1997年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一,填空題（本題共5分,每小題3分,滿分15分把答案在題中橫線上.）TOC\o"1-5"\h\z⑴設(shè)y=/（Inカノ⑺,其中/可微,則dy= .⑵若函數(shù)/（%）=+6-x?￡/（x）dr廁］ノ（カム= .（3）差分方程j,+1-y,=tl!的通解為 .（4）若二次型ア（%,占,馬）=2ガ+/+后+2$ち+%ん是正定的,則t的取值范圍是 .⑸設(shè)隨機(jī)變量x和y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N（0,32）,而X1,…,Xg和年,…,お分別是來(lái)自總體x和丫的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則統(tǒng)計(jì)量U=個(gè)+…+乂9服從 分布（2分）,參數(shù)為 .川+…+培二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）⑴設(shè)函數(shù)/（x）=j sin/ホ,g（x）=f+テ,則當(dāng)XT?。時(shí),/（x）是g（x）的 （）J。 5 6（A）低階無(wú)窮小 （B）高階無(wú)窮小（C）等價(jià)無(wú)窮小 （D）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小（2）若/（-x）=/（x）（^＜x＜4w）,在（reゆ內(nèi)/V）＞0,且r（x）＜0,則在（OHP內(nèi)有（a）r（x）＞o,r（x）＜o(jì)（a）r（x）＞o,r（x）＜o(jì)（B）r（x）＞o,r（x）＞o(C)r(x)<o,r(x)<o⑶設(shè)向量組へ,a2,a,線性無(wú)關(guān),則下列向量組中,線性無(wú)關(guān)的是 ()%+%,%+a3,a3—ax%+%,%+%%+2a、+cx3%+2%,2%+3%,3。3+?a]+a?+。3,24一3a2+22%,3%+5%-5a3⑷設(shè)A,8為同階可逆矩陣,貝リ ()(A)AB=BA (B)存在可逆矩陣P,使P'AP=B(C)存在可逆矩陣C，使CtAC=B (D)存在可逆矩陣尸和。,使PAQ=B(5)設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量x與ド相互獨(dú)立且同分布:p{x=-i}=p{y=-i}=l,P{X=1}=P{Y=1}=!，則下列各式中成立的是 ()(A)p{x=y}=； (B)p{x=y}=i(C)P{X+Y=O}=^ (D)p{xr=i}=l三、(本題滿分6分)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,稱函數(shù)Q（x）=4ざK-x+（1-ざ）む」?為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù),而稱函數(shù)0=M廿y為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)（簡(jiǎn)稱C—D生產(chǎn)函數(shù)）.試證明:但xf0時(shí),固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)镃—D生產(chǎn)函數(shù),即有l(wèi)imQ（x）=Q.四、（本題滿分5分）設(shè)〃=f（x,y,z）有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),y=y（x）和z=z（x）分別由方程*-y=0和ざ-応=0所確定,求學(xué).ax五、（本題滿分6分）ー商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系p=7-0.2x（萬(wàn)元/噸）,x為銷售量（單位:噸）,商品的成本函數(shù)C=3x+1（萬(wàn)元）.（1）若每銷售ー噸商品,政府要征稅"萬(wàn)元）,求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量;（2），為何值時(shí),政府稅收總額最大.六、（本題滿分6分）設(shè)函數(shù)ナ（X）在［0,+8）上連續(xù)、單調(diào)不減且.f（0）>〇,試證函數(shù)f!卄-f 右x>0,F(x)=x%Jo0,若x=0,在［0,+8）上連續(xù)且單調(diào)不減（其中〃>0）.七、（本題滿分6分）從點(diǎn)［（1,0）作x軸的垂線,交拋物線y=x2于點(diǎn)Q?,1）;再?gòu)逆鬟@條拋物線的切線與x軸交于P,,然后又從P2作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q2,依次重復(fù)上述過(guò)程得到ー系列的點(diǎn)［,Q選,〇ユ；…;ル2；…?（1）求函;（2）求級(jí)數(shù)。ク+&呂+…+Q￡+…的和.其中n（n21）為自然數(shù)而M^M2表示點(diǎn)M）與Mユ之間的距離.ハ、（本題滿分6分）設(shè)函數(shù)./'（り在［0,+8）上連續(xù),且滿足方程/?）=/+ /（J"2+ザ心の,求/（り.九、（本題滿分6分）設(shè)A為〃階非奇異矩陣,a為れ維列向量,/フ為常數(shù).記分塊矩陣E 0 1AaP=r4.14i'0=t,?—exAIA| a b其中A?是矩陣A的伴隨矩陣,E為〃階單位矩陣⑴計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；⑵證明:矩陣Q可逆的充分必要條件是a，/Tカナん十、(本題滿分10分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值是1,2,3;矩陣A的屬于特征值1,2的特征向量分別是a1=(-l,-l,l)r,a2=(l,-2-l)r.(1)求A的屬于特征值3的特征向量;(2)求矩陣A.十ー、(本題滿分7分)假設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1;P{x=-1}=丄,P{X=1}=丄;在事件{-1<X<1}出現(xiàn)的條件下,X在(-1,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比.試求X的分布函數(shù)ド(x)=P{XWx}.十二、(本題滿分6分)游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光;電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行.假設(shè)ー游客在早晨八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在［0,60］上均勻分布,求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

