關于電路的矩陣形式第1頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五復習基本概念一、網絡的圖二、樹、基本回路與基本割集第2頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五一、網絡的圖1、網絡圖論網絡圖論是圖論在電路理論中的應用。主要通過電路的結構及其連接性質，對電路進行分析計算。第3頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五每一個電路元件或多個電路元件的某種組合用一條線段代替，稱為支路。2、支路BranchR1R212skIskUkΙ-+kZ+kU-k第4頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五每一個電路元件的端點，或多個電路元件相連接的點，稱為節點。在電網絡理論中，通常節點是指支路的匯集點。3、節點NodeR1R2①②③skIskUkΙ-+kZ+kU-①②

第5頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

從一個結點沿某些支路移動到另一結點，則這些支路就是一條路徑。4、路徑Path第6頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五一條路徑的起點、終點重合所形成的不重復的閉合路徑。5、回路Loop第7頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

平面圖中自然的“孔”，它限定的區域內不再有支路。6、網孔Mesh第8頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五節點和支路的集合，稱為圖，每一條支路的兩端都連接到相應的節點上。7、網絡的圖Graph第9頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

當圖G中的任意兩個節點之間至少存在一條路徑時，稱為連通圖。有向圖是指各個支路規定了參考方向的圖，反之，稱為無向圖。8、連通圖和有向圖第10頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五第11頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五二、樹、基本回路與基本割集1、樹Tree一個連通圖G的樹T是指G的一個連通子圖，它包含G的全部節點，但不含任何回路。構成樹的支路稱為“樹支”，圖G中不屬于T的其他支路稱為“連支”，其集合稱為“樹余”。第12頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

只含一條連支的回路稱為單連支回路，它們的總和為一組獨立回路，稱為“基本回路”。樹一經選定，基本回路唯一地確定下來。２、基本回路第13頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

1

a

c2

b3

de

4

f第14頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五連通圖G的割集是指其一個支路集合：1、把這些支路全部移去（保留節點）后，將使連通圖分離成各自連通的兩個部分；2、少移去其中一條支路,圖仍然是連通的。３、割集Cutset割集是一個廣義結點，屬于一個割集的所有支路的代數和為0第15頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

只含一條樹支的割集稱為單樹支割集，它們的總和稱為“基本割集”。

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f

1

ac2

b

3

de

4

f４、基本割集第16頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15-1關聯矩陣Ａ

15-2回路矩陣Ｂ

15-3割集矩陣Ｑ第17頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五三個矩陣研究的對象結點支路關聯矩陣AaA回路支路回路矩陣BBf

割集支路割集矩陣QQf行列第18頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15.1-1、增廣關聯矩陣Aa

n×b

Aa定義：行對應圖的節點，列對應圖的各個支路。Aa=[ajk]中：當節點i與支路bk無關聯時，ajk=0當節點i與支路bk關聯，且支路電流的參考方向離開節點時，ajk=+1當節點i與支路bk關聯，且支路電流的參考方向指向節點時，ajk=-1第19頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

4n

4b

3b

5b

5n

7b1n

3n

1b

6b

2b

2n例題1：分析：有5個結點，7條支路，所以應該是5X7的矩陣。5X7第20頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五關聯矩陣Aa的特點：

每一列只有兩個非零元素，一個是+1，一個是-1，Aa的每一列元素之和為零。

矩陣中任一行可以從其他n-1行中導出，即只有n-1行是獨立的。引入降階關聯矩陣AA=(n-1)b支路b結點（n-1）第21頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五A定義：除去增廣關聯矩陣中的任意一行，矩陣仍然具有同樣的信息，足以表征定向圖中節點對支路的關系。將這種矩陣稱為降階關聯矩陣或簡稱為關聯矩陣，記為A。15.1-2、降階關聯矩陣A(n-1）×b第22頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五思考：如果已知A矩陣，能否畫出對應的圖？例題2：寫出Aa和A第23頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15.2回路矩陣B(b-n+1）×bB定義：行對應圖的回路，列對應圖的各個支路。B=[bjk]中：當支路k不在回路j內，bjk=0;當支路k在回路j內，且支路方向與回路方向相同，bjk=+1;當支路k在回路j內，且支路方向與回路方向不同，bik=-1。第24頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五例題3：取網孔為獨立回路，順時針方向1231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1

給定B可以畫出有向圖。第25頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五列寫規則：先選擇一棵樹T;

列寫時，將矩陣的列按先連支后樹支且連支與樹支要分開排列的方式;Bf定義：如果B是由以下列方式列寫出來的稱為基本回路矩陣Bf。15.2基本回路矩陣Bf

(b-n+1）×b第26頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五3.由于基本回路為單連支回路，就選連支方向為回路方向;4.連支和對應的回路要為相同的行和列號;5.特點：Bf的左半邊為E單位矩陣。Bf列寫規則：第27頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五例題4：寫出Bf矩陣。1234567選1、2、3、6為樹l1l2l34571236l1l2l34、5、7則為連支第28頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

Q定義：行對應基本割集，列對應圖的各個支路。Q=[qjk]中：當支路k不在割集j內，qjk=0;當支路k在割集j內，且支路方向與割集方向相同，qjk=+1;當支路k在割集j內，且支路方向與割集方向不同，qjk=-1。15.3割集矩陣Q與基本割集矩陣Qf第29頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五例題5：寫出下圖的Q。Q1Q2Q2156423割集支路第30頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五Qf定義：如果選定一組單樹支割集為一組獨立割集，稱為基本割集矩陣。列寫規則：先選擇一棵樹T;列寫時，將矩陣的列按先樹支后連支且分開排列;由于基本割集為單樹支割集，所以就選樹支方向為割集方向;樹支和對應的割集要為相同的行列號;Qf的左半邊為E單位矩陣。第31頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五例題5：選4、5、6支路為樹，寫Qf1２３６５４①②④③Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集123100-1-10

