平衡產量Q3*1516盈虧分析平衡圖TRTC1F1＄QAQ2*0Q3*Q1*TC2BCF2結論為：1.當Q>Q2*時，則更新設備合適2.當Q3*<Q<Q2*,雖仍虧損，但更新后虧損較少，則應更新。3.當Q<Q3*，由于更新后成本變大，且虧損更多，故不更新。所以，是否更新設備取決于能夠達到的產量水平Q的大小。17再次提醒注意：這里的決策結論的表述。18例2.2：某企業生產上現需要某個配件?，F有兩種方案選擇：一是向外訂購；二是自己生產制造。若外購的價格為P,自制的固定成本為F,單位變動成本為Cv。盈虧分析：根據圖形(下面)可知，盈虧平衡產量為Q*=F/(P-Cv)當Q<Q*時，自制成本大于外購費用，則最優決策是“外購”當Q>Q*時，自制成本小于外購費用，則最優決策是“自制”具體應用之二——自制或外購問題的決策19自制還是外購決策問題的舉例20另一種方法——方法2不用作盈虧分析，可直接根據成本的高低比較來作出最優決策。若選擇外購新部件，則成本為1800×2=3600元若選擇自制新部件，則成本為2000+1×1800=3800元，比較成本后發現，應選擇外購。21盈虧分析法（給出該決策問題的一般解法）因為盈虧平衡產量為Q*=F/(P-C)=2000/(2-1)=2000因此，應根據企業的實際產量或實際需求量來決定采用何方案。若實際產量Q>2000，則自己生產較合適；若實際產量Q<2000,則外購較合適。在此例中，因為實際需求量只有Q=1800<2000,故應該采用外購方案。22具體應用之三——生產規模的最優決策問題例2.3P311:為建設某類工廠有三種建設方案：甲方案：從國外引進，固定成本800萬元，產品每件可變成本為10元。乙方案：采用一般國產自動化裝置，固定成本500萬元，每件可變成本12元。丙方案：采用自動化程度較低的國產設備，固定成本300萬元，每件可變成本15元。試確定不同生產規模下的最優方案。23各方案的總成本線（1）A點：令TC乙=TC丙，得出QA=（500-300）/（15-12）=67萬件（1）B點：令TC甲=TC乙，得出QB=（800-500）/（12-10）=150萬件。從圖中看出，A、B點將產量分為三段，第一段為小于QA；第二段在（QA，QB）之間；第三段大于QB。當生產規模Q<QA時，選擇最優的丙方案。當生產規模QA<Q<QB時，選擇最優的乙方案。當生產規模Q>QB時，選擇最優的甲方案。假如，現在決定的生產規模為80萬件，則最優的建廠方案是乙方案。24例2.4：借助于EXCEL電子表格，通過引入可變參數S來自動完成計算工作。已知，某企業擬生產一種新電子產品，其單位可變成本Cv=200元，固定成本F=40000元，銷售價格P=700元。則公司是否應該生產該新產品而不虧損？若生產的話，生產多少合適？解答：假設市場需求的預測量為S，該問題實際上歸結為，根據市場需求S的變化，來確定決策變量——產量Q的數值,使得公司不虧損，即進行盈虧平衡分析。用符號描述如下：目標函數——利潤Π=700·Q－40000同時滿足兩個約束條件：Q≥0,且Q≤S25這里的例子是欲作公司生產的盈虧決策分析，而不是想作利潤最大化的決策分析。具體而言：這里的準確意思應表述為：在給定市場需求量