十三、（本題滿分6分）兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀,每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布;首先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái),當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開(kāi)動(dòng).試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度,/■（ル、數(shù)學(xué)期望和方差.1996年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題（本題共5小題,毎小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.）⑴設(shè)方程x=ザ確定y是x的函數(shù),則dy= ,⑵設(shè)厶=arcsinx4-C,5!!J⑵設(shè)厶=arcsinx4-C,5!!JJf(x)dx=⑶設(shè)（モ,%）是拋物線y=ax2+bx+。上的一點(diǎn),若在該點(diǎn)的切線過(guò)原點(diǎn),則系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是ー .⑷設(shè)111???1'fa\ a2 a3 anx21A=2 2 2 2qスク ,??。:,x=鼻,B=1一/i-i ノー1 ノー1 ノー1_°l a2 a3 an.A.1其中4ヰ= …,ri）.則線性方程組ArX=B的解是（5）設(shè)由來(lái)自正態(tài)總體X?N（",0.92）容量為9的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,得樣本均值ア=5,則未知參數(shù)〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)TOC\o"1-5"\h\z⑴累次積分［de］。,f(ヂcos。.sinの心可以寫成 ()(A)『カ『ー’/■(不)，粒 (B)fdyj：,,f(x,y岫(。エムい(ん加 ⑼エム『71f(^y)dy(2)下述各選項(xiàng)正確的是 ()(A)若ナ片和￡d都收斂,則￡仇+び收斂(B)收斂，則與Eイ都收斂n=l n=\ n=\(C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)X叫發(fā)散,則??>-M ?(D)若級(jí)數(shù)￡un收斂,且un之丹(〃=1,2,…),則級(jí)數(shù)￡匕也收斂⑶設(shè)”階矩陣A非奇異(〃と2),A?是矩陣A的伴隨矩陣,則 ()(A)(A*)*=|A『A (B)(パ)"=卜『ス(C)(A*)*=|A「2A (D)(A*)*=|A『2A(4)設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組イ,…,％,和必,…,用,若存在兩組不全為零的數(shù)ん…,え”,和配…人”,使(4+匕)％+…+(ん”+km)am+(4ー匕)笈+…+(ルー舟")凡=0,則（A）イ,…,a,"和ル,…,用都線性相關(guān)（B）イ,…,a,”和川,…,用都線性無(wú)關(guān)（。イ+片,…,イ”+篇イール,…,イ”一力”線性^關(guān)（D）イ+4,…,イ”+ス,イール,…,イ”ール線性相關(guān)⑸已知。＜P（B）＜1且ウ（4+ん2）同=スん忸）+24|8）,則下列選項(xiàng)成立的是（）P［（A+ん）忸］=P（A恆）+P（4恆）P（A3+43）=C）+P（&8）尸（A+4）=尸（A|B）+P（闋砌p（8）=p（a）p（b|a）+p（4）p（目4）三、（本題滿分6分）g—ニ用設(shè)ハめ=イス’ ’其中g(shù)（x）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且g（O）=l,g'（O）=-L0, x=0,⑴求廣（幻;（2）討論，’（幻在（＜〇,-k?）上的連續(xù)性.

