四年級奧數課程四年級奧數課程第二十三周定義新運算第二十三周專題簡析：我們學過常用的運算加、減、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，為什么運算結果不同呢？主要是運算方式不同，實質上是對應法則不同。由此可見，一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法。對應法則不同就是不同的運算。當然，這個對應法則應該是對應任意兩個數。通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應。這一周，我們將定義一些新的運算形式，它們與我們常用的加、減、乘、除運算是不相同的。專題簡析：例1：設a、b都表示數，規定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b=a×3－b×2。試計算：（1）5△6；（2）6△5。分析與解答：解這類題的關鍵是抓住定義的本質。這道題規定的運算本質是：運算符號前面的數的3倍減去符號后面的數的2倍。5△6=5×3－6×2=36△5=6×3－5×2=8顯然，本例定義的運算不滿足交換律，計算中不能將△前后的數交換。例1：設a、b都表示數，規定：a△b表示a的3倍減去b的2倍練習一1，設a、b都表示數，規定：a○b=6×a－2×b。試計算3○4。2，設a、b都表示數，規定：a*b=3×a＋2×b。試計算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）3，有兩個整數是A、B，A▽B表示A與B的平均數。已知A▽6=17，求A。練習一例2：對于兩個數a與b，規定a⊕b=a×b＋a＋b，試計算6⊕2。分析與解答：這道題規定的運算本質是：用運算符號前后兩個數的積加上這兩個數。6⊕2=6×2＋6＋2=20例2：對于兩個數a與b，規定a⊕b=a×b＋a＋b，試計算6練習二1，對于兩個數a與b，規定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計算3⊕5。2，對于兩個數A與B，規定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。3，對于兩個數a與b，規定：a⊕b=a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。練習二例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規律計算3△5。分析與解答：這道題規定的運算本質是：從運算符號前的數加起，每次加的數都比前面的一個數多1，加數的個數為運算符號后面的數。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規練習三1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，計算：3。2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計算8▽4。3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。練習三例4：對于兩個數a與b，規定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。分析與解答：經仔細分析，可以發現這道題規定運算的本質仍然是：從運算符號前面的數加起，每次加的數都比它相鄰的前一個數多1，加數的個數為運算符號后面的數，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27，解這個方程，即可求出x=2。例4：對于兩個數a與b，規定a□b=a(a+1)+(a+2)練習四1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。2，對于兩個數a與b，規定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規律計算5！。練習四例5：

2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此規律計算：。分析與解答：仔細觀察和分析這幾個算式，可以發現下面的規律：a▽b=2a+b，依此規律：7▽3=7×2＋3=17。例5：2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25練習五1，有一個數學運算符號“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此規律計算：8▽4。2，有一個數學運算符號“□”使下列算式成立：□，□，□。按此規律計算：□。3，對于兩個數a、b，規定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31，計算：29▽57。練習五第二十四周差倍問題第二十四周專題簡析：解答差倍問題時，先要求出與兩個數的差對應的倍數差。在一般財政部下，它們往往不會直接告訴我們，這就需要我們根據題目的具體特點將它們求出。當題中出現三個或三個以上的數量時，一般把題中有關數量轉化為與標準量之間倍數關系對應的數量。解答差倍應用題的基本數量關系是： 差÷（倍數－1）=小數小數×倍數=大數或：小數+差=大數專題簡析：例1：光明小學開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數是踺子人數的3倍，比踢踺子的多36人。參加跳繩和踢踺子比賽的各有多少人？分析與解答：如果把踢踺子的人數看作1份，那么跳繩的人數是這樣的3份。36人是這樣的3－1=2份。這樣，把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人數：36÷2=18人，跳繩的有18×3=54人。例1：光明小學開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數是踺子人數練習一1，城南小學三年級的人數是一年級人數的2倍，三年級的人數比一年級多130人。