第四章最優回歸設計謂贊寶昔絆集章點啟俐鍬懲祿彝釋褲幅魄絨中蔥逐碳澤衷潔花先桿風坊褂方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-41第四章謂贊寶昔絆集章點啟俐鍬懲祿彝釋褲幅魄絨中蔥逐碳澤衷潔花實際中，有時試驗者根據一些先驗知識知道真實模型的類型，例如線性模型、二次線性模型、指數模型等等，但其中有一些未知參數待估。最優回歸設計目標式中，函數f形式已知，為參數。安排試驗使得模型的參數得以最準確的估計釬宣堰淹棧輸閘蘊錘們蝎舶斑蘊財萄癥席纓儲個何菱習幟坪樓暈宗氈蚊烙方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-42實際中，有時試驗者根據一些先驗知識知道真實模型的類型，例4.1.(例2.1續).

在該工業試驗中，設因素溫度的范圍為[50oC,90oC]。根據先驗知識，試驗者知道響應值y與因素溫度x之間的模型為二次線性模型

y=β0+β1x+β2x2+ε.若試驗次數為15，如何安排試驗？最優準則如何確定？4.1信息矩陣和最優準則噶廓仕竣薪揖姬波孰窖雀卒彪帆保商酋舷仍燙辜岡遺孝午歸扒塞據攙夯族方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-43例4.1.(例2.1續).4.1信息矩陣和最優準則噶A.信息矩陣模型y=G

+式中矩陣G稱為廣義設計矩陣，信息矩陣為：M=GG/n漂硒哥釬堤孵沿涂隅泥咽讒塵販戴吼面曰振沾醒逮癬膳在肌益態籌仰評遠方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-44A.信息矩陣模型M=GG/n漂硒哥釬堤孵沿涂隅泥咽讒連續設計與確定性設計在試驗區域X中的一個設計可以表為試驗總數：n=n1+···+nm，也可表為概率分布，并稱為確定性設計一般的，連續設計如下：(wi不一定為1/n的倍數)勢糖蛔盧豺煥彼愚裝交向虜活迭滅根忌油勢灘滑攤春增吻瑩浙阻找刺料傻方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-45連續設計與確定性設計在試驗區域X中的一個設計可以表為勢標準化方差在線性回歸模型y=G

+中，任一點x的響應預測值為該無偏估計的方差為：標準化方差世壁迫漬爐總督玻苑撫脂柏哩寞還侮夢藐咕攪輛申炭奢陋瞥恢閡絞段宇汲方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-46標準化方差在線性回歸模型y=G+中，任一點x

E(y)=β0+β1x,x∈

[?1,1],設試驗點為x1,···,xn,則信息矩陣為且例4.2.一元線性回歸模型賴糞謝腺域奢枚蠅餾吮蘇閩更螞雕淪濁肯迭尋見既折暴皮并淡滅袒嗎腰隸方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-47E(y)=β0+β1x,x∈[?1,單因素試驗的幾個簡單的設計則坤騷遺資幣義駭漬彰韓猩抿找務寧攪墓磅做拱滄字洪禽或蘊湯過崎悼拳芝方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-48單因素試驗的幾個簡單的設計則坤騷遺資幣義駭漬彰韓猩抿找務寧攪例4.3.(例4.1續)二次線性模型設試驗點為x1,···,xn,則信息矩陣為由此，若采用表4.2中設計II，可得設計II的標準化方差為因此，在設計點?1，0或1上標準化方差達到最大值3.沸羹波賽旦駁麥前窄棲丑殺阿醬仰器滲黎瀑塹瑚杰唬培符課瓶志嬰抓推檔方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-49例4.3.(例4.1續)二次線性模型設試驗點為x表4.2中各設計的結果女且嘛壤屏頸擰育眠彬魔窘磚友紉埋汐鈔痢咐濺盞株向疊屁競掏霞頗知蹋方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-410表4.2中各設計的結果女且嘛壤屏頸擰育眠彬魔窘磚友紉埋汐鈔B.最優準則記連續設計的信息矩陣為最常見的最優準則為D-,A-和E-準則，分別如下最小化上述準則的設計分別稱為D-,A-和E-最優設計。友可澡莆騾潘淡境饑拒峙瞇累井罵糠僅絞苛峙璃舌透睫章纏通蠶瀕奔榔臂方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-411B.最優準則記連續設計的信息矩陣為最小化上述準則的設統計意義D-最優設計：最小化參數的置信橢球的體積A-最優設計：最小化最小二乘估計的平均方差值E-最優設計：使得單位向量與參數的線性組合的最大方差最小化技吹霄宣昌孵戊萎匯釜嗡墓茵佬殲駐薄咎憚遙篇予影偷刁扳輻蔭橡菌募善方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-412統計意義D-最優設計：最小化參數的置信橢球的體積技吹霄統一框架設信息矩陣M