四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)z=/(レ),方程必=例〃)+Jp⑺ル確定”是x,y的函數(shù),其中イ(〃),0(〃)可微;p(r)，e'(〃)連續(xù),且Sz dz。’(〃)ナ1.求p(y)k+p(x)丁?ox oy五、(本題滿分6分)計(jì)算IT(]+"]計(jì)算IT(]+"]—rdx.)2六、(本題滿分5分)設(shè)f(x)在區(qū)間［0,11上可微,且滿足條件/(1)= xf(x)dx.試證:存在とe(0,1)使/C)+"C)=o.七、(本題滿分6分)設(shè)某種商品的單價(jià)為P時(shí),售出的商品數(shù)量Q可以表示成Q=-^―-c,其中。、b、p+bc均為正數(shù),且。〉be.(1)求P在何范圍變化時(shí),使相應(yīng)銷售額增加或減少.(2)要使銷售額最大,商品單價(jià)p應(yīng)取何值?最大銷售額是多少?

ハ、（本題滿分6分）求微分方程半=7ゼ+）’的通解.九、（本題滿分8分）0101設(shè)矩陣ん=0000〇y1012(1)已知A的ー個(gè)特征值為3,試求y;⑵求矩陣P,使(AP)'(AP)為對(duì)角矩陣十、(本題滿分8分)設(shè)向量イ,a2，…，ル是齊次線性方程組AX=。的ー個(gè)基礎(chǔ)解系向量P不是方程組AX=0的解,即Aガナ〇.試證明:向量組ガ,ガ+?,尸+a2,…,ガ+?線性無(wú)關(guān).十ー、(本題滿分7分)假設(shè)一部機(jī)器在ー天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障,可獲利潤(rùn)!0萬(wàn)元;發(fā)生一次故障仍可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元;發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)〇元;發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元.求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少?十二、（本題滿分6分）考慮一元二次方程づ+&+C=0,其中B、C分別是將一枚色子（骰子）接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).求該方程有實(shí)根的概率P和有重根的概率。.十三、（本題滿分6分）假設(shè)X”X2,…,X”是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本;已知￡（X?）=%（た=122,4）..證明:當(dāng)〃充分大時(shí),隨機(jī)變量z?=-yX;近似服從正態(tài)分布,用旨出其分布參數(shù).n,=11995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.）⑴設(shè)イ（x）=；-,貝リf"＞（x）=.

v⑵設(shè)Z=xyf(~),f(u)可導(dǎo),則xz\+以=X⑶設(shè)，'(山ス)=1+ス,則y0)=⑷設(shè)A=220,A?是A的伴隨矩陣則(ん尸=レ45丿⑸設(shè)乂,*?,…,*”是來(lái)自正態(tài)總體N(〃,/)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,其中參數(shù)〃和ザ未知,記又=丄ナX,び=ナ(X,一天)2,則假設(shè)〃〇:〃=0的，檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量t=〃,=1/=1二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)⑴設(shè)y(x)為可導(dǎo)函數(shù)且滿足條件lim2x=一⑴設(shè)y(x)為可導(dǎo)函數(shù)且滿足條件lim2x=一1,則曲線ぎ=/(尤)在點(diǎn)(A)2(B)-1(D)-2(2)下列廣義積分發(fā)散的是(A)(C)Ce^dx⑶設(shè)矩陣ん、〃的秩為イA)=mく〃,就為6階單位矩陣,下述結(jié)論中正確的是()