S

數值的條件下，要選擇滿足上述約束的產量水平Q，使得公司不虧損。屬于盈虧決策分析。而不是說，在S既定的條件下，要選擇滿足約束的產量Q，使得利潤達到最大的決策。26首先，求出盈虧平衡產量Q*Q*=F/（P-C）=40000/（700-200）=80，則最優決策方案取決于市場需求量S的數值：(1)若S≤80,則企業虧損，應選擇不生產，即Q=0，此時利潤Π=0，即當需求量S不超過80時，應選擇不生產該新產品。(2)若S>80，則企業盈利，應選擇進行生產，生產數量Q=S，此時利潤Π>0。即只有在需求量S超過盈虧平衡點時才值得引入該新產品進行生產，可生產產量達到S。實際上，通過EXCEL軟件可自動完成計算，請看演示！27§2.3非線性盈虧決策法當假定企業生產的總收益TR和總成本TC不是產量Q的線性函數時，就需要用非線性盈虧決策方法。這種情況更常見，因為車國內本結構比較復雜，不一定隨產量變動而成比例變動，所以總成本TC經常是Q的非線性函數一般的說，企業的生產決策問題中往往涉及如下四個變量：自變量（決策變量）——產量Q，因變量——總銷售收入TR(Q)，不是Q的線性函數。因變量——總成本TC(Ｑ)，不是Q的線性函數.目標變量——利潤Π(Q)＝TR(Q)-TC(Q)28此時，總收益TR函數和總成本TC函數的圖形都是曲線總收益TR=R(Q);總成本TC=C(Q);利潤Π＝TR-TC=R(Q)-C(Q)291.盈虧平衡時產量的決定——Π(Q)=0當利潤Π(Q)＝TR(Q)-TC(Q)＝０，從中解出Ｑ即可。但是，由于TR曲線和TC曲線相交有兩個Ｑ，分別為Ｑ1和Ｑ2（假定Ｑ1＜Ｑ2）,參見上圖結論：(1)當實際產量Ｑ<Q1或Ｑ>Q2時，虧損；(2)當實際產量Ｑ滿足：Q1<Ｑ<Q2時，盈利；302.利潤Π最大化時產量的決定——

MR(Q)=MC(Q)由于利潤依賴于產量Ｑ，即利潤Π(Q)＝TR(Q)-TC(Q)，問：當Ｑ＝？時，利潤Π（Ｑ）最大？求極值原理：求導數，并令其為０，得到即滿足條件：邊際收益MR(Q*)＝邊際成本MC(Q*)滿足該等式的產量Ｑ＊就是使利潤Π達到最大的產量。需要提醒注意的是：企業進行生產決策的產量往往是利潤最大化的產量，但此時并不意味著是盈利的，可能仍是虧損的，只不過該產量水平下的虧損是最少的。31再一次強調：１.盈虧平衡分析的目標是以盈利為目標，即若按照超過平衡產量的產量水平進行生產，則一定能夠盈利。２.利潤最大化分析的目標是以利潤最多為目標，即在滿足邊際收益等于邊際產量條件之下所決定的產量水平下進行生產，則一定能夠使利潤最大。３.換言之，從二者的關系考察，若在利潤最大之下的產量處生產，不一定保證是盈利的，但一定是虧損最少的。反之，若僅在保證盈利條件下的產量處生產，也不一定保證是最大的盈利。32例2.5——非線性盈虧決策分析法例２.５已知某產品的生產成本函數TC和銷售收入函數TR分別為試求，盈虧平衡點產量和最大盈利產量。解：當TR=TC時，可以求出盈虧平衡點。此時，解得Ｑ1=1000,

