數(shù)學(xué)課程中“人為規(guī)定〞的思想性〔〕:

摘要：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中所蘊(yùn)含的思想是無(wú)數(shù)前人大師在數(shù)學(xué)研究理論中產(chǎn)生的無(wú)數(shù)想法凝練出來(lái)的，具有多樣性、復(fù)雜性和隱蔽性。數(shù)學(xué)課程中"人為規(guī)定";的內(nèi)容，具有較強(qiáng)的主觀性，其中蘊(yùn)含著豐富的思想。可以概括為確定性、統(tǒng)一性、繼承性和多元化。在數(shù)學(xué)課程中挖掘這樣的思想性內(nèi)容，并融入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)人為規(guī)定內(nèi)容的創(chuàng)造與解釋活動(dòng)，一方面可以豐富數(shù)學(xué)課程的人文性，同時(shí)有益于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的深化考慮。

關(guān)鍵詞：人為規(guī)定；數(shù)學(xué)思想；確定性；統(tǒng)一性；繼承性；多元化

數(shù)學(xué)課程中有一些內(nèi)容是對(duì)客觀規(guī)律的描繪，比方，"平面上任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于１８０度";，描繪的是不同三角形的共性特征；勾股定理表達(dá)出任意直角三角形三邊之間的關(guān)系。這類(lèi)知識(shí)的特點(diǎn)是具有較強(qiáng)的客觀性，不依人的主觀意志為轉(zhuǎn)移。學(xué)生學(xué)習(xí)這類(lèi)知識(shí)的核心活動(dòng)是"發(fā)現(xiàn)";。［１］

除此之外，還有一類(lèi)主觀性較強(qiáng)的內(nèi)容，是長(zhǎng)期以來(lái)由于某種主觀因素而人為規(guī)定的。比方：在除法運(yùn)算的內(nèi)容中有"除數(shù)不能為零";以及"余數(shù)要比除數(shù)小";的規(guī)定，在初中和高中函數(shù)定義中有"唯一確定";的規(guī)定，在高中有關(guān)指數(shù)函數(shù)內(nèi)容中有"底數(shù)大于零";的規(guī)定。諸如此類(lèi)的人為規(guī)定是長(zhǎng)期以來(lái)隨著數(shù)學(xué)研究的開(kāi)展，人們逐步形成的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，其中蘊(yùn)含著人的意愿、情感和思維等思想性內(nèi)容。在數(shù)學(xué)課程中挖掘并歸納這樣的思想，并融入學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)人為規(guī)定內(nèi)容的創(chuàng)造與解釋活動(dòng)，一方面可以豐富數(shù)學(xué)課程的人文性，同時(shí)可以讓學(xué)生經(jīng)歷"為什么這樣規(guī)定";的考慮過(guò)程，有益于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的深化考慮。

一、確定性

"確定性";是相對(duì)于"隨機(jī)性";而言的，隨機(jī)性現(xiàn)象或?qū)ο缶哂须S意性，人難以把握、預(yù)見(jiàn)和判斷，因此確定性就成為人主觀上的追求目的。張景中院士在?感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量寫(xiě)給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們?一文中指出："在數(shù)學(xué)里，數(shù)量之間確實(shí)定性關(guān)系叫作函數(shù)關(guān)系。";［２］這樣確實(shí)定性關(guān)系在函數(shù)定義中表現(xiàn)為隨著自變量確實(shí)定，因變量要存在，并且唯一確定。因此，函數(shù)關(guān)系確實(shí)定性表現(xiàn)為函數(shù)值的"存在性";和"唯一性";。這樣確實(shí)定性使得根本的因果推理"假設(shè)ｘ１＝ｘ２，那么ｆ〔ｘ１〕＝ｆ〔ｘ２〕";可以實(shí)現(xiàn)。

作為人的主觀意愿，確定性首先是為了迎合數(shù)學(xué)自身邏輯關(guān)系的需要。比方，在自然數(shù)范圍內(nèi)的除法運(yùn)算，假設(shè)沒(méi)有"余數(shù)要比除數(shù)小";的規(guī)定，就會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果多樣的現(xiàn)象，給以此為根底的推理帶來(lái)費(fèi)事。