三年級和一年級各有多少人？2，一種鋼筆的價錢是一種圓珠筆的4倍，這種鋼筆比圓珠筆貴12元。這種鋼筆和圓珠筆的單價各是多少元？3，農業科技小組有兩塊小麥試驗田，第二塊比第一塊少6公頃，第一塊的面積是第二塊的3倍。兩塊試驗田各是多少公頃？練習一例2：倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克數比大米的2倍還多100千克。倉庫有大米和面粉各多少千克？分析與解答：如果面粉減少100千克，那么面粉的千克數就是大米的2倍，3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍。所以，大米有3800÷1=3800千克，面粉有3800＋3900=7700千克。例2：倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克練習二1，三年級學生參加課外活動，做游戲的人數比打球人數的3倍多2人，已知做游戲的比打球的多38人，打球和做游戲的各有多少人？2，學校今年參加科技興趣小組的人數比去年多41人，今年的人數比去年的3倍少35人。今年有多少人參加？3，果園里種了一批蘋果樹和桃樹，已知蘋果樹比桃樹多1600棵，蘋果樹的棵數比桃樹的3倍多100棵。蘋果樹和桃樹各種了多少棵？練習二例3：育紅小學買了一些足球、排球和籃球，已知足球比排球多7只，排球比籃球多11只，足球的只數是籃球的3倍。足球、排球和籃球各買了多少只？分析與解答：由題意可知，足球比籃球多買了7+11=18只，它是籃球的3－1=2倍。所以，買籃球18÷2=9只，買排球9+11=20只，買足球20+7=27只。例3：育紅小學買了一些足球、排球和籃球，已知足球比排球多7只練習三1，玩具廠二月份比一月份多生產玩具2000個，三月份比二月份多生產3000個，三月份生產的玩具個數是一月份的2倍。每個月各生產多少個？2，某農具廠第三季度比第二季度多生產2800套軸承，第一季度比第二季度少生產1200套。第三季度生產的是第一季度的3倍。求每季度各生產多少？3，三個小朋友們折紙飛機，小晶比小亮多折12架，小強比小亮少折8架，小晶折的是小強的3倍。三個人各折紙飛機多少架？練習三例4：商店運來一批白糖和紅糖，紅糖的重量是白糖的3倍，賣出紅糖380千克，白糖110千克后，紅糖和白糖重量相等。商店原有紅糖和白商各多少千克？分析與解答：由“紅糖賣出380千克，白糖賣出110千克后，紅糖和白糖重量相等”可知原來紅糖比白糖多380－110=270千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原有270÷2=135千克，紅糖原有135×3=405千克。例4：商店運來一批白糖和紅糖，紅糖的重量是白糖的3倍，賣出紅練習四1．甲、乙兩個倉庫各存一批面粉，甲倉庫所存的面粉的袋是乙倉庫的3倍，從甲倉庫運走720千克，從乙倉庫運走120千克后，兩個倉庫所剩的面粉相等。兩個倉庫原來各有面粉多少千克？2．有兩筐橘子，第二筐中橘子的個數是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48個，第二筐中再放入18個，那么兩筐的橘子個數相等。原來兩筐各有橘子多少個？3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果從甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么兩桶酒的重量相等。原來兩桶酒各有多少千克？練習四例5：甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出2本，從乙書架取出60本后，乙書架的本數是甲書架的3倍。原來兩個書架各有圖書多少本？分析與解答：由“甲、乙兩個書架原有圖書相等，從甲書架取240本，從乙書架取出60本”可知乙書架余下的書比甲書架多240－60=180本，它是甲書架余下的2倍，所以甲書架余下180÷2=90本。甲書架原有90＋240=330本。例5：甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出2本，練習五1，兩筐同樣的蘋果，甲筐賣出8千克，乙筐賣出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍。兩筐蘋果原來各有多少千克？2，甲、乙兩個人的存款數相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的存款是甲的3倍。兩人原來各有存款多少元？3，甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出120本放到乙書架，乙書架的本數是甲書架的4倍。原來兩個書架各有圖書多少本？練習五第二十五周和差問題第二十五周專題簡析：已知兩個數的和與差，求出這兩個數各是多少的應用題，叫和差應用題。解答和差應用題的基本數量關系是：（和－差）÷2=小數小數＋差=大數（和－小數=大數）或：（和＋差）÷2=大數大數－差=小數（和－大數=小數）解答和差應用題的關鍵是選擇適當的數作為標準，設法把若干個不相等的數變為相等的數，某些復雜的應用題沒有直接告訴我們兩個數的和與差，可以通過轉化求它們的和與差，再按照和差問題的解法來解答。專題簡析：例1：三、四年級同學共植樹128棵，四年級比三年級多植樹20棵，求三、四年級各植樹多少棵？分析與解答：假如把三、四年級植的128棵加上20棵，得到的和就是四年級植樹的2倍，所以，四年級植樹的棵數是（128+20）÷2=74棵，三年級植樹的棵數是74－20=54棵。這道題還可以這樣解答：假如從128棵中減去20棵，那么得到的差就是三年級植樹棵數的2倍，由出，先求出三年級植樹的棵數（128－20）÷2=54棵，再求出四年級植樹的棵數：54＋20=74棵。例1：三、四年級同學共植樹128棵，四年級比三年級多植樹20練習一1，兩堆石子共有800噸，第一堆比第二堆多200噸。兩堆各有多少噸？