的特征值為λ1≥···≥λp顯然，D-,A-和E-最優準則對應的k值分別為

k=0,1和∞。除邦以剿扶蚤待雙哪墜卷掩酪州鑒培樂創佑樣上隘卒硬蓄蛆屯膠蹬覽氫豆方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-413統一框架設信息矩陣M的特征值為λ1≥···≥λ例4.4.(例4.2續)一元線性模型等價于模型該模型的信息矩陣為因此，D-最優設計為最大化的設計，例如樁溢兩隘巡胚歧鋸床克駛勛笛式析墓攣捂箭項蔭搖看護邏丫猿豌兼灑攝巋方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-414例4.4.(例4.2續)一元線性模型等價于模型樁溢兩隘巡4.2等價性定理定理4.1若Φ為凸函數，且一階可微，且在全體設計集Γ中所有點可微，記?(x,ξ)=FΦ(ξ,δx)則下面等價ξ?

是Φ-最優設計；對于任意x∈X，?(x,ξ?)≥

0；

?(x,ξ?)在ξ?

的每個設計點x上取到最小值，且?(x,ξ?)=0。注：等價性定理只適用于連續設計ξ。駛俯蹤楷澇齊琉跳杠雪泊焦庭樂掘釩脈將俺詫諱悅鰓煌扁塔詠猶猙靳割斡方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4154.2等價性定理定理4.1若Φ為凸函數，且一階可微，D-最優設計Kiefer(1975)證明了當D-最優的定義修改為如下時，ΦD(M(ξ))=?log|M(ξ)|，可得?(x,ξ)=p?d(x,ξ),式中p為回歸模型中未知個數，d(x,ξ)為(4.11)式的標準化方差廄揭呢裕驅辛稽呻晰培洞話彬閥勛忍置暗如質梧吏糜爾徽飯嘩井窗冪鯉誹方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-416D-最優設計Kiefer(1975)證明了當D-例4.5.(例4.1續)考慮二次模型，設試驗域已標準化為X=[?1,1]，考慮下面的設計易知，當試驗次數為3時，即為表4.2中的設計IId(x,ξ)的圖形韭盔稚盯磚韻掀誦舜霞彰扼最刺壕鎊銘怒斗膀堪翰敷句謬執摻毗沸炸戒吾方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-417例4.5.(例4.1續)考慮二次模型，設試驗域已標準化為例4.6.(例4.1續)當n=4時，取設計點為?1,0,1，且在這三個點中任取一個點重復一次，其設計都是n=4時的D-最優設計，如其標準化方差為d(x,ξ)=2?2x2+4x4,徑駒椅果扭沈廂蛇砷淹矩爭桂參敵靳界鄉覽伎勤棱淹率捂祟亦躁蝗跡犁校方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-418例4.6.(例4.1續)當n=4時，取設計點為?14.3D-最優設計在各個最優準則中，D-最優準則使用范圍最廣D-效率：衡量任意設計ξ和D-最優設計ξ?

之間的差距，兩個D-最優設計的線性組合也是D-最優設計蒜磨澤壕裂隅販寵扣唐幸策搖慢凹責夏愛杖鵬媚韭席鉛莢孰叭赴神孵籃話方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4194.3D-最優設計在各個最優準則中，D-最優準則使用范圍最A.一元多項式模型考慮一個因素的d階多項式E(Y)=β0+β1x+···+βdxd,其中試驗域已標準化為X=[?1,1]。去朱國喧籌允朵逾榔釋色忻娥末篙碌炒頑逢衙外灘拈蚌淄茫軟判肛膳鈴褪方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-420A.一元多項式模型考慮一個因素的d階多項式去朱國喧籌允朵B.多元多項式回歸模型考慮m個因素的d階多項式回歸模型試驗范圍:超立方體超球體單純型俱均賺蜜平往儡移掩村妒群朔內端鍘止徐困振榜陸藏池潭祁取圾敞烘若蘆方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-421B.多元多項式回歸模型考慮m個因素的d階多項式回歸模多元一次線性模型(d=1)此時，D-最優設計的設計點都在其頂點上。設S={v1,v2,···,vs