A的任意，”個(gè)行向量必線性無(wú)關(guān)A的任意一個(gè)か階子式不等于零(C)若矩陣B滿足BA=〇,則8=0(D)A通過(guò)初等行變換,必可以化為(E?,,O)的形式(4)設(shè)隨機(jī)變量X和ド獨(dú)立同分布,記U=X-Y,V=X+Y,則隨機(jī)變量リ與V必然()(A)不獨(dú)立 (B)獨(dú)立(C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)相關(guān)系數(shù)為零⑸設(shè)隨即變量X服從正態(tài)分布N(〃,ザ),則隨び的增大,概率P{|X-”<b}()(A)單調(diào)增大(B)單調(diào)減少 (C)保持不變 (D)增減不定三、(本題滿分6分)設(shè)f(x)ユ4(l-cosx),x<01,1尸設(shè)f(x)ユ4(l-cosx),x<01,1尸X=0,試討論“外在X=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.cos0t2dt,x>0四、(本題滿分四、(本題滿分6分)已知連續(xù)函數(shù)./V)滿足條件/(%)=0/;卜+e2*,求/(x).五、(本題滿分6分)將函數(shù)y=ln(l-x-2ガ)展成x的鬲級(jí)數(shù),并指出其收斂區(qū)間.六、(本題滿分5分)計(jì)算二次積分/=[[min{x,y}e_|'+r,d?/y.J—00J—40七、(本題滿分6分)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=Q(p),收益函數(shù)為R= 其中P為產(chǎn)品價(jià)格,Q為需求量(產(chǎn)品的產(chǎn)量),Q(p)為單調(diào)減函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為P。,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為時(shí),邊際收益=。>0,收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)" =c<0,需求對(duì)價(jià)格的彈性紇=。>1.求益和。.幽°也 dPp5ハ、(本題滿分6分)設(shè)/(x)、g(尤)在區(qū)間[-a,a](a>0)上連續(xù),g(x)為偶函數(shù)且/(尤)滿足條件/(x)+/(-x)=A(ん為常數(shù)).(1)證明J"j(x)g(x)ム=Aj：g(x)ム;⑵利用Q)的結(jié)論計(jì)算定積分12K|sin耳arctane'dx.九、（本題滿分9分）已知向量組（1）%,%,。3；（ロ）4,。2。3，%；（叫6。2，。3，°；5加果各向量組的秩分別為r（I）=r（n）=3,r（HI）=4.證明:向量組ava2,a3,a5-a4的秩為4.十、（本題滿分10分）已知二次型/（%,毛，玉）=4ぶ-3只+4x,x2-4%七+8芻%.（1）寫出二次型/的矩陣表達(dá)式;（2）用正交變換把二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出相應(yīng)的正交矩陣.十ー、（本題滿分8分）假設(shè)ー廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器,以概率0.70可以直接出廠;以概率0.30需進(jìn)ー步調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠;以概率0.20定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了〃（〃>2）臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求:（1）全部能出廠的概率a；

(2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率ダ;(3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率。.十二、(本題滿分8分)已知隨機(jī)變量X和ド的聯(lián)合概率密度為,ヽ［4xy,0<x<l,0<y<l10, 其他求X和y聯(lián)合分布函數(shù)ド(x,y).1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)?2X4-|x|

~2(1)?2X4-|x|

~22+x2?dx=(2)已知ブ(り)=-1,則limX/(/ー2外一y(x0-x)⑶設(shè)方程ボ+ザ=cosX確定V為X的函數(shù),則?=.