2，用錫和鋁混合制成600千克的合金，鋁的重量比錫多400千克。錫和鋁各是多少千克？3，甲、乙兩人年齡的和是35歲，甲比乙小5歲。甲、乙兩人各多少歲？練習一例2：兩筐梨子共有120個，如果從第一筐中拿10個放到第二筐中，那么兩筐的梨子個數相等。兩筐原來各有多少個梨？分析與解答：根據題意，第一筐減少10個，第二筐增加10個后，則兩筐梨子個數相等，可知原來第一筐比第二筐多10×2=20個。假如從120個中減去20個，那么得到的差就是第二筐梨子個數的2倍，所以，第二筐原來有（120－20）÷2=50個，第一筐原來有50＋20=70個。例2：兩筐梨子共有120個，如果從第一筐中拿10個放到第二筐練習二1，紅星小學三（1）班和三（2）班共有學生108人，從三（1）班轉3人到三（2）班，則兩班人數同樣多。兩個班原來各有學生多少人？2，某汽車公司兩個車隊共有汽車80輛，如果從第一車隊調10輛到第二車隊，兩個車隊的汽車輛數就相等。兩個車隊原來各有汽車多少輛？3，甲、乙兩笨共有水果60千克，如果從甲箱中取出5千克放到乙箱中，則兩箱水果一樣重。兩箱原來各有水果多少千克？練習二例3：今年小勇和媽媽兩人的年齡和是38歲，3年前，小勇比媽媽小26歲。今年媽媽和小勇各多少歲？分析與解答：3年前，小勇比媽媽小26歲，這個年齡差是不變的，即今年小勇也比媽媽小26歲。顯然，這屬于和差問題。所以媽媽今年（38+26）÷2=32歲，小勇（38－26）÷2=6歲。例3：今年小勇和媽媽兩人的年齡和是38歲，3年前，小勇比媽媽練習三1，今年小剛和小強倆人的年齡和是21歲，1年前，小剛比小強小3歲。今年小剛和小強各多少歲？2，黃茜和胡敏兩人今年的年齡和是23歲，4年后，黃茜將比胡敏大3歲。黃茜和胡敏今年各多少歲？3，兩年前，胡煒比陸飛大10歲；3年后，兩人的年齡和將是42歲。求胡煒和陸飛今年各多少歲。練習三例4：甲乙兩個倉庫共有大米800袋，如果從甲倉庫中取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋。兩個倉庫原來各有多少袋大米？分析與解答：先求甲、乙兩倉庫大米的袋數差，由“從甲倉庫中取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋”可知甲倉庫原來比乙倉庫多25×2＋8=58袋。由此可求出甲倉庫原來有（800＋58）÷2=429袋，乙倉庫原來有800－429=371袋。例4：甲乙兩個倉庫共有大米800袋，如果從甲倉庫中取出25袋練習四1．甲、乙兩箱洗衣粉共有90袋，如果從甲箱中取出4袋放到乙箱中，則甲箱比乙箱還多6袋。兩箱原來各有多少袋？2．甲、乙兩筐香蕉共重60千克，從甲筐中取5千克放到乙筐，結果甲筐比乙筐還多2千克。兩筐原來各有多少千克香蕉？3．兩籠雞蛋共19只，若甲籠再放入4只，乙籠中取出2只，這時乙籠比甲籠還多1只。甲、乙兩籠原來各有雞蛋多少只？練習四例5：把長108厘米的鐵絲圍成一個長方形，使長比寬多12厘米，長和寬各是多少厘米？分析與解答：根據題意可知圍成的長方形的周長是108厘米，因此，這個長方形長與寬的和是108÷2=54厘米，由此可以求出長方形的長為（54+12）÷2=33厘米，寬為54－33=21厘米。例5：把長108厘米的鐵絲圍成一個長方形，使長比寬多12厘米練習五1，把長84厘米的鐵絲圍成一個長方形，使寬比長少6厘米。長和寬各是多少厘米？2，趙叔叔沿長和寬相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的準備活動，共跑1080米。游泳池的長和寬各是多少米？3，劉曉每天早晨沿長和寬相差40米的操場跑步，每天跑6圈，共跑2400米。這個操場的面積是多少平方米？練習五第二十六周巧算年齡第二十六周專題簡析：年齡問題是一類與計算有關的問題，它通常以和倍、差倍或和差等問題的形式出現。有些年齡問題往往是和、差、倍數等問題的綜合，需要靈活地加以解決。解答年齡問題，要靈活運用以下三條規律：1，無論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的；2，隨著時間的向前或向后推移，幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量；3，隨著時間的變化，兩人的年齡之間的倍數關系也會發生變化。專題簡析：例1：爸爸今年43歲，兒子今年11歲。幾年后爸爸的年齡是兒子的3倍？分析與解答：兒子出生后，無論在哪一年，爸爸和兒子的年齡差總是不變的，這個年齡差是43－11=32歲。所以，當爸爸的年齡是兒子3倍時，兒子是32÷（3－1）=16歲，因此16－11=5年后，爸爸的年齡是兒子的3倍。例1：爸爸今年43歲，兒子今年11歲。幾年后爸爸的年齡是兒子練習一1，媽媽今年36歲，兒子今年12歲。幾年后媽媽年齡是兒子的2倍？2，小強今年15歲，小亮今年9歲。幾年前小強的年齡是小亮的3倍？3，爺爺今年60歲，孫子今年6歲。再過多少年爺爺的年齡比孫子大2倍？練習一例2：媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和是39歲。媽媽和女兒今年各多少歲？分析與解答：從3年前到今年，媽媽和女兒都長了3歲，她們今年的年齡和是：39+3×2=45歲。于是，這個問題可轉化為和倍問題來解決。所以，今年女兒的年齡是45÷（1+4）=9歲，媽媽今年是9×4=36歲。例2：媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和練習二1，今年爸爸的年齡是兒子的4倍，3年前，爸爸和兒子的年齡和是44歲。爸爸和兒子今年各是多少歲？2，今年小麗和她爸爸的年齡和是41歲，4年前爸爸的年齡恰好是小麗的10倍。小麗和爸爸今年各是多少歲？3，今年小芳和她媽媽的年齡和是38歲，3年前媽媽的年齡比小芳的9倍多2歲。小芳和媽媽今年各多少歲？練習二例3：今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年后小紅的年齡是小梅的2倍。小紅和小梅今年各多少歲？