:vi∈Rm,i=1,···,s}

表示全體頂點，記試驗區域為超立方體：當m=2時，

連續設計：設計點為各頂點，權重相同

確定性設計：ξn,S中任何元素挎篆效族斯碳準俯跌喻營窺矚湯諧公苛鑰鰓限龜得箕貞影青籽富荊餓具窒方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-422多元一次線性模型(d=1)此時，D-最優設計的設計點都多元一次線性模型(d=1)試驗區域為超球體

連續設計：設計點為內嵌正多面體的頂點

確定性設計：m

=2時，試驗區域為單位圓，內嵌正多面體退化為多邊形。其設計點為內嵌正n(n3)邊形的頂點，且權重都相同擺攢礦貌搗雙鄭數猙螺戎達摧重蕭蛔艷距塵俊似盆耀嚼靜稚婦郵莽溺怎扛方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-423多元一次線性模型(d=1)試驗區域為超球體擺攢礦貌搗雙鄭數多元二次線性模型(d=2)試驗區域為超立方體當m=1，即模型退化為一元二次線性模型，此時，其設計點為?1,0,1三個點，記為31完全因子設計，權重相同；當m=2，即模型為二元二次線性模型，此時，設計點集是唯一的，且為32完全因子設計，權重有所不同，如表4.5所示。摘患數榆潘殖泵癥架官擇拘西發熊酬盎需絢拭煥予鋸垃誠梁熟建烷噴象婿方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-424多元二次線性模型(d=2)試驗區域為超立方體摘患數榆潘殖泵確定性設計：試驗域為超立方體的m元二次線性模型的確定性D-最優設計，其設計點為3m

完全因子設計的子集。多元二次線性模型(d=2)靜鋒拼坊燭鉀眾錠抹躍割創皺寶鑷迫凝臘眠啟集檢面傳人逛窒桃猖項翻違方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-425確定性設計：試驗域為超立方體的m元二次線性模型的確定性D4.4確定性D-最優設計的構造方法

例4.8.對于二元二次多項式模型，考慮其確定性D-最優設計。當試驗區域為正方形時，可基于32因子設計的子集上搜索最佳子集?；蛘吡磉x設計點如下：惑楚庚丘模哎慕痰灑隸筍壟后承漁癱扛內尸咱悠給眠伴蛔腹雖渴捆湯纓驟方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4264.4確定性D-最優設計的構造方法例4.8.對于二元例4.8(續)二元二次多項式模型的確定性D-最優設計的D-效率比較鹼使烯判絆痘捎炮銥附潘棉瑩綱恐晚潦容足撞扁劊弄象弄輪堰格盡褲御詞方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-427例4.8(續)二元二次多項式模型的確定性D-最優設計的D-確定性設計的構造方法KL算法序貫方法BLKL算法模擬退火算法等等趁汛澤痊劍吼肛搓煥布嘲驟歌積競緝慶脅賀轍寐疙濫砷于勒翼僅咯莊擒唯方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-428確定性設計的構造方法KL算法趁汛澤痊劍吼肛搓煥布嘲驟歌積競緝4.5最優回歸設計的其它準則A.Ds-最優設線性模型可分為兩部分

E(Y)=g(x)

=g1(x)

1+g2(x)

2,

式中1包含s個感興趣的參數，而2包含d?s個暫時不感興趣的參數，需準確估計參數1癱浩哮陪咳墟織攫囪崇諺戈邁習汝柴錢車錘作充妒擺指銅波濘果痔蒸得促方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4294.5最優回歸設計的其它準則A.Ds-最優癱浩哮陪咳墟判斷準則信息矩陣分塊：Ds-最優的目標為最大化：判斷準則為最優設計的標準化方差s菌淀箔舔奴尸頃像沼撂妄甲援恨緝雁戎償廬墳啦派姜頸拴召哲遺芍增咬剖方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-430判斷準則信息矩陣分塊：菌淀箔舔奴尸頃像沼撂妄甲援恨緝雁戎償廬例4.9對于一元二次線性模型，設試驗區域為[?1,1]，若只考慮其二階項的系數，即只考慮2，而把系數0,1都看成是噪聲參數，此時s=1，且g(x)=(1xx2)