ax00L000a2L0（4）設(shè)ん=MMMM,其中り#0,j=l,2,L,ル貝リん一|=000Lan-\a?00L0（5）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為°f2x,0<x<l,ハ幻=［。,其他,以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件［X<技出現(xiàn)的次數(shù)則P{y=2}=二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).）⑴曲線y=arctanヽ的漸近線有 （）（x+l）（x—2）（A）l條 （B）2條 （C）3條（D）4條⑵設(shè)常數(shù)ス>o,而級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)Z（一而/卜 （）（A）發(fā)散 （B）條件收斂 （。絕對(duì)收斂（D）收斂性與ス有關(guān)⑶設(shè)A是mx"矩陣C是"階可逆矩陣,矩陣A的秩為匕矩陣B=AC的秩為厶,則(A)r>rx(B)r<rx(C)r=Aj(D)ア與厶的關(guān)系由(C)r=Aj⑷設(shè)〇<P(A)<1,O<P(B)<1,P(A|B)+P(ス忸)=1厠(A)事件(A)事件A和8互不相容(B)事件A和B相互對(duì)立(C)事件(C)事件A和B互不獨(dú)立(D)事件A和B相互獨(dú)立⑸設(shè)乂,X2,…,X”是來(lái)自正態(tài)總體NR,6)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X是樣本均值,記s；=」7f(Xj一天)2,s”丄ナ(Xj-滅)2,〃ー1i=i ni=iSヒU^X,ソ)2，s：=丄Z(X,ー")2,n-\,=1 n,=I則服從自由度為〃ー1的，分布的隨機(jī)變量是y/n-l(D)t=4n三、(本題滿分6分)計(jì)算二重積分JJ(x+y)山か,其中。={は,訓(xùn)X:+ブ4x+y+1}D四、(本題滿分5分)設(shè)函數(shù)y=川）滿足條件］（。）=2,ブ（〇;=Y求廣義積分廣パ"五、（本題滿分5分）クy7xd2f已知/（x,y）=xarctanニー?arctan—,求——.x ydxdy六、（本題滿分5分）設(shè)函數(shù)”x）可導(dǎo),且/（〇）=0,F（X）=［アサ（バT"）ヵ,求lim華七、（本題滿分8分）已知曲線y=a&a>0）與曲線y=In厶在點(diǎn)（如為）處有公共切線,求:（1）常數(shù)。及切點(diǎn)（毛,％）；（2）兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞イ軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積匕.ハ、（本題滿分6分）假設(shè)/（x）在［a,+00）上連續(xù),/"（x）在（スー8）內(nèi)存在且大于零,記ドは）="尤）一""）（x>a）,

x-a證明ド（無(wú)）在（a,一）內(nèi)單調(diào)增加.九、（本題滿分11分）設(shè)線性方程組

2 3Xj+axx2+43=q,2 3Xj+。ラX2+々モ5=ス,2■;Xi+aix2+aixi=a3,

丹+aAx2+。:七=a：.（1）證明:若q,生,生,。4兩兩不相等,則此線性方程組無(wú)解;⑵設(shè)0,=生=にム=ム=ーた（んキ〇）,且已知片,A是該方程組的兩個(gè)解,其中[1P\—1,夕2=1

1-1寫出此方程組的通解.十、（本題滿分8分）設(shè)ん=有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,求x和y應(yīng)滿足的條件.十ー.（本題滿分8分）假設(shè)隨機(jī)變量x?x2,x3,Xユ相互獨(dú)立,且同分布p{x.=0}=0.6,P[Xi=1}=o.4（z=1,2,3,4）,求行列式X=ソ:的概率分布XネXA十二、（本題滿分8分）假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（〃,l）,內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品,其余為合格品,銷售每件合格品獲利,銷售每件不合格品虧損.已知銷售利潤(rùn)ア（單位:元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系:[-1,X<10,