分析與解答：小紅和小梅的年齡差是不變的，因此兩人的年齡差是小梅今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年齡的2－1=1倍，即：小梅今年的年齡＋3=小梅今年的年齡×4。所以，小梅今年的年齡為：3÷（4－1）=1歲，小紅今年的年齡為：1×5=5歲。例3：今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年后小紅的年齡是小梅的2練習三1，今年小明的年齡是小娟的3倍，3年后小明的年齡是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少歲？2，今年小亮的年齡是小英的2倍，6年前小亮的年齡是小英的5倍。小英和小亮今年各多少歲？3，10年前父親的年齡是兒子的7倍，15年后父親的年齡是兒子的2倍。父親和兒子今年各多少歲？練習三例4：甜甜的爸爸今年28歲，媽媽今年26歲。再過多少年，她的爸爸和媽媽的年齡和為80歲？分析與解答：兩人的年齡和每年增加2歲，先求今年爸爸和媽媽的年齡和：28＋26=54歲，再求80比54多80－54=26歲。26里面包含多少個2，就是經過的年數。所以，再過26÷2=13年爸爸和媽媽的年齡和為80歲。例4：甜甜的爸爸今年28歲，媽媽今年26歲。再過多少年，她的練習四1，蜜蜜的爸爸今年27歲，她的媽媽今年26歲。再過多少年，她爸爸和媽媽的年齡和為73歲？2，林星今年8歲，爸爸今年34歲。當他們的年齡和為72歲時，爸爸和林星各多少歲？3，今年爸爸56歲，兒子30歲。當父子的年齡和為46歲時，爸爸和兒子各是多少歲？練習四例5：小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲，今年全家年齡總和是71歲，8年前這個家的年齡總和是49歲。今年三人各多少歲？分析與解答：已知8年前這個家的年齡總和是49歲，這個條件中8年與49歲看上去有一個是多余的，有的同學可能認為8年前這個家的年齡總和應該是71－（1+1+1）×8=47歲，但這與題中所給的條件49不一致。為什么呢？這說明8年前小英還沒有出生。這相差的2歲就是8年前與小英年齡的差。由此可以求出小英今年是8－2=6歲。今年父母的年齡和為71－6=65歲。已知小英的父親比母親大3歲，所以今年父親（65+3）÷2=34歲，母親34－3=31歲。例5：小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲，練習五1，父、母、子三人今年的年齡和為70歲，而10年前三人的年齡和為46歲，父親比母親大4歲。求三人今年各多少歲。2，全家四口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。4年前他們的年齡和為58歲，現在全家的年齡和是73歲?，F在每個人各多少歲？3，吳琪一家由吳琪和他的孿生姐姐吳林還有他們的父母組成，其中父親比母親大2歲。今年全家的年齡和是64歲，5年前全家的年齡和是52歲。求今年每人的年齡。練習五第二十七周較復雜的和差倍問題第二十七周專題簡析：前面我們學習了和倍、差倍、和差三種應用題，有的題目需要通過轉化而成為和倍、差倍、和差問題，這類問題叫做復雜的和差倍問題。解答較復雜的和差倍問題，需要我們從整體上把握住問題的本質，將題目進行合理的轉化，從而將較復雜的問題轉化為一般和倍、差倍、和差應用題來解決。專題簡析：例1：兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數是甲箱的3倍。兩箱原來各有茶葉多少千克？分析與解答：由“兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數是甲箱的3倍”可求出現在甲箱中有茶葉96÷（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原來有茶葉24＋12=36千克，乙箱原來有茶葉96－36=60千克。例1：兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，練習一1，書架的上、下兩層共有書180本，如果從上層取下15本放入下層，那么下層的本數正好是上層的2倍。兩層原來各有書多少本？2，甲、乙兩人共儲蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，這時甲儲蓄的錢數比乙的2倍少20元。甲、乙兩人原來各儲蓄多少元？3，某畜牧場共有綿羊和山羊3561只，后來賣了60只綿羊，又買來山羊100只，現在綿羊的只數比山羊的2倍多1只。原來綿羊和山羊各有多少只？練習一例2：甲、乙、丙三個同學做數學題，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他們一共做了多少道數學題？分析與解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，20－5=15道是丙的一半，也就是甲做的道數。丙做了15×2=30道，乙做了15－5=10道。他們共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道。例2：甲、乙、丙三個同學做數學題，已知甲比乙多做5道，丙做的練習二1，某廠一季度創產值比三季度多2萬元，二季度的產值是一季度產值的2倍，比三季度產值多42萬元。三個季度共創產值多少萬元？2，甲、乙、丙三個人合做一批零件，甲比乙多做12個，丙做的比甲的2倍少20個，比乙做的多38個。這批零件共有多少個？3，果園里的蘋果樹是桃樹的3倍，管理員每天能給25棵蘋果樹和15棵桃樹灑農藥。幾天后，當桃樹噴完農藥時，蘋果樹還有140棵沒有噴藥。果園里共有多少棵樹？練習二例3：某工廠一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人。三個車間各有工人多少人？分析與解答：這是多量的和差問題，解題的時候確定的標準不同，解法也就不同。如果以第二車間的人數為標準，第一車間減少10人，第三車間增加15人，那么280－10＋15=285人是第二車間人數的3倍，由此可以求出第二車間有285÷3=95人，第一車間有95＋10=105人，第三車間有95－15=80人。