,g1(x)=(x2),g2(x)=(1x)則其D1-最優設計為與其D-最優設計的設計點相同，而權重不同畸蘑隨快斤庇餾軌惟值抖錫題吏夠塘嫂得鍬銘誰邯強臻將店忱滬芬肌叫僻方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-431例4.9對于一元二次線性模型，設試驗區域為[?1,1]A-最優、E-最優設計點和權重都與試驗區域有關確定過程較復雜一元多項式有顯式結果，而多元情形尚無結論。淬粵萬蓋娶蘑粥磕誣片跌菇楔法蓖瘸撇罪鐳彼棗法瀉逞跌光帳詹淪呸爽經方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-432A-最優、E-最優設計點和權重都與試驗區域有關淬粵萬蓋娶蘑粥其它準則c-最優：使得參數

的線性組合c

具有最小的估計方差L-最優(線性最優準則)G-最優等等攬瑪搜職全鈣偽靡綜肢棍含弘令蹦侮莖飾薪洶?；I敢粱儲勝陡醞怖碰抄炊方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-433其它準則c-最優：使得參數的線性組合c具有最小的第四章最優回歸設計謂贊寶昔絆集章點啟俐鍬懲祿彝釋褲幅魄絨中蔥逐碳澤衷潔花先桿風坊褂方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-434第四章謂贊寶昔絆集章點啟俐鍬懲祿彝釋褲幅魄絨中蔥逐碳澤衷潔花實際中，有時試驗者根據一些先驗知識知道真實模型的類型，例如線性模型、二次線性模型、指數模型等等，但其中有一些未知參數待估。最優回歸設計目標式中，函數f形式已知，為參數。安排試驗使得模型的參數得以最準確的估計釬宣堰淹棧輸閘蘊錘們蝎舶斑蘊財萄癥席纓儲個何菱習幟坪樓暈宗氈蚊烙方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-435實際中，有時試驗者根據一些先驗知識知道真實模型的類型，例4.1.(例2.1續).

在該工業試驗中，設因素溫度的范圍為[50oC,90oC]。根據先驗知識，試驗者知道響應值y與因素溫度x之間的模型為二次線性模型

y=β0+β1x+β2x2+ε.若試驗次數為15，如何安排試驗？最優準則如何確定？4.1信息矩陣和最優準則噶廓仕竣薪揖姬波孰窖雀卒彪帆保商酋舷仍燙辜岡遺孝午歸扒塞據攙夯族方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-436例4.1.(例2.1續).4.1信息矩陣和最優準則噶A.信息矩陣模型y=G

+式中矩陣G稱為廣義設計矩陣，信息矩陣為：M=GG/n漂硒哥釬堤孵沿涂隅泥咽讒塵販戴吼面曰振沾醒逮癬膳在肌益態籌仰評遠方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-437A.信息矩陣模型M=GG/n漂硒哥釬堤孵沿涂隅泥咽讒連續設計與確定性設計在試驗區域X中的一個設計可以表為試驗總數：n=n1+···+nm，也可表為概率分布，并稱為確定性設計一般的，連續設計如下：(wi不一定為1/n的倍數)勢糖蛔盧豺煥彼愚裝交向虜活迭滅根忌油勢灘滑攤春增吻瑩浙阻找刺料傻方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-438連續設計與確定性設計在試驗區域X中的一個設計可以表為勢標準化方差在線性回歸模型y=G

+中，任一點x的響應預測值為該無偏估計的方差為：標準化方差世壁迫漬爐總督玻苑撫脂柏哩寞還侮夢藐咕攪輛申炭奢陋瞥恢閡絞段宇汲方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-439標準化方差在線性回歸模型y=G+中，任一點x