r=J20,10<X<12,[-5,X>12.問(wèn)平均內(nèi)徑〃取何值時(shí),銷售ー個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大?1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題（本題共5小題，每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.）「3x2+5.2（1）lim sin—= .スパ5x4-3x-⑵已知y=/(主ニレ⑺;亞麗ズ,則半 = .\3x+2丿 dxv=0(3)級(jí)數(shù)￡讐弦的和為.(4)設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A*的秩為.(5)設(shè)總體X的方差為1,根據(jù)來(lái)自X的容量為!00的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,測(cè)得樣本均值為5,則X的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等于0.95的置信區(qū)間為二、選擇題(本題共5小題,毎小題3分,滿分15分.在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)⑴設(shè)，(x)=1洞‘工。0,則/(ラ在點(diǎn)ズ=〇處Io,x=0,(A)極限不存在(B)(A)極限不存在(C)連續(xù)但不可導(dǎo) (D)可導(dǎo)TOC\o"1-5"\h\z⑵設(shè)，(x)為連續(xù)函數(shù)且ド(力=卜アセ團(tuán)則ド⑺等于 ()X(A)—/(lnx)+^-/f-l (B)—+X XyXJ X \XJ(C)-/(inx)--y/f->l (D)/(lnx)-/f-^X X\Xj VXJ(3)〃階方陣4具有〃個(gè)不同的特征值是ん與對(duì)角陣相似的 ()(A)充分必要條件(B)充分而非必要條件(A)充分必要條件(C)必要而非充分條件(C)必要而非充分條件(D)既非充分也非必要條件⑷假設(shè)事件4和B滿足P(網(wǎng)A)=1廁 ()(A)A是必然事件 (B)P(卻ス)=0.(〇 (D)AuB⑸設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例x),且(p(-x)=(p(x).F(x)是X的分布函數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,有()(A)ド(-a)=1-]:以幻厶. (B)ド(一= 例x)厶(C)ド(一a)=ド(a) (D)ド(一a)=2尸(a)-1三、(本題滿分5分)設(shè)z=/(x,y)是由方程z-y-x+ =〇所確定的二元函數(shù),求dz.四、(本題滿分7分)已知limx—a已知limx—a“’4ゼ6-2セ匕求常數(shù)。的值五、(本題滿分9分)設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C=。歩+%+c,需求函數(shù)為q=丄(d- 其中C為成本,q為需求量(即產(chǎn)量),p為單e價(jià),a,b,c,d,e都是正的常數(shù),且d>わ,求:(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn);(2)需求對(duì)價(jià)格的彈性;(3)需求對(duì)價(jià)格彈性的絕對(duì)值為1時(shí)的產(chǎn)量.六、(本題滿分8分)假設(shè):(1)函數(shù)y=/(x)(0<x<+oo)滿足條件，(0)=0和0W/(x)<ex-\:(2)平行于ド軸的動(dòng)直線MN與曲線y=/(x)和y="ー1分別相交于點(diǎn)り和鳥(niǎo);(3)曲線y=f(x)直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積5恒等于線段他的長(zhǎng)度求函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式.七、(本題滿分6分)假設(shè)函數(shù)，(X)在［0,1］上連續(xù),在(〇』)內(nèi)二階可導(dǎo),過(guò)點(diǎn)40J(0))與8(1ノ⑴)的直線與曲線ぎ=f(x)相交于點(diǎn)C(c,/(c)),其中0<c<1.證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ぐ,使/"4)=0.ハ、(本題滿分10分)k為何值時(shí),線防程組有惟一解,無(wú)解,有無(wú)窮多組解?在有解情況下,求出其全部解.九、(本題滿分9分)設(shè)二次型/=ガ+%;+ス:+2a玉あ+2かり毛+2あ毛經(jīng)正交變換X=PY化成f=￡+2yl,其中X=(モ,ち,玉j,和y=(如お,%尸是三維列向量,P是3階正交矩陣.