例3：某工廠一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車練習三1，一個三層書架共放書168本，上層比中層多12本，下層比中層少6本。三層各放書多少本？2，一個三層柜臺共放皮鞋120雙，第一層比第二層多放4雙，第二層比第三層多7雙，三層各多皮鞋多少雙？3，四個數的和是152，第一個數比第二個數多16，比第三個數多20，比第四個數少12。第一個數和第四個數是多少？練習三例4：兩個數相除，商是4，被除數、除數、商的和是124。被除數和除數各是多少？分析與解答：從124里去掉商，是124－4=120，它是除數的1＋4=5倍，除數是120÷5=24，被除數是24×4=94。例4：兩個數相除，商是4，被除數、除數、商的和是124。被除練習四1，在一個除法算式中，被除數、除數、商的和是123。已知商是3，被除數和除數各是多少？2，兩個數相除，商是5，余數是7，被除數、除數、商、余數的和是187，求被除數。3，兩個數相除，商是17，余數是8，被除數、除數、商和余數的和是501，求被除數和除數是多少。練習四例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍。甲、乙原來各有存款多少元？分析與解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相當于甲存款數的3倍，取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相當于乙原有存款的4×3=12倍，乙現在存入110元后相當于甲原有的12倍，取110×3=330元，所以，330＋110=440元，相當于乙原有的12－1=11倍。所以，乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元。例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元練習五1，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原來各有存款多少元？2，劉叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果劉叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么劉叔叔的存款是李叔叔的2倍。劉叔叔和李叔叔原來各有存款多少元？3，有大、中、小三筐菠蘿，小筐裝的是中筐的一半，中筐比大筐少裝16千克，大筐裝的是小筐的4倍。大、中、小三筐各裝菠蘿多少千克？練習五小學四年級奧數教學課件小學四年級奧數教學課件四年級奧數課程四年級奧數課程第二十三周定義新運算第二十三周專題簡析：我們學過常用的運算加、減、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，為什么運算結果不同呢？主要是運算方式不同，實質上是對應法則不同。由此可見，一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法。對應法則不同就是不同的運算。當然，這個對應法則應該是對應任意兩個數。通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應。這一周，我們將定義一些新的運算形式，它們與我們常用的加、減、乘、除運算是不相同的。專題簡析：例1：設a、b都表示數，規定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b=a×3－b×2。試計算：（1）5△6；（2）6△5。分析與解答：解這類題的關鍵是抓住定義的本質。這道題規定的運算本質是：運算符號前面的數的3倍減去符號后面的數的2倍。5△6=5×3－6×2=36△5=6×3－5×2=8顯然，本例定義的運算不滿足交換律，計算中不能將△前后的數交換。例1：設a、b都表示數，規定：a△b表示a的3倍減去b的2倍練習一1，設a、b都表示數，規定：a○b=6×a－2×b。試計算3○4。2，設a、b都表示數，規定：a*b=3×a＋2×b。試計算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）3，有兩個整數是A、B，A▽B表示A與B的平均數。已知A▽6=17，求A。練習一例2：對于兩個數a與b，規定a⊕b=a×b＋a＋b，試計算6⊕2。分析與解答：這道題規定的運算本質是：用運算符號前后兩個數的積加上這兩個數。6⊕2=6×2＋6＋2=20例2：對于兩個數a與b，規定a⊕b=a×b＋a＋b，試計算6練習二1，對于兩個數a與b，規定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計算3⊕5。2，對于兩個數A與B，規定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。3，對于兩個數a與b，規定：a⊕b=a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。練習二例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規律計算3△5。分析與解答：這道題規定的運算本質是：從運算符號前的數加起，每次加的數都比前面的一個數多1，加數的個數為運算符號后面的數。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規練習三1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，計算：3。2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計算8▽4。3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。練習三例4：對于兩個數a與b，規定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。分析與解答：經仔細分析，可以發現這道題規定運算的本質仍然是：從運算符號前面的數加起，每次加的數都比它相鄰的前一個數多1，加數的個數為運算符號后面的數，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27，解這個方程，即可求出x=2。例4：對于兩個數a與b，規定a□b=a(a+1)+(a+2)練習四1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。2，對于兩個數a與b，規定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規律計算5！。練習四例5：

