要點重溫之等差、等比數列1．公差不為0的等差數列的通項是關于n的一次函數，一次項系數是公差；前n項和是關于n的二次函數，二次項系數是公差之半且常數項為0；即等差數列{}中，=+（為公差，∈），（∈）。證明某數列是等差（比）數列，通常利用等差（比）數列的定義加以證明，即證：an-an-1=常數(=常數)（，也可以證明連續三項成等差（比）數列。[舉例]{}、{}都是各項為正的數列，對任意的，都有、、成等差數列，、、成等比數列.試問{}是否為等差數列，為什么？解析：由=得=，于是=（，又2=+，∴2=+（，即2=+（，∴數列{}是等差數列。注意：當用定義證明等差（比）數列受阻時，別忘了這“一招”！上述思路的關鍵是由“=”到“=（”的過渡，即所謂“升降標”，這也是處理數列問題的一個通法。[鞏固]已知等差數列的前項和為，且，則過兩點、的直線的斜率為：(A)4(B)3(C)2(D)1[遷移]公差非零的等差數列中，前n項之和為，則數列……中A．不存在等于零的項B．最多有一項等于零C．最多有2項等于零D．可有2項以上等于零2.等差數列{an}中，m+n=p+q，則am+an=ap+aq，等比數列{an}中，m+n=p+q，則aman=ap·aq（m、n、p、q∈）；等差（等比）數列中簡化運算的技巧多源于這條性質。[舉例1]在等差數列中，為常數，則其前（）項和也為常數（A）6（B）7（C）11（D）12解析：等差數列的前k項和為常數即為常數，而=3為常數，∴2=為常數，即前11項和為常數，選C。注意：千萬不要以為==，那就大錯特錯了！所謂“下標和相等則對應項的和相等”，是指兩項和等于兩項和，三項和等于三項和……。等差數列中“n項和”與“兩項和（轉化為a1+an）”有關，某一項或某幾項和均需轉化為“兩項和”才能與“n項和”聯系起來。[舉例2]等比數列{}中，a4+a6=3，則a5（a3+2a5+a7）=解析：a5（a3+2a5+a7）=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a[鞏固]在正項的等差數列{}和正項的等比數列{}中，有，，試比較與的大小。[遷移]等比數列{}中，、是方程（）的兩根，則=若把條件中的“”換成“”呢？若把條件中的“、”換成“、”呢？[提高]在等差數列中，前n項之和為,已知S5=25,Sn=64,Sn-5=9,則n=_____3．等差數列前n項和、次n項和、再后n項和（即連續相等項的和）仍成等差數列；等比數列前n項和（和不為0）、次n項和、再后n項和仍成等比數列。[舉例1]在等比數列中，S2=40，S4=60，則S6等于()A10B70C80D解析：在等比數列中，第一個兩項和為40，第二個兩項和為20（注意：S4是前4項和，不是兩項和），則第三個兩項和為10，S6為三個兩項和相加，選B。[舉例2]在等差數列中，前n項之和為,已知S3=4，S18-S15=12，則S18=解析：在等差數列中，第一個三項和為4，第六個三項和為12，S18即首項為4，末項為12的等差數列的6項和，為48。[鞏固]在等差數列{an}中,其前n項和為Sn,已知S5=2-b,S10=4-b,則S15=_________4.等差數列當首項a1>0且公差d<0，前n項和存在最大值。利用不等式組：確定n值，即可求得Sn的最大值。等差數列當首項a1<0且公差d>0時，前n項和存在最小值。類似地確定n值，即可求得sn的最小值；也可視sn為關于n的二次函數，通過配方求最值；還可以利用二次函數的圖象來求。[舉例]設等差數列滿足3a8=5a13，且a1>0，則的前__________項和最大解析：思路一：由3a8=5a13得：d=a1,若前n項和最大，則，又a1>0得：，∴n=20,即的前20項和最大。這一做法最通行。思路二：Sn=na1+n(n-1)d=na1-n(n-1)a1=-a1(n2-40n),當且僅當n=20時Sn最大。這一做法突顯了數列的函數特征。思路三：由3a8=5a13得15a8=25a13,即S15=S25,又∵a1>0，∴Sn的圖象是開口向下的拋物線上的點列，對稱軸恰為n=20，故n=20時Sn最大。這一做法中幾乎沒有運算，但設計太過“精妙”，非對等差數列的性質融會貫通而不能為，僅供欣賞。[鞏固]數列是等差數列，是其前n項和，且S5＜S6，S6=S7>S8，則下列結論錯誤的是：A.d＜0B.a7=0C.S9>S5D.S6,S7均為的最大值（）[遷移]在等差數列則在前n項和Sn中最大的負數為 A．S16 B．S17 C．S18 D．S19（）5.注意：等比數列求和公式是一個分段函數na1(q=1)Sn=則涉及到等比數列求和時若公比不是具體數值須分類討論解題。[舉例]已知等比數列的公比為q，前n項和為Sn，且S3，S9，S6成等差數列，求q3的值。解析：不可直接用等比數列的求和公式，需討論：若q=1，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1,則有：18a1=3a1+6a1,則a1=0,與是等比數列矛盾，∴q≠1，于是有：，化簡得：，∴。本題還可以用：第一個三項和、第二個三項和、第三個三項和成等比數列解決，留讀者自己完成。[鞏固]已知an=1+r+r2+r3+…rn-1，則數列的前n項和=______________6.解等差（比）數列有關通項、求和問題時別忘了“基本元”，即把問題轉化為首項a1，公差d（或公比q）的方程（組）或不等式（組）去處理。已知等差或等比數列中的任兩項也可用am-an=(m-n)d，或=qm-n。[舉例1]等差數列的前n項和Sn，若S3=9，S13=26求S23的值。解析：用求和公式解方程組，求出a1,d,再代入求和公式中求S23，這是通法。也可簡化為：S3=3a2=9a2=3，S13=13a7=26a7=2,∴a12=1(a2、a7、a12成等差數列)，S23=23a12=23。[舉例2]已知等差數列{an}中，a3與a5的等差中項等于2，又a4與a6的等比中項等于6，則a10等于(A)54(B)50(C)26(D)16解析：a3與a5的等差中項等于2，即a4=2；a4與a6的等比中項等于6，即a6=18；于是2d=16,a10=a6+4d=50,選B。[鞏固]]已知等差數列｛an｝的首項a1=120，公差d=－4，若Sn≤an(n>1)，則n的最小值為/r/