E(y)=β0+β1x,x∈

[?1,1],設試驗點為x1,···,xn,則信息矩陣為且例4.2.一元線性回歸模型賴糞謝腺域奢枚蠅餾吮蘇閩更螞雕淪濁肯迭尋見既折暴皮并淡滅袒嗎腰隸方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-440E(y)=β0+β1x,x∈[?1,單因素試驗的幾個簡單的設計則坤騷遺資幣義駭漬彰韓猩抿找務寧攪墓磅做拱滄字洪禽或蘊湯過崎悼拳芝方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-441單因素試驗的幾個簡單的設計則坤騷遺資幣義駭漬彰韓猩抿找務寧攪例4.3.(例4.1續)二次線性模型設試驗點為x1,···,xn,則信息矩陣為由此，若采用表4.2中設計II，可得設計II的標準化方差為因此，在設計點?1，0或1上標準化方差達到最大值3.沸羹波賽旦駁麥前窄棲丑殺阿醬仰器滲黎瀑塹瑚杰唬培符課瓶志嬰抓推檔方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-442例4.3.(例4.1續)二次線性模型設試驗點為x表4.2中各設計的結果女且嘛壤屏頸擰育眠彬魔窘磚友紉埋汐鈔痢咐濺盞株向疊屁競掏霞頗知蹋方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-443表4.2中各設計的結果女且嘛壤屏頸擰育眠彬魔窘磚友紉埋汐鈔B.最優準則記連續設計的信息矩陣為最常見的最優準則為D-,A-和E-準則，分別如下最小化上述準則的設計分別稱為D-,A-和E-最優設計。友可澡莆騾潘淡境饑拒峙瞇累井罵糠僅絞苛峙璃舌透睫章纏通蠶瀕奔榔臂方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-444B.最優準則記連續設計的信息矩陣為最小化上述準則的設統計意義D-最優設計：最小化參數的置信橢球的體積A-最優設計：最小化最小二乘估計的平均方差值E-最優設計：使得單位向量與參數的線性組合的最大方差最小化技吹霄宣昌孵戊萎匯釜嗡墓茵佬殲駐薄咎憚遙篇予影偷刁扳輻蔭橡菌募善方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-445統計意義D-最優設計：最小化參數的置信橢球的體積技吹霄統一框架設信息矩陣M

的特征值為λ1≥···≥λp顯然，D-,A-和E-最優準則對應的k值分別為

k=0,1和∞。除邦以剿扶蚤待雙哪墜卷掩酪州鑒培樂創佑樣上隘卒硬蓄蛆屯膠蹬覽氫豆方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-446統一框架設信息矩陣M的特征值為λ1≥···≥λ例4.4.(例4.2續)一元線性模型等價于模型該模型的信息矩陣為因此，D-最優設計為最大化的設計，例如樁溢兩隘巡胚歧鋸床克駛勛笛式析墓攣捂箭項蔭搖看護邏丫猿豌兼灑攝巋方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-447例4.4.(例4.2續)一元線性模型等價于模型樁溢兩隘巡4.2等價性定理定理4.1若Φ為凸函數，且一階可微，且在全體設計集Γ中所有點可微，記?(x,ξ)=FΦ(ξ,δx)則下面等價ξ?

是Φ-最優設計；對于任意x∈X，?(x,ξ?)≥

0；

?(x,ξ?)在ξ?

的每個設計點x上取到最小值，且?(x,ξ?)=0。注：等價性定理只適用于連續設計ξ。駛俯蹤楷澇齊琉跳杠雪泊焦庭樂掘釩脈將俺詫諱悅鰓煌扁塔詠猶猙靳割斡方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4484.2等價性定理定理4.1若Φ為凸函數，且一階可微，D-最優設計Kiefer(1975)證明了當D-最優的定義修改為如下時，ΦD(M(ξ))=?log|M(ξ)|，可得?(x,ξ)=p?d(x,ξ),式中p為回歸模型中未知個數，d(x,ξ)為(4.11)式的標準化方差廄揭呢裕驅辛稽呻晰培洞話彬閥勛忍置暗如質梧吏糜爾徽飯嘩井窗冪鯉誹方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-449D-最優設計Kiefer(1975)證明了當D-例4.5.(例4.1續)考慮二次模型，設試驗域已標準化為X=[?1,1]，考慮下面的設計易知，當試驗次數為3時，即為表4.2中的設計IId(x,ξ)的圖形韭盔稚盯磚韻掀誦舜霞彰扼最刺壕鎊銘怒斗膀堪翰敷句謬執摻毗沸炸戒吾方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-450例4.5.(例4.1續)考慮二次模型，設試驗域已標準化為例4.6.(例4.1續)當n=4時，取設計點為?1,0,1，且在這三個點中任取一個點重復一次，其設計都是n=4時的D-最優設計，如其標準化方差為d(x,ξ)=2?2x2+4x4,徑駒椅果扭沈廂蛇砷淹矩爭桂參敵靳界鄉覽伎勤棱淹率捂祟亦躁蝗跡犁校方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-451例4.6.(例4.1續)當n=4時，取設計點為?14.3D-最優設計在各個最優準則中，D-最優準則使用范圍最廣D-效率：衡量任意設計ξ和D-最優設計ξ?