試求常數(shù)%月.十、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量X和ド同分布,X的概率密度為“ゝ-X2,0cx<2,/(x)=《8.0, 其他(1)已知事件A=｛X>a｝和6=｛丫>叫獨(dú)立,且P(AUB)=±求常數(shù)a.(2)求ン的數(shù)學(xué)期望.X-十ー、（本題滿分8分）假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（り服從參數(shù)為ル的泊松分布.（1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔ア的概率分布;（2）求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下,再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.1992年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題（本題共5小題,毎小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.）TOC\o"1-5"\h\z⑴設(shè)商品的需求函數(shù)為Q=100-5尸,其中。,P分別表示為需求量和價(jià)格,如果商品需求彈性的絕對(duì)值大于1,則商品價(jià)格的取值范圍是 .⑵級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.n=\ 〃4⑶交換積分次序J:力，「，（乂ド）厶=?（〇4、（4）設(shè)A為機(jī)階方陣,8為〃階方陣且同=ス忸トんC= ハ廁網(wǎng)=.。丿⑸將C,C,E,E,I,N,S等七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行,那么，恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)⑴設(shè)ド(X)=——「ハ加し其中Z(X)為連續(xù)函數(shù),則!imF(x)等于 ()x-aJa バ0(A)a2 (B) a2/(a)(C)0 (D)不存在(2)當(dāng)x->()時(shí),下面四個(gè)無(wú)窮小量中,哪ー個(gè)是比其他三個(gè)更高階的無(wú)窮小量?()(A)X2 (B) 1-cosx(C)>]\-x2-1 (D)x-tanx(3)設(shè)ん為川x〃矩陣，齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充分條件是 ()(A)A的列向量線性無(wú)關(guān) (B)4的列向量線性相關(guān)(C)A的行向量線性無(wú)關(guān) (D)A的行向量線性相關(guān)(4)設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),事件C必發(fā)生,貝リ ()(A)P(O<P(A)+P(B)-1 (B)P(C)>P(A)+P(B)-1(C)P(O=P(A3) (D)P(C)=P(AU8)(5)設(shè)〃個(gè)隨機(jī)變量乂,X2,X,,獨(dú)立同分布,。()=ひユ,5=丄エX,,n,,i52=ーエ之(*,.-對(duì),則 ()（C）S是b的相合估計(jì)量（即一致估計(jì)量）（D）S與ア相互獨(dú)立三、（本題滿分5分）Incos（x-1） .設(shè)函數(shù)/（x）=J1-sin-x 問(wèn)函數(shù)y\x）在X=1處是否連續(xù)?若不連續(xù),修改函數(shù)在X=1處的定義使1, X=1.之連續(xù).四、（本題滿分5分）計(jì)算/イザヘ.五、（本題滿分5分）X 0ユZ設(shè)z=sin（り）+ ,求——,其中ジ（〃,レ）有二階偏導(dǎo)數(shù).ydxoy六、（本題滿分5分）求連續(xù)函數(shù)/（X）,使它滿足/（x）+2￡' =x2.七、（本題滿分6分）求證:=x>10j,arctanx—arccos =一2 1+x*4ハ、（本題滿分9分）設(shè)曲線方程y=er（xNO）.（1）把曲線y= ,x軸,y軸和直線x=式ぐ＞0）所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,得一旋轉(zhuǎn)體,求此旋轉(zhuǎn)體體積%）;求滿足%）な畑%）的。.（2）在此曲線上找一點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大,并求出該面積.九、（本題滿分7分）設(shè)矩陣A與8相似,其中-200-100A=2x2,B=02031100y⑴求x和1,的值（2）求可逆矩陣P,使得尸Y2=8.十.（本題滿分6分）已知三階矩陣8工0,且B的每ー個(gè)列向量都是以下方程組的解:王4-2x2-2x3=0,