2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此規律計算：。分析與解答：仔細觀察和分析這幾個算式，可以發現下面的規律：a▽b=2a+b，依此規律：7▽3=7×2＋3=17。例5：2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25練習五1，有一個數學運算符號“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此規律計算：8▽4。2，有一個數學運算符號“□”使下列算式成立：□，□，□。按此規律計算：□。3，對于兩個數a、b，規定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31，計算：29▽57。練習五第二十四周差倍問題第二十四周專題簡析：解答差倍問題時，先要求出與兩個數的差對應的倍數差。在一般財政部下，它們往往不會直接告訴我們，這就需要我們根據題目的具體特點將它們求出。當題中出現三個或三個以上的數量時，一般把題中有關數量轉化為與標準量之間倍數關系對應的數量。解答差倍應用題的基本數量關系是： 差÷（倍數－1）=小數小數×倍數=大數或：小數+差=大數專題簡析：例1：光明小學開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數是踺子人數的3倍，比踢踺子的多36人。參加跳繩和踢踺子比賽的各有多少人？分析與解答：如果把踢踺子的人數看作1份，那么跳繩的人數是這樣的3份。36人是這樣的3－1=2份。這樣，把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人數：36÷2=18人，跳繩的有18×3=54人。例1：光明小學開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數是踺子人數練習一1，城南小學三年級的人數是一年級人數的2倍，三年級的人數比一年級多130人。三年級和一年級各有多少人？2，一種鋼筆的價錢是一種圓珠筆的4倍，這種鋼筆比圓珠筆貴12元。這種鋼筆和圓珠筆的單價各是多少元？3，農業科技小組有兩塊小麥試驗田，第二塊比第一塊少6公頃，第一塊的面積是第二塊的3倍。兩塊試驗田各是多少公頃？練習一例2：倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克數比大米的2倍還多100千克。倉庫有大米和面粉各多少千克？分析與解答：如果面粉減少100千克，那么面粉的千克數就是大米的2倍，3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍。所以，大米有3800÷1=3800千克，面粉有3800＋3900=7700千克。例2：倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克練習二1，三年級學生參加課外活動，做游戲的人數比打球人數的3倍多2人，已知做游戲的比打球的多38人，打球和做游戲的各有多少人？2，學校今年參加科技興趣小組的人數比去年多41人，今年的人數比去年的3倍少35人。今年有多少人參加？3，果園里種了一批蘋果樹和桃樹，已知蘋果樹比桃樹多1600棵，蘋果樹的棵數比桃樹的3倍多100棵。蘋果樹和桃樹各種了多少棵？練習二例3：育紅小學買了一些足球、排球和籃球，已知足球比排球多7只，排球比籃球多11只，足球的只數是籃球的3倍。足球、排球和籃球各買了多少只？分析與解答：由題意可知，足球比籃球多買了7+11=18只，它是籃球的3－1=2倍。所以，買籃球18÷2=9只，買排球9+11=20只，買足球20+7=27只。例3：育紅小學買了一些足球、排球和籃球，已知足球比排球多7只練習三1，玩具廠二月份比一月份多生產玩具2000個，三月份比二月份多生產3000個，三月份生產的玩具個數是一月份的2倍。每個月各生產多少個？2，某農具廠第三季度比第二季度多生產2800套軸承，第一季度比第二季度少生產1200套。第三季度生產的是第一季度的3倍。求每季度各生產多少？3，三個小朋友們折紙飛機，小晶比小亮多折12架，小強比小亮少折8架，小晶折的是小強的3倍。三個人各折紙飛機多少架？練習三例4：商店運來一批白糖和紅糖，紅糖的重量是白糖的3倍，賣出紅糖380千克，白糖110千克后，紅糖和白糖重量相等。商店原有紅糖和白商各多少千克？分析與解答：由“紅糖賣出380千克，白糖賣出110千克后，紅糖和白糖重量相等”可知原來紅糖比白糖多380－110=270千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原有270÷2=135千克，紅糖原有135×3=405千克。例4：商店運來一批白糖和紅糖，紅糖的重量是白糖的3倍，賣出紅練習四1．甲、乙兩個倉庫各存一批面粉，甲倉庫所存的面粉的袋是乙倉庫的3倍，從甲倉庫運走720千克，從乙倉庫運走120千克后，兩個倉庫所剩的面粉相等。兩個倉庫原來各有面粉多少千克？2．有兩筐橘子，第二筐中橘子的個數是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48個，第二筐中再放入18個，那么兩筐的橘子個數相等。