01011-1

0010-11QlQt第32頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五4、KCL、KVL的矩陣形式1）、KCL定律：3514726②①④③⑤根據結點、割集列寫支路KCL方程網孔或回路電路表示支路電流第33頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五2）、KVL定律：3514726②①④③⑤每條支路電壓總是可以由這n-1個結點電壓表示：支路電壓表示回路方程結點電壓、樹枝電壓表示支路電壓第34頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15-4回路電流方程的矩陣形式第35頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五推導思路:回路電流法：以回路電流作獨立變量，列寫b-n+1個KVL方程。已知：KCL--KVL—如能求出VCR--第36頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五一、復合支路模型電路圖中第k條支路有向圖中第k條支路k_++_1、Uk與Ik關聯；2、USk與Uk方向相反；3、ISk與Ik都流入同一個結點；4、Zk是單一阻抗；5、不允許存在理想ISk支路。第37頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五

復合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數及連接方法，但允許缺少某些元件。Zk（Yk）Zk（Yk）+-+-Zk（Yk）Zk（Yk）=0+-第38頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五V

C

R

方程推導+_+_第39頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五+_+_VCR:V

C

R

方程推導第40頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五bX1bXbbX1bX1bX1第41頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五其中:（各支路無耦合）第42頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五二、回路電流方程推導KCL方程：KVL方程：VCR方程：第43頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五回路阻抗矩陣bXb:支路阻抗矩陣bXb回路電壓源矩陣bX1第44頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五三、Z矩陣的列寫：(1)無耦合時：Z就是一個對角陣。第45頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五寫出圖示電路支路電壓、電流關系（VCR）矩陣：例+R1R51/jCjL2R6234-jL311①23456②③④解注意電流源的參考方向參考方向第46頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五(2)耦合情況一：含有互感線圈Mkj_++__++_Mkj第47頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五1、位置-----兩個互感電感所在的位置分別作雙下標，即Zkj和Zjk

同時成對出現在Z中；kZkjjkZjkj步驟一：先不考慮M寫出對角陣Z；步驟二：在對角陣Z的基礎上成對添加±jwM；2、大小-----Zkj=Zkj=±jωM。符號看支路方向和同名端相對位置是相同還是相反。（增強/削弱）第48頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五(2)耦合情況二：含有受控電壓源Udk_++__+記：受控電壓源方向與UK方向一致。第49頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五VCR:skIskUkΙ

–+kZ+–kU

–+dkU第50頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五根據Udk的控制量不同：1、Udk=μkjIej(CCVS)Zkj=-μkj第51頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五根據Udk的控制量不同：2、Udk=μkjUej(VCVS)Zkj=-μkjZj第52頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15-5結點電壓方程的矩陣形式第53頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五一、Y矩陣的列寫1、無受控源,無MＹ-----支路導納矩陣,且為一個對角陣!第54頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五2、有電感M支路導納矩陣Y不再是一個對角陣,其主對角線為各支路導納,而非對角線上有關于主對角線對稱的互感導納出現!位置-----如第i與j支路間有互感存在,則在Yij和Yij的位置上成對出現!大小-----±1/jωM,符號看同名端是增強還是削弱！第55頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五3、有受控源支路導納矩陣Y不再為一個對角陣；新導納位置----控制量所在支路j決定列號；受控源所在支路k決定行號；則其出現在Ykj位置上;新導納大小----如：Idk=gkjUej則Ykj=gkj，如：Idk=βgkjIej則Ykj=βkjYj第56頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五二、節點電壓法的矩陣形式的推導KCL方程：KVL方程：VCR方程：第57頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五------結點導納矩陣-----流入該結點的電流源值第58頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五結點分析法的一般步驟1①23456②③④第一步：抽象為有向圖5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第二步：形成[A]123A=123456支節1100010-1110000-101-1第59頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五第三步：形成[Y]1①23456②③④5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第四步：形成[US]、[IS]US=[-500000]T[IS]=[000-130]T第60頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五第五步：用矩陣乘法求得節點方程第61頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15-6割集電壓方程的矩陣形式第62頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五一、樹支電壓的概念:樹支電壓：指選定做樹支上的支路電壓。341562如圖，有三個樹支電壓：第63頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五341562二、Q與KCL的關系：1、Q與KCL的關系356124Q1Q2Q3流入割集的電流代數和為0第64頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五341562三、Q與KVL的關系：1、Q與KVL的關系選346做樹支，則可以將支路電壓用樹支電壓來表示：第65頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五四、復合支路------VCRVCR方程：第66頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五五、方法推導KCL方程：KVL方程：VCR方程：第67頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五------割集電導矩陣------割集電流源向量幾個概念：第68頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五六、例題例1：寫出割集電壓法的矩陣形式第69頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五14235678第70頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五15-11狀態方程第71頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五一、定義1、狀態變量：電路的一組獨立的動態變量，它們和輸入（us、is）一起確定電路任何時刻的狀態。第72頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五2、狀態方程：對狀態變量列出的一階微分方程。（KCL或KVL）輸入向量v狀態向量xAnXnBnXm第73頁，共82頁，2022年，5月20日，12點12分，星期五二、狀態方程

R++

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