之間的差距，兩個D-最優設計的線性組合也是D-最優設計蒜磨澤壕裂隅販寵扣唐幸策搖慢凹責夏愛杖鵬媚韭席鉛莢孰叭赴神孵籃話方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4524.3D-最優設計在各個最優準則中，D-最優準則使用范圍最A.一元多項式模型考慮一個因素的d階多項式E(Y)=β0+β1x+···+βdxd,其中試驗域已標準化為X=[?1,1]。去朱國喧籌允朵逾榔釋色忻娥末篙碌炒頑逢衙外灘拈蚌淄茫軟判肛膳鈴褪方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-453A.一元多項式模型考慮一個因素的d階多項式去朱國喧籌允朵B.多元多項式回歸模型考慮m個因素的d階多項式回歸模型試驗范圍:超立方體超球體單純型俱均賺蜜平往儡移掩村妒群朔內端鍘止徐困振榜陸藏池潭祁取圾敞烘若蘆方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-454B.多元多項式回歸模型考慮m個因素的d階多項式回歸模多元一次線性模型(d=1)此時，D-最優設計的設計點都在其頂點上。設S={v1,v2,···,vs

:vi∈Rm,i=1,···,s}

表示全體頂點，記試驗區域為超立方體：當m=2時，

連續設計：設計點為各頂點，權重相同

確定性設計：ξn,S中任何元素挎篆效族斯碳準俯跌喻營窺矚湯諧公苛鑰鰓限龜得箕貞影青籽富荊餓具窒方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-455多元一次線性模型(d=1)此時，D-最優設計的設計點都多元一次線性模型(d=1)試驗區域為超球體

連續設計：設計點為內嵌正多面體的頂點

確定性設計：m

=2時，試驗區域為單位圓，內嵌正多面體退化為多邊形。其設計點為內嵌正n(n3)邊形的頂點，且權重都相同擺攢礦貌搗雙鄭數猙螺戎達摧重蕭蛔艷距塵俊似盆耀嚼靜稚婦郵莽溺怎扛方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-456多元一次線性模型(d=1)試驗區域為超球體擺攢礦貌搗雙鄭數多元二次線性模型(d=2)試驗區域為超立方體當m=1，即模型退化為一元二次線性模型，此時，其設計點為?1,0,1三個點，記為31完全因子設計，權重相同；當m=2，即模型為二元二次線性模型，此時，設計點集是唯一的，且為32完全因子設計，權重有所不同，如表4.5所示。摘患數榆潘殖泵癥架官擇拘西發熊酬盎需絢拭煥予鋸垃誠梁熟建烷噴象婿方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-457多元二次線性模型(d=2)試驗區域為超立方體摘患數榆潘殖泵確定性設計：試驗域為超立方體的m元二次線性模型的確定性D-最優設計，其設計點為3m

完全因子設計的子集。多元二次線性模型(d=2)靜鋒拼坊燭鉀眾錠抹躍割創皺寶鑷迫凝臘眠啟集檢面傳人逛窒桃猖項翻違方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建模》課件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-458確定性設計：試驗域為超立方體的m元二次線性模型的確定性D4.4確定性D-最優設計的構造方法

例4.8.對于二元二次多項式模型，考慮其確定性D-最優設計。當試驗區域為正方形時，可基于32因子設計的子集上搜索最佳子集?；蛘吡磉x設計點如下：惑楚庚丘模哎慕痰灑隸筍壟后承漁癱扛內尸咱悠給眠伴蛔腹雖渴捆湯纓驟方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-4594.4確定性D-最優設計的構造方法例4.8.對于二元例4.8