原來兩筐各有橘子多少個？3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果從甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么兩桶酒的重量相等。原來兩桶酒各有多少千克？練習四例5：甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出2本，從乙書架取出60本后，乙書架的本數是甲書架的3倍。原來兩個書架各有圖書多少本？分析與解答：由“甲、乙兩個書架原有圖書相等，從甲書架取240本，從乙書架取出60本”可知乙書架余下的書比甲書架多240－60=180本，它是甲書架余下的2倍，所以甲書架余下180÷2=90本。甲書架原有90＋240=330本。例5：甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出2本，練習五1，兩筐同樣的蘋果，甲筐賣出8千克，乙筐賣出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍。兩筐蘋果原來各有多少千克？2，甲、乙兩個人的存款數相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的存款是甲的3倍。兩人原來各有存款多少元？3，甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出120本放到乙書架，乙書架的本數是甲書架的4倍。原來兩個書架各有圖書多少本？練習五第二十五周和差問題第二十五周專題簡析：已知兩個數的和與差，求出這兩個數各是多少的應用題，叫和差應用題。解答和差應用題的基本數量關系是：（和－差）÷2=小數小數＋差=大數（和－小數=大數）或：（和＋差）÷2=大數大數－差=小數（和－大數=小數）解答和差應用題的關鍵是選擇適當的數作為標準，設法把若干個不相等的數變為相等的數，某些復雜的應用題沒有直接告訴我們兩個數的和與差，可以通過轉化求它們的和與差，再按照和差問題的解法來解答。專題簡析：例1：三、四年級同學共植樹128棵，四年級比三年級多植樹20棵，求三、四年級各植樹多少棵？分析與解答：假如把三、四年級植的128棵加上20棵，得到的和就是四年級植樹的2倍，所以，四年級植樹的棵數是（128+20）÷2=74棵，三年級植樹的棵數是74－20=54棵。這道題還可以這樣解答：假如從128棵中減去20棵，那么得到的差就是三年級植樹棵數的2倍，由出，先求出三年級植樹的棵數（128－20）÷2=54棵，再求出四年級植樹的棵數：54＋20=74棵。例1：三、四年級同學共植樹128棵，四年級比三年級多植樹20練習一1，兩堆石子共有800噸，第一堆比第二堆多200噸。兩堆各有多少噸？2，用錫和鋁混合制成600千克的合金，鋁的重量比錫多400千克。錫和鋁各是多少千克？3，甲、乙兩人年齡的和是35歲，甲比乙小5歲。甲、乙兩人各多少歲？練習一例2：兩筐梨子共有120個，如果從第一筐中拿10個放到第二筐中，那么兩筐的梨子個數相等。兩筐原來各有多少個梨？分析與解答：根據題意，第一筐減少10個，第二筐增加10個后，則兩筐梨子個數相等，可知原來第一筐比第二筐多10×2=20個。假如從120個中減去20個，那么得到的差就是第二筐梨子個數的2倍，所以，第二筐原來有（120－20）÷2=50個，第一筐原來有50＋20=70個。例2：兩筐梨子共有120個，如果從第一筐中拿10個放到第二筐練習二1，紅星小學三（1）班和三（2）班共有學生108人，從三（1）班轉3人到三（2）班，則兩班人數同樣多。兩個班原來各有學生多少人？2，某汽車公司兩個車隊共有汽車80輛，如果從第一車隊調10輛到第二車隊，兩個車隊的汽車輛數就相等。兩個車隊原來各有汽車多少輛？3，甲、乙兩笨共有水果60千克，如果從甲箱中取出5千克放到乙箱中，則兩箱水果一樣重。兩箱原來各有水果多少千克？練習二例3：今年小勇和媽媽兩人的年齡和是38歲，3年前，小勇比媽媽小26歲。今年媽媽和小勇各多少歲？分析與解答：3年前，小勇比媽媽小26歲，這個年齡差是不變的，即今年小勇也比媽媽小26歲。顯然，這屬于和差問題。所以媽媽今年（38+26）÷2=32歲，小勇（38－26）÷2=6歲。例3：今年小勇和媽媽兩人的年齡和是38歲，3年前，小勇比媽媽練習三1，今年小剛和小強倆人的年齡和是21歲，1年前，小剛比小強小3歲。今年小剛和小強各多少歲？2，黃茜和胡敏兩人今年的年齡和是23歲，4年后，黃茜將比胡敏大3歲。黃茜和胡敏今年各多少歲？3，兩年前，胡煒比陸飛大10歲；3年后，兩人的年齡和將是42歲。求胡煒和陸飛今年各多少歲。練習三例4：甲乙兩個倉庫共有大米800袋，如果從甲倉庫中取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋。兩個倉庫原來各有多少袋大米？分析與解答：先求甲、乙兩倉庫大米的袋數差，由“從甲倉庫中取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋”可知甲倉庫原來比乙倉庫多25×2＋8=58袋。由此可求出甲倉庫原來有（800＋58）÷2=429袋，乙倉庫原來有800－429=371袋。例4：甲乙兩個倉庫共有大米800袋，如果從甲倉庫中取出25袋練習四1．甲、乙兩箱洗衣粉共有90袋，如果從甲箱中取出4袋放到乙箱中，則甲箱比乙箱還多6袋。兩箱原來各有多少袋？2．甲、乙兩筐香蕉共重60千克，從甲筐中取5千克放到乙筐，結果甲筐比乙筐還多2千克。兩筐原來各有多少千克香蕉？3．兩籠雞蛋共19只，若甲籠再放入4只，乙籠中取出2只，這時乙籠比甲籠還多1只。甲、乙兩籠原來各有雞蛋多少只？練習四例5：把長108厘米的鐵絲圍成一個長方形，使長比寬多12厘米，長和寬各是多少厘米？分析與解答：根據題意可知圍成的長方形的周長是108厘米，因此，這個長方形長與寬的和是108÷2=54厘米，由此可以求出長方形的長為（54+12）÷2=33厘米，寬為54－33=21厘米。例5：把長108厘米的鐵絲圍成一個長方形，使長比寬多12厘米練習五1，把長84厘米的鐵絲圍成一個長方形，使寬比長少6厘米。