Q2=9000;又根據利潤函數和最大化一階條件，得出解得Ｑ＝5000.所以,當Q=5000時，可實現最大盈利33可見，由于兩個問題不同，因而其答案也不同：第一問：為保證盈利（不虧損），生產產量僅需要滿足第二問：為保證盈利最大，生產產量一定只能是Ｑ＝5000。當然，此題還是屬于比較正常的情形。34§2.4線性規劃決策法（重點節）一、線性規劃（LinearProgramming）概念1.含義：是指這樣一類優化問題：求決策變量Xi為多少時，能夠在滿足一定的線性約束（等式或不等式）條件下，使得決策變量Xi的線性目標函數值達到最優（最大或最?。┑慕洕鷥灮瘑栴}。2.特征（三要素）：一組決策變量、一個目標函數、一組約束條件35例2.6（很重要，后面多次使用）:關于兩種型號計算機的最優生產決策某工廠生產A、B兩種型號的計算機，為了生產一臺A型和B型計算機，需要分別消耗原料2噸和3噸，需要工時分別為4小時和2小時。在生產的計劃期內可以使用的原料有100噸，工時為120小時。已知生產每臺A、B型號計算機可以分別獲利為600元和400元，試確定獲利最大的生產方案。36上述已知條件可以概括在下表中產品品種

生產單位產品所需的投入原料(噸)工時(小時)A型計算機B型計算機2３４２可供使用或消耗的資源總量原料100噸工時120小時37此經濟問題的決策步驟決策目標：經濟效益，即利潤；決策準則：經濟效益最大，即利潤最多；最優策略：使利潤最大的一種生產計劃，即利潤最多的生產產品數量的組合策略決策方法：第一步，設立決策變量，建立規劃模型。第二步，求解規劃模型。第三步，還原問題，給出實際問題的答案38第一步，假設x1，x2分別表示計劃期內的生產產品Ａ,Ｂ的產量因為，原料和工時都是有限的，所以在確定ＡＢ產量時要滿足下列的約束條件：原料約束：工時約束：非負約束：目標函數：39所以，該最優化問題可表示為如下線性規劃模型：40所以這類優化問題的特征是第一，用一組未知變量x1,x2表示所求方案，這組變量的數值就代表一個具體方案，這些未知數成為決策變量。一般這些決策變量取值都是非負的。第二，存在一定的約束條件，這些約束條件可以用一組線性等式或不等式來表示。第三，有一個要求達到的目標，并且這些目標可以表示為這組決策變量的線性函數，稱為目標函數。目標函數可以求最大，也可以求最小。所以，一個線性規劃模型中有三個要素：第一，決策變量第二，約束條件第三，目標函數413.線性規劃模型的一般表示數學模型為這是有n個決策變量x,m個線性約束條件，一個線性目標函數的線性規劃模型在利潤最大化問題中，目標函數系數ci表示為第i種產品帶來的單位利潤，aij為生產1單位i產品所消耗的j資源的數量，bj為第j種資源的擁有量42二、線性規劃（LP）問題的求解（一）圖解法（僅適合兩個決策變量問題）步驟：1.用符號將實際問題描述成數學規劃問題2.在平面坐標系中，正確畫出約束條件表示的平面區域，以及目標函數表示的直線。3.確定最優解和最優目標值。43仍是例2.６：A、B兩種型號計算機的生產問題解答假設x1,x2分別表示計劃期內的計算機產量，該問題的數學模型為44答案：該企業應該在計劃期內生產Ａ、Ｂ型計算機各20臺,能使利潤最大，此時最大利潤為20000元，即200百元分別在以x1,x2為坐標軸的平面坐標系中畫出約束等式的兩條直線，以確定點（x1,x2）的可行區域；再畫出目標函數的直線x1x24·x1+2·x2=1202·x1+3·x2=100B6·x1+4·x2=kx1x2最優點在B點處達到，此時坐標對應為（20，20），最優值為20000元，即200百元45（二）單純形法（Thesimplexmethod