在小學(xué)五年級(jí)"質(zhì)數(shù)與合數(shù)";的課程內(nèi)容中規(guī)定：１既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。自然的疑問(wèn)是：為什么不能把１歸為質(zhì)數(shù)？事實(shí)上，人最初的想法是把全體自然數(shù)分為兩類(lèi)：一類(lèi)是不能再分的數(shù)，叫作質(zhì)數(shù)；另一類(lèi)是可以再分的數(shù)，叫作合數(shù)。１也是不能再分的數(shù)，當(dāng)然應(yīng)當(dāng)是質(zhì)數(shù)。１９世紀(jì)之前歐洲出版的許多數(shù)學(xué)教科書(shū)中都是把數(shù)字１當(dāng)作質(zhì)數(shù)的。圖１是當(dāng)時(shí)列出的１００以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)，其中１是１００以內(nèi)的第一個(gè)質(zhì)數(shù)。［３］

后來(lái)逐步發(fā)現(xiàn)，將一個(gè)合數(shù)分解為質(zhì)數(shù)乘積的形式是許多推理的根底，這個(gè)分解的過(guò)程在如今的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中叫作分解質(zhì)因數(shù)。作為推理的根底，自然希望這個(gè)分解的形式唯一確定。比方，１００分解質(zhì)因數(shù)的形式為：１００＝２２x５２。其中出現(xiàn)的質(zhì)數(shù)以及一樣質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，都是確定不變的，使得１００質(zhì)因數(shù)分解的形式具有唯一性，因此也就具有了確定性。假設(shè)１是質(zhì)數(shù)，這種確定性就無(wú)法滿足，比方１００還可以分解為１００＝２２x５２x１３。

將１剔除出質(zhì)數(shù)，并不符合人的初衷，是基于對(duì)確定性的主觀愿望不得已而為之的。數(shù)學(xué)課程中諸如除數(shù)〔分母〕不能為０，算術(shù)平方根與絕對(duì)值，反三角函數(shù)的主值區(qū)間，極限〔級(jí)數(shù)〕的收斂，向量運(yùn)算沒(méi)有除法等人為規(guī)定的內(nèi)容，都與這種確定性思想有關(guān)。運(yùn)用確定性思想可以解釋許多"為什么這樣規(guī)定";的問(wèn)題。

確定性作為人的主觀意愿，也是順應(yīng)客觀規(guī)律的。比方，對(duì)于物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)常需要描繪"時(shí)間";和"速度";的關(guān)系。把時(shí)間作為自變量，對(duì)應(yīng)的速度作為因變量的函數(shù)關(guān)系，表達(dá)的是時(shí)刻一旦確定，對(duì)應(yīng)時(shí)刻的速度就隨之確定。換言之，對(duì)同一物體來(lái)說(shuō)，"一樣時(shí)刻，不同速度";的現(xiàn)象是不可能出現(xiàn)的。

二、統(tǒng)一性

數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建追求形式的統(tǒng)一，常常需要運(yùn)用辯證法中對(duì)立統(tǒng)一的思想。任何對(duì)象的存在，都伴隨著對(duì)立的一方的并存，而且對(duì)立的雙方在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的。在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，將處于對(duì)立狀態(tài)的對(duì)象納入同一個(gè)系統(tǒng)之中，使之成為同一個(gè)系統(tǒng)中的不同狀態(tài)，就表達(dá)了這種對(duì)立統(tǒng)一的思想。

比方，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中乘法運(yùn)算的意思是"一樣加數(shù)求和";，就是說(shuō)至少應(yīng)當(dāng)是兩個(gè)或者兩個(gè)以上的一樣加數(shù)相加，才會(huì)出現(xiàn)乘法運(yùn)算。按照這樣的理解，１x１以及０x０等算式就是沒(méi)有意義的，因?yàn)?一樣加數(shù)相加";的過(guò)程根本沒(méi)有發(fā)生，對(duì)應(yīng)的"一樣加數(shù)求和";的加法算式也無(wú)法寫(xiě)出。出于對(duì)乘法系統(tǒng)完好、統(tǒng)一的意愿，需要將１x１以及０x０等特殊情況納入到乘法運(yùn)算體系中，因此作出相應(yīng)的人為規(guī)定：１乘任何數(shù)的結(jié)果還是這個(gè)數(shù)；０乘任何數(shù)的結(jié)果都是０。