2x,-x2+2x3=0,

3X|+x2-x3=0.⑴求ス的直 （2）證明冏=0.十ー、（本題滿分6分）（A°、設(shè)48分別為加、〃階正定矩陣,試判定分塊矩陣C= 是否是正定矩陣.、〇B）十二、（本題滿分7分）假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差XロN（0,102）,試求!oo次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中,至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字）.［附表］

21 2 3 4 5 6 7 ...0.3680.1350.050 0.0180.0070.0020.001...十三、(本題滿分5分)一臺(tái)設(shè)備由三大部分構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差。X.十四、(本題滿分4分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)f(x,y)=<e~y,0<x<y,0, 其他,(I)求隨機(jī)變量X的密度厶(x)；(2)求概率P{X+YW1}.1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)2=6細(xì)ヤ則dz=一.⑵設(shè)曲線“X)=ピ+依與g(x)=陵2+C都通過(guò)點(diǎn)(TO),且在點(diǎn)(-1,0)有公共切線廁a= ，h=,c=.⑶設(shè)y(%)=Xど,則/⑻(x)在點(diǎn)X= 處取極小值 ー.(5)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為ド(x)=尸{XWx}=?ド(x)=尸{XWx}=?0,

0.4,

0.8,—1<x<1,

1<x<3,

x>3.則X的概率分布為.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)下列各式中正確的是

(B)lim(B)lim(C)limf1--j=-e (D)lim|l+-|=eTOC\o"1-5"\h\z(2)設(shè)04%W丄(〃=1,2,…)則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 ()(A)tan(B)￡(-1)"ム(C)え場(chǎng)(D)之(-1)"イ(3)設(shè)A為〃階可逆矩陣え是A的ー個(gè)特征根則4的伴隨矩陣パ的特征根之一是()(A)A-'\A\n (B)r'|A| (C)川川 (D)A\A[(4)設(shè)A和8是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是 ()(A)ス與否不相容 (B)ス與否相容(〇P(AB)=P(A)P(3) (D)P(A-3)=P(A)(5)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量x和ド,若旦?丫)=￡3>￡(丫),則 ()(A)o(xr)=D(x)o(y) (B)D(X+y)=D(X)+D(y)(C)X和y(C)X和y獨(dú)立三、(本題滿分5分)イr_i_Jx.丄jnxヽx求極限lime十e十…十e ,其中〃是給定的自然數(shù).四、（本題滿分5分）五、（本題滿分5分）求微分方程盯年=f+ザ滿足條件yし=2e的特解.六、（本題滿分6分）假設(shè)曲線ム:ギ=1ーピ（0Wスく1）、x軸和.、、軸所圍區(qū)域被曲線ム:y=o?分為面積相等的兩部分,其中“是大于零的常數(shù),試確定。的值.七、（本題滿分8分）某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售,售價(jià)分別為月和P2;銷售量分別為/和%;需求函數(shù)分別為功=24—0.2p］和％=1。一〇。5P2,總成本函數(shù)為C=35+40（1+%）.試問(wèn):廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià),能使其獲得的總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?ハ、（本題滿分6分）試證明函數(shù)/（幻=a+-y在區(qū)間（〇,+8）內(nèi)單調(diào)增加.X九、（本題滿分7分）設(shè)有三維列向量問(wèn)ス取何值時(shí),（1）タ可由4,a2,%線性表示,且表達(dá)式唯一？（2）タ可由イ,巴,線性表示,且表達(dá)式不唯一?（3）タ不能由4,%,線性表示?十、（本題滿分6分）考慮二次型y=ど+4*+4考+2な毛ー2k七+4セ毛.問(wèn)2取何值時(shí),/為正定二次型.十ー.（本題滿分6分）試證明〃維列向量組q,a2，,線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是a[ax"a：%a、a；a、,??a[*HO,a：%?見(jiàn)?"%：%其中a:表示列向量6的轉(zhuǎn)置i=1,2,.十二、（本題滿分5分）一汽車沿ー街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等,以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù).求X的概率分布.十三、（本題滿分6分）

假設(shè)隨機(jī)變量x和ド在圓域x2+y2<r2上服從聯(lián)合均勻分布.⑴求X和ド的相關(guān)系數(shù)p；（2）問(wèn)X和ド是否獨(dú)立?十四、（本題滿分5分）設(shè)總體X的概率密度為p（x；a）=，んボル*0,p（x；a）=，んボル*0,,x>0,x<0,其中丸>0是未知參數(shù),。〉0是已知常數(shù).試根據(jù)來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本XPX2,--Sx〃,求ス的最大似然估計(jì)量A.1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題ー、填空題（本題滿分15分,毎小題3分.把答案填在題中橫線上.）

(1)極限lim(厶+3ノ!一イ〃ーノ2)=⑵設(shè)函數(shù)/(X)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),7(0)=0，r(0)=b,若函數(shù)ド(x)ド(x)=</(x)+asinx)在x=0處連續(xù),則常數(shù)A=(3)曲線y=ズ與直線y=x+2所圍成的平面圖形的面