長和寬各是多少厘米？2，趙叔叔沿長和寬相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的準備活動，共跑1080米。游泳池的長和寬各是多少米？3，劉曉每天早晨沿長和寬相差40米的操場跑步，每天跑6圈，共跑2400米。這個操場的面積是多少平方米？練習五第二十六周巧算年齡第二十六周專題簡析：年齡問題是一類與計算有關的問題，它通常以和倍、差倍或和差等問題的形式出現。有些年齡問題往往是和、差、倍數等問題的綜合，需要靈活地加以解決。解答年齡問題，要靈活運用以下三條規律：1，無論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的；2，隨著時間的向前或向后推移，幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量；3，隨著時間的變化，兩人的年齡之間的倍數關系也會發生變化。專題簡析：例1：爸爸今年43歲，兒子今年11歲。幾年后爸爸的年齡是兒子的3倍？分析與解答：兒子出生后，無論在哪一年，爸爸和兒子的年齡差總是不變的，這個年齡差是43－11=32歲。所以，當爸爸的年齡是兒子3倍時，兒子是32÷（3－1）=16歲，因此16－11=5年后，爸爸的年齡是兒子的3倍。例1：爸爸今年43歲，兒子今年11歲。幾年后爸爸的年齡是兒子練習一1，媽媽今年36歲，兒子今年12歲。幾年后媽媽年齡是兒子的2倍？2，小強今年15歲，小亮今年9歲。幾年前小強的年齡是小亮的3倍？3，爺爺今年60歲，孫子今年6歲。再過多少年爺爺的年齡比孫子大2倍？練習一例2：媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和是39歲。媽媽和女兒今年各多少歲？分析與解答：從3年前到今年，媽媽和女兒都長了3歲，她們今年的年齡和是：39+3×2=45歲。于是，這個問題可轉化為和倍問題來解決。所以，今年女兒的年齡是45÷（1+4）=9歲，媽媽今年是9×4=36歲。例2：媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和練習二1，今年爸爸的年齡是兒子的4倍，3年前，爸爸和兒子的年齡和是44歲。爸爸和兒子今年各是多少歲？2，今年小麗和她爸爸的年齡和是41歲，4年前爸爸的年齡恰好是小麗的10倍。小麗和爸爸今年各是多少歲？3，今年小芳和她媽媽的年齡和是38歲，3年前媽媽的年齡比小芳的9倍多2歲。小芳和媽媽今年各多少歲？練習二例3：今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年后小紅的年齡是小梅的2倍。小紅和小梅今年各多少歲？分析與解答：小紅和小梅的年齡差是不變的，因此兩人的年齡差是小梅今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年齡的2－1=1倍，即：小梅今年的年齡＋3=小梅今年的年齡×4。所以，小梅今年的年齡為：3÷（4－1）=1歲，小紅今年的年齡為：1×5=5歲。例3：今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年后小紅的年齡是小梅的2練習三1，今年小明的年齡是小娟的3倍，3年后小明的年齡是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少歲？2，今年小亮的年齡是小英的2倍，6年前小亮的年齡是小英的5倍。小英和小亮今年各多少歲？3，10年前父親的年齡是兒子的7倍，15年后父親的年齡是兒子的2倍。父親和兒子今年各多少歲？練習三例4：甜甜的爸爸今年28歲，媽媽今年26歲。再過多少年，她的爸爸和媽媽的年齡和為80歲？分析與解答：兩人的年齡和每年增加2歲，先求今年爸爸和媽媽的年齡和：28＋26=54歲，再求80比54多80－54=26歲。26里面包含多少個2，就是經過的年數。所以，再過26÷2=13年爸爸和媽媽的年齡和為80歲。例4：甜甜的爸爸今年28歲，媽媽今年26歲。再過多少年，她的練習四1，蜜蜜的爸爸今年27歲，她的媽媽今年26歲。再過多少年，她爸爸和媽媽的年齡和為73歲？2，林星今年8歲，爸爸今年34歲。當他們的年齡和為72歲時，爸爸和林星各多少歲？3，今年爸爸56歲，兒子30歲。當父子的年齡和為46歲時，爸爸和兒子各是多少歲？練習四例5：小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲，今年全家年齡總和是71歲，8年前這個家的年齡總和是49歲。今年三人各多少歲？分析與解答：已知8年前這個家的年齡總和是49歲，這個條件中8年與49歲看上去有一個是多余的，有的同學可能認為8年前這個家的年齡總和應該是71－（1+1+1）×8=47歲，但這與題中所給的條件49不一致。為什么呢？這說明8年前小英還沒有出生。這相差的2歲就是8年前與小英年齡的差。由此可以求出小英今年是8－2=6歲。今年父母的年齡和為71－6=65歲。已知小英的父親比母親大3歲，所以今年父親（65+3）÷2=34歲，母親34－3=31歲。例5：小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲，練習五1，父、母、子三人今年的年齡和為70歲，而10年前三人的年齡和為46歲，父親比母親大4歲。求三人今年各多少歲。2，全家四口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。4年前他們的年齡和為58歲，現在全家的年齡和是73歲。現在每個人各多少歲？3，吳琪一家由吳琪和他的孿生姐姐吳林還有他們的父母組成，其中父親比母親大2歲。今年全家的年齡和是64歲，5年前全家的年齡和是52歲。求今年每人的年齡。練習五第二十七周較復雜的和差倍問題第二十七周專題簡析：前面我們學習了和倍、差倍、和差三種應用題，有的題目需要通過轉化而成為和倍、差倍、和差問題，這類問題叫做復雜的和差倍問題。解答較復雜的和差倍問題，需要我們從整體上把握住問題的本質，將題目進行合理的轉化，從而將較復雜的問題轉化為一般和倍、差倍、和差應用題來解決。