人為規(guī)定的結(jié)論通常有兩個(gè)方面的來(lái)源，其一是符合人的直覺(jué)，其二是符合相應(yīng)的規(guī)律或規(guī)那么。比方，為什么規(guī)定"１乘任何數(shù)的結(jié)果還是這個(gè)數(shù)";？對(duì)于２x１，除了直覺(jué)上表示"１個(gè)２";或者"２個(gè)１相加";，結(jié)果應(yīng)當(dāng)?shù)扔冢玻匾脑蚴且线\(yùn)算律。比方，假設(shè)把數(shù)字１看作４－３的結(jié)果，那么就可以運(yùn)用分配律對(duì)２x１進(jìn)展如下的計(jì)算：

２x１＝２x〔４－３〕＝２x４－２x３＝２。

說(shuō)明規(guī)定"２x１＝２";不僅符合直覺(jué)，也不違犯乘法對(duì)加、減法的分配律。在初中數(shù)學(xué)課程中，表示一樣因數(shù)相乘的指數(shù)與冪的運(yùn)算中，也有類(lèi)似情況。比方４３表示一樣因數(shù)相乘４x４x４，那么４１和４０是什么意思？為了實(shí)現(xiàn)乘方運(yùn)算系統(tǒng)的統(tǒng)一，就需要對(duì)這樣的特例規(guī)定相應(yīng)的取值。規(guī)定４１＝４，無(wú)論從直覺(jué)還是運(yùn)算規(guī)律看都是合理的。

對(duì)于４０如何規(guī)定其取值，從"一樣因數(shù)相乘";的意義上看，這個(gè)表達(dá)式表示的是"沒(méi)有４相乘";，類(lèi)似于"４x０＝０";表示"沒(méi)有４相加";，因此直覺(jué)上看應(yīng)當(dāng)規(guī)定４０＝０。假設(shè)把指數(shù)０看作是２－２的結(jié)果，運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律計(jì)算卻得到了不同的結(jié)果：

當(dāng)出現(xiàn)這種直覺(jué)與運(yùn)算規(guī)律不一致的現(xiàn)象時(shí)，自然應(yīng)當(dāng)遵從運(yùn)算規(guī)律進(jìn)展規(guī)定，使得人為規(guī)定可以與相關(guān)的運(yùn)算規(guī)律無(wú)矛盾。因此，就有了４０＝１這樣的人為規(guī)定。在高中數(shù)學(xué)課程中關(guān)于階乘運(yùn)算也有類(lèi)似的規(guī)定：１！＝１以及０！＝１。

我國(guó)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)歷來(lái)有浸透辯證唯物主義思想的傳統(tǒng)，統(tǒng)一性的思想與方法可以視為辯證唯物主義對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的表達(dá)。將其融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)，也是對(duì)數(shù)學(xué)教育外鄉(xiāng)化優(yōu)秀傳統(tǒng)的繼承。

三、繼承性

１９９５年７月，荷蘭出版的?數(shù)學(xué)中的教育研究?①刊發(fā)了一篇研究以色列高中數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的文章，其中有一個(gè)如何對(duì)待分?jǐn)?shù)指數(shù)冪〔－８〕３的測(cè)試題。調(diào)查結(jié)果顯示，大局部被試教師都認(rèn)為表達(dá)式〔－８〕３的含義是唯一確定的，可以確定其結(jié)果為〔－８〕３＝－２。文章作者認(rèn)為這樣的答復(fù)是不完善的，理由是假設(shè)運(yùn)用不同的方法變形，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果。

英國(guó)１９世紀(jì)數(shù)學(xué)家喬治-皮克科〔ＧｅｏｒｇｅＰｅａｃｏｃｋ，１７９１－１８５８〕于１８３０年在劍橋大學(xué)出版社出版的?論代數(shù)?前言中，提出一個(gè)從算術(shù)到代數(shù)拓展的"同形繼承原理";②，意在研究從算術(shù)到代數(shù)的拓展過(guò)程中，如何將算術(shù)中的運(yùn)算規(guī)律和法那么繼承于意義更為廣泛的代數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題。算術(shù)中的運(yùn)算規(guī)律一般適用于自然數(shù)范圍，代數(shù)中符號(hào)所代表的對(duì)象會(huì)超越出自然數(shù)范圍，此時(shí)要遵循的原那么是盡可能讓算術(shù)中的規(guī)律從形式〔ｆｏｒｍ〕到取值〔ｖａｌｕｅ〕在代數(shù)中都保持一致。關(guān)于〔－８〕３的討論，本質(zhì)是算術(shù)中的分?jǐn)?shù)根本性質(zhì)能否同形繼承到底數(shù)為負(fù)數(shù)的有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算中。