）（適合于多變量問題）它有固定的算法，可以編程，很多軟件都可以依靠計算機完成求解。因為本課程的學時關系，在此省略46（三）利用Excel電子表格求解（可適合多變量情形）在打開的Excel工作簿中，依次點擊，“工具”/”規劃求解”/對話框（若沒有需要安裝一下）請看例2.6的求解過程演示（見Exccel數據）。此問題的最優解是生產A型號計算機X1=20臺，B型號計算機X2=20臺，此時的最大利潤為20000元。注意：在基于準確理解題意，并能夠正確的寫出數學模型的基礎上，要求正確的輸入：目標單元格、可變單元格、約束條件這三者。請同學們回去練習。47四、線性規劃的敏感性分析含義：分析當某些外生參數（已知參數）發生變化時，會引起最優解或者最優目標值發生怎樣的變化？具體分兩種情況分別考察：（1）當目標函數系數ci變化（只有一個系數變化和同時變化）時，最優解是否變化？或者，當目標函數系數在何范圍變化時，最優解保持不變？（2）影子價格分析——當約束條件右端系數bj變化(只有一個系數變化和同時變化）時，對目標函數值的影響？或者說，當增加1單位可供投入的資源會引起目標函數值發生多大變化？481a.當目標函數系數cj只有一個變化時，對最優解是否有影響的分析例２.7(后面要多次使用此例)：生產A、B、C、D四種產品的最優決策問題。其生產率和資源情況如下表所示。

產品原料ABCD資源擁有量甲乙321040020.5183利潤985019

？49試求下列決策問題：（1）利潤最大化的最優產量？（2）只有A種產品的單位利潤發生變動，最優解變不變？其波動范圍多大時最優解不變？（3）A、C兩種產品的單位利潤同時變動，最優解是否改變？50第一問已經會求解：最優解為：x1*=0,x2*=0,x3*=1,x4*=2.即不生產A和B兩種產品，C產品生產1個單位，D產品生產2個單位，這種生產安排是最優的，能夠帶來最大利潤。這就是生產的最優決策下面重點回答第二問和第三問。前面的例2.7：做目標函數系數ci變動的敏感性分析報告

由敏感性報告知道，當只有A產品的單位利潤C1的最優域為不超過9+4=13，即（－∞，13），即只要A產品的單位利潤在最優域內變化，且其他條件不變，則最優解保持不變，仍然為x1*=0,x2*=0,x3*=1,x4*=2.