從函數(shù)的視角看，將分?jǐn)?shù)根本性質(zhì)和乘法交換律應(yīng)用于冪函數(shù)的指數(shù)，可以得到三個(gè)冪函數(shù)和ｙ＝〔ｘ６〕。

因此，在算術(shù)中所熟悉的運(yùn)算規(guī)律，在指數(shù)以及指數(shù)冪的運(yùn)算中并不總是適用。同形繼承原理只有在底數(shù)為正數(shù)時(shí)才能實(shí)現(xiàn)，這也就是對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)ｙ＝ａｘ，為什么需要規(guī)定底數(shù)ａ＞０的道理。

２０１７年公布的?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔２０１７年版〕?將有理數(shù)指數(shù)冪以及實(shí)數(shù)指數(shù)冪安排在"指數(shù)函數(shù)";課程內(nèi)容中，詳細(xì)要求是"理解指數(shù)的拓展過(guò)程，";［７］同形繼承原理及其施行應(yīng)當(dāng)成為其中拓展過(guò)程的重要內(nèi)容。

從算術(shù)到代數(shù)的同形繼承原理，表現(xiàn)出人們的拓展過(guò)程始于自然數(shù)，逐步經(jīng)歷增加零和負(fù)整數(shù)到整數(shù)，進(jìn)一步增加分?jǐn)?shù)到有理數(shù)，增加無(wú)理數(shù)到實(shí)數(shù)，增加虛數(shù)到復(fù)數(shù)的過(guò)程。在這樣的拓展過(guò)程中，無(wú)論是數(shù)學(xué)家還是學(xué)習(xí)者，都有實(shí)現(xiàn)繼承性的主觀愿望，而在拓展過(guò)程中出現(xiàn)的邏輯矛盾，使得人不得不通過(guò)增加限制條件，或作出新的規(guī)定等方法躲避矛盾。

主觀的限制條件和人為規(guī)定具有多樣性，不同的人會(huì)增加不同的限制條件，或作出不同的規(guī)定。因此，針對(duì)如何理解〔－８〕３所出現(xiàn)的不同意見(jiàn)是很正常的。假設(shè)期望學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中理解這樣的過(guò)程，感悟繼承性思想，就需要在數(shù)學(xué)課程以及教學(xué)中融入此類(lèi)內(nèi)容。

四、多元化

人為規(guī)定內(nèi)容的主觀性決定了其多元化的特點(diǎn)，這一特點(diǎn)首先表現(xiàn)為因人而異的差異性。比方，對(duì)于自然數(shù)范圍內(nèi)的除法運(yùn)算，人為規(guī)定"余數(shù)要比除數(shù)小";，此時(shí)對(duì)于類(lèi)似于６÷２這樣整除的情況，就是余數(shù)為零，利用豎式算法就可以得到６÷２＝３。

這樣的規(guī)定并不是不可改變的。如規(guī)定"余數(shù)不能為零";，也就是在帶余除式ａ÷ｂ＝ｑｒ或ａ＝ｂｑ＋ｒ中，將限制條件０l(fā)e;ｒ＜ｂ改變?yōu)椋埃迹騦e;ｂ。這樣６÷２的豎式算法就改變成商為無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式：

由此得到６÷２＝２．９，進(jìn)而說(shuō)明２．９＝３，這也可以成為證明０．９＝１的一種方法。隨著數(shù)系的擴(kuò)大，余數(shù)也經(jīng)常以負(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)，比方７÷２也可以認(rèn)為是商為４，余數(shù)為－１。凡此都說(shuō)明人為規(guī)定的內(nèi)容往往具有"可以這樣，還可以那樣";的差異性，這種差異性給人帶來(lái)的是可能性的選擇。數(shù)學(xué)課程與教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生有時(shí)機(jī)感受這樣的差異，經(jīng)歷對(duì)于可能性的選擇過(guò)程。人為規(guī)定內(nèi)容多元化的另一種表現(xiàn)形式是與時(shí)俱進(jìn)的開(kāi)展性。在數(shù)學(xué)開(kāi)展歷史中，當(dāng)負(fù)數(shù)引入有理數(shù)中時(shí)，為了繼承自然數(shù)中的運(yùn)算規(guī)律，一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是如何規(guī)定負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘的符號(hào)。

在自然數(shù)運(yùn)算中，可以把１x１＝１看作"一個(gè)１等于１";，類(lèi)似地可以把－１x１看作"一個(gè)－１等于－１";，因此規(guī)定〔－１〕x１＝－１。但如何規(guī)定〔－１〕x〔－１〕就成為當(dāng)時(shí)的難題。歐拉用排除的方法解釋："因?yàn)樗欢ㄊ牵焙停敝唬荒苁牵保驗(yàn)椤玻薄硏１＝－１。";對(duì)于規(guī)定〔－１〕x〔－１〕＝＋１真正有說(shuō)服力的解釋是，為了繼承自然數(shù)運(yùn)算中的分配律。［８］因?yàn)榧僭O(shè)〔－１〕x〔－１〕＝－１，那么運(yùn)用分配律計(jì)算，就會(huì)出現(xiàn)０＝〔－１〕x〔１－１〕＝－２的悖論。

在滿足了繼承運(yùn)算律的根底上，人們進(jìn)一步尋務(wù)實(shí)際應(yīng)用中對(duì)于"負(fù)負(fù)得正";的解釋。［９］在行程問(wèn)題中，最常見(jiàn)的量是速度和時(shí)間。假設(shè)一輛汽車(chē)以每小時(shí)４０ｋｍ的速度，自西向東行駛〔參見(jiàn)圖３〕，到達(dá)Ｏ地后繼續(xù)行駛２小時(shí)，此時(shí)汽車(chē)位于Ｏ地東側(cè)〔４０ｋｍx２＝〕８０ｋｍ處的Ａ地。假設(shè)汽車(chē)行駛到Ｏ地后調(diào)轉(zhuǎn)方向向西行駛，２小時(shí)后汽車(chē)位于Ｏ點(diǎn)西側(cè)８０千米處的Ｂ地，可以表示為：〔－４０ｋｍ〕x２＝－８０ｋｍ。

假設(shè)把汽車(chē)到達(dá)Ｏ地前２小時(shí)用"－２小時(shí)";表示，那么算式〔－４０ｋｍ〕x〔－２小時(shí)〕就可以理解為汽車(chē)自東向西行駛２小時(shí)后到達(dá)Ｏ點(diǎn)，出發(fā)前汽車(chē)自然應(yīng)當(dāng)位于Ｏ點(diǎn)東側(cè)８０ｋｍ處的Ａ地。也就是〔－４０ｋｍ〕x〔－２小時(shí)〕＝８０ｋｍ。

因此，規(guī)定"負(fù)負(fù)得正";是與客觀實(shí)際相符合的。有了坐標(biāo)系和復(fù)數(shù)概念后，〔－１〕x〔－１〕可以進(jìn)一步理解為平面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。將〔－１〕x〔－１〕改寫(xiě)為〔－１〕x〔ｃｏｓ１８０°＋ｉｓｉｎ１８０°〕，這就意味著是把實(shí)數(shù)軸的點(diǎn)〔－１，０〕沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)１８０°，其結(jié)果當(dāng)然是〔＋１，０〕，因此〔－１〕x〔－１〕＝＋１。這個(gè)過(guò)程本質(zhì)上也可以成為著名的歐拉公式ｅｉpi;＝－１的直觀解釋。

綜上，隨著人的認(rèn)識(shí)的拓展，對(duì)于許多人為規(guī)定的認(rèn)識(shí)不斷深化，解釋的思路逐步多樣，凡此表達(dá)多元化思想的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)適時(shí)、適量地融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中。

注重在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中浸透數(shù)學(xué)思想是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)，?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔２０１１年版〕?更是把"根本思想";列入了數(shù)學(xué)課程總目的。實(shí)現(xiàn)這樣的目的并非易事，假設(shè)把數(shù)學(xué)思想理解為無(wú)數(shù)前人大師在數(shù)學(xué)研究理論中產(chǎn)生的無(wú)數(shù)想法的總和，那么數(shù)學(xué)思想就具有多樣性、復(fù)雜性和隱蔽性，浸透在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的方方面面，需要點(diǎn)點(diǎn)滴滴地挖掘、歸納和積累。

參考文獻(xiàn)：

［１］郜舒竹．"探究規(guī)律";釋義［Ｊ］．課程-教材-教法，２０１５，３５〔１〕：１０２－１０７．

［２］張景中．感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量寫(xiě)給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們［Ｊ］．人民教育，２００７〔１８〕：３２－３５．

［３］ＢＡｒｎｅｔｔ．Ｒｕｌｅｓａｎｄｆｏｒｍｕｌａｅｉｎｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