同理，B、C、D產品的單位利潤（目標式系數僅有一個系數變動）也有對應的變動范圍，對其最優解沒有影響。521b.當目標函數多個系數cj同時變化時，對最優解是否有影響的百分百判定法則當目標函數的多個系數同時變動時，首先計算出每一系數變動量占該系數最優域允許變動量的%，然后再將這些%相加，得到%的總和。若該%總和沒有超過100%，則最優解不變；若該%總和已大于100%，則不能確定最優解是否變化，此時，該判定法則失效。53仍以前面的例2.7：生產A、B、C、D四種產品的最優決策問題若A產品單位利潤由＄9增加到＄10，占允許增加量的比例為(10-9)/4=25%同時，產品C單位利潤由＄50減少到＄49，則占允許減少量的比例(50-49)/2.5=40%二者總和為25%+40%=65%<100%,故最優解不變。注意：以上的分析是關注最優解是否變化，但可能對應的最優值已經變化了。542a.當約束的右端系數bj只有一個變化時，影子價格是否有效？所謂資源（原料）的影子價格（shadowprice）是指，當增加一單位某種資源（原料）的投入（供給）時，對目標函數值的增加量或影響程度（也稱為資源的邊際貢獻）。所謂影子價格有效，是指當某種資源的投入增加，的確能引起目標值的增加（帶來貢獻）。隨著資源供給的不斷增加，若到一定程度就不能引起目標值的增加，此時稱影子價格無效。那么，資源增加的最大臨界值的確定問題就成為一個重要問題（因為此時要考慮將資源用于別處更有效益，因為生產能力可能不足）。55以前面的例2.6（A、B兩種型號計算機的生產）來說明當原料供給由100噸增加到101噸時，對應的利潤值為200.50百元，那么的確引起利潤增加了50元，此數值即為該原料的影子價格（可認為若將此原料出售的話，理論上計算出來的價格）。56影子價格的經濟意義資源（原料）的影子價格（shadowprice）是從理論角度上，假想若是該資源用于出售時計算出來的“計算價格”。影子價格可為企業管理者用于科學決策有重要參考價值：若某種原料的市場價格低于其影子價格時，這時生產管理者應該購入該原料，否則，則應出售該原料（不應用于生產某產品，至少改作他用）。當某原料的影子價格為0（表示原料未用完有剩余，當前對目標值的邊際貢獻為0），意味著該原料不應再購入用于該產品生產。57那么，該原料的影子價格有效的范圍（有效區域）是多大？如何找到？仍借助于敏感性分析報告得出，該原料的可行域為（60，180）（見EXCEL數據.xcl）。當然，最優解一般也會變化。58例2.6：約束系數bj變動下的敏感性分析報告輸出結果為它說明，原料的影子價格為0.5百元=50元；工時的影子價格為1.25百元=125元。同時還說明，只有原料變動時的可行范圍是（100-40=60，100+80=180）；只有工時變動時的可行范圍是（120-53.3=46.7，100+80=180）。即當只有一個系數在上述范圍內變動時，影子價格均有效,即資源總量供給在該范圍內將對目標值產生影響。否則，資源總量超出這一范圍就不再對目標值有任何影響。592b.當約束右端的多個系數bj同時變化時，影子價格是否有效的百分百判定法則當約束右端系數bj同時變動時，首先計算出每一系數變動量占該系數最優域允許變動量的%，然后再將這些%相加，得到%總和若該%總和小于或等于100%，則影子價格有效；若該%總和已大于100%，則不能判定影子價格是否有效，此時，該法則失效。60仍以前面的例2.6（兩種計算機的生產）進行說明和演示若現在二種資源同時變動：原料由100噸減少到99噸，則變動比例為(100-99)/80=2.5%;工時由120小時增到121小時，則增加比例為（121-120）/80=1.25%，二者比例之和為2.5%+1.25%=3.75%<100%，則影子價格仍有效。通過計算可驗證，并發現總利潤的確增加了0.75百元=75元，恰好等于兩種資源的影子價格的差125-50=75元。61再考慮一種情況由于原料的可行域為(60，180)；影子價格為50元而工時的可行域為（66.667，200），影子價格為125元若原料由100噸減少到70噸，則變動比例為(100-70)/40=75%;而工時由120小時增加到160小時，則變動比例為（160-120）/80=50%，二者比例之和為50%+75%=125%>100%。但通過計算發現，總利潤只增加了10百元=1000元。但若影子價格有效，則利潤應增加(160-120)×125-(100-70)×50=3500美元。故認為此時影子價格失效。62§2.5多目標決策法(重點節)現代管理決策方法中的多目標決策法。由美國經濟學家查爾斯（A.Charnes）和庫玻(W.W.cooper)于20世紀60年代初期提出的。1.基本思想：求一組非負變量，在滿足一定線性約束與多個線性目標約束的條件下，以實現計劃目標與實際可能完成目標之間偏差總和達到最小。632.目標函數的確立與表示為了保證與給定目標的偏差之和最小，需引入非負的偏差變量：d+——超出完成目標（或可供資源）的偏差大小（非負數）d-——低于完成目標（或可供資源）的偏差大?。ǚ秦摂担┰谕荒繕嘶蛸Y源限制下的上述兩個偏差至少有一個為0。64目標函數的具體表示(1)若要求目標正好完成，則應二者之和最小：min(d++d-)(2)若僅允許目標超額完成，不允許不完成。則應使不足部分達到最?。簃in(d-)(3)若僅允許目標有節余，不能突破，則應使超額部分達到最小：min(d+)653.實例分析和計算機實現例2.8：某汽車制造廠生產Ａ、Ｂ兩種類型的汽車，且假設很暢銷，生產多少賣掉多少。但該廠的生產受到兩種關鍵性資源限制，即從外部購進的原料甲