習題一1設總體的樣本容量，寫出在下列4種情況下樣本的聯合概率分布.1）3）；2）；4）；.解設總體的樣本為1）對總體，，其中：2）對總體其中：3）對總體4）對總體2為了研究玻璃產品在集裝箱托運過程中的損壞情況，現隨機抽取20個集裝箱檢查其產品損壞的件數，記錄結果為：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，寫出樣本頻率分布、經驗分布函數并畫出圖形.解設1.1：代表各箱檢查中抽到的產品損壞件數，由題意可統計出如下的樣本頻率分布表表1.1頻率分布表i01234個數673220.30.350.150.10.1經驗分布函數的定義式為：，據此得出樣本分布函數：圖1.1經驗分布函數3某地區測量了95位男性成年人身高，得數據(單位：cm)如下：組下限組上限人數165167169171173175177167169171173175177179102123221153試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個正態分布密度函數的圖形.解圖1.2數據直方圖它近似服從均值為172，方差為5.64的正態分布，即.4設總體X的方差為4，均值為，現抽取容量為100的樣本，試確定常數k，使得滿足.解因k較大，由中心極限定理,：所以：查表得：，.5從總體中抽取容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解6從總體中分別抽取容量為10與15的兩個獨立的樣本，求它們的均值之差的絕對值大于0.3的概率.解設兩個獨立的樣本分別為：與，其對應的樣本均值為：和.由題意知：和相互獨立，且：，7設是總體的樣本，試確定C，使得.解因，則，且各樣本相互獨立，則有：所以：查卡方分位數表：c/4=18.31，則c=73.24.8設總體X具有連續的分布函數，是來自總體X的樣本，且，定義隨機變量：試確定統計量的分布.解由已知條件得：，其中.因為互相獨立，所以也互相獨立，再根據二項分布的可加性，有，.9設1）是來自總體X的樣本，試求。假設總體的分布為：2)3)4)解1)2)3)4)10設為總體的樣本，求與。解又因為,所以：11設來自正態總體，定義：，計算.解由題意知，令：，則12設是總體的樣本，為樣本均值，試問樣本容量應分別取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解1)，所以：2)令：所以：計算可得：3)查表可得：，而取整數，.13設和是兩個樣本，且有關系式：（均為常數，），試求兩樣本均值和之間的關系，兩樣本方差和之間的關系.解因：所以：即：14設是總體的樣本.1)試確定常數，使得，并求出；2)試確定常數解1）因：，使得，并求出和.，標準化得：，且兩式相互獨立故：可得：，，.2）因：，，所以：，可得：.15設分別是分布和分布的分位數，求證.證明設，則：所以：故：.16設是來自總體的一個樣本，求常數，使：.解易知，則；同理，則又因：，所以與相互獨立.所以：計算得：c=0.976.17設為總體的容量的樣本，為樣本的樣本均值和樣本方差，求證：1）；2）；3）.解1）因：，所以：，又：且：與相互獨立所以：~2）由1）可得：3）因：，所以：18設為總體的樣本，為樣本均值，求，使得.解所以：查表可得：，即.19設為總體的樣本，試求：的密度函數；1）的密度函數；2）解因：，所以的密度函數為：，由定理：20設為總體；的樣本，試求：1）2）解21設為總體的一個樣本，試確定下列統計量的分布：1）；2）；3）解1）因為：所以：，且與相互獨立，由抽樣定理可得：2）因為：，且與相互獨立，所以：3）因為：，所以：且，與相互獨立，由卡方分布可加性得：.22設總體服從正態分布，樣本來自總體，是樣本方差，問樣本容量取多大能滿足？解由抽樣分布定理：,,查表可得：，.23從兩個正態總體中分別抽取容量為20和15的兩獨立的樣本，設總體方差相等，分別為兩樣本方差，求.解設分別為兩樣本的容量，為總體方差，由題意，又因分別為兩獨立的樣本方差：所以：.24設總體，抽取容量為20的樣本，求概率1）；2）.解1）因，且各樣本間相互獨立，所以：故：2）因：,所以：25設總體，從中抽取一容量為25的樣本，試在下列兩種情況下的值：1）已知；2）未知，但已知樣本標準差解1）.2）26設為總體的樣本，為樣本均值和樣本方差，當時，求：1）2）3）確定C，使解1）.2）其中,則3）其中，所以：，則,計算得：.27設總體的均值與方差存在，若為它的一個樣本，是樣本均值，試證明對，相關系數.證明所以：.28.設總體，從該總體中抽取簡單隨機樣本，是它的樣本均值，求統計量的數學期望.解因，為該總體的簡單隨機樣本，令，則有可得：習題二1設總體的分布密度為：為其樣本，求參數的矩估計量和極大似然估計量.現測得樣本觀測值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數的估計值.解計算其最大似然估計：其矩估計為：所以：，；.2設總體X服從區間[0,]上的均勻分布，即1)求參數的矩估計量，為其樣本，和極大似然估計量2)現測得一組樣本觀測值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總體方差的估計值.解1）矩估計量：最大似然估計量：無解.此時，依定義可得：2）矩法：極大似然估計：.3設是來自總體X的樣本，試分別求總體未知參數的矩估計量與極大似然估計量.已知總體X的分布密度為：1）未知未知2）3）未知4)未知5），其中參數未知6），其中參數未知7）未知8）解1）矩法估計：最大似然估計：.2)矩估計：最大似然估計：.3）矩估計：聯立方程：最大似然估計：,,無解，當時，使得似然函數最大，依照定義，4)，同理可得.矩估計：，不存在最大似然估計：，無解；依照定義，.5)矩估計：即最大似然估計：，無解依定義有：.6)矩估計：解方程組可得：最大似然估計：無解，依定義得，解得.7)矩估計：最大似然估計：.8)矩估計：最大似然估計：.4.設總體的概率分布或密度函數為，其中參數已知，記，樣本來自于總體X，則求參數的最大似然估計量.解記則；.5設元件無故障工作時間X具有指數分布，取1000個元件工作時間的記錄數據，經分組后得到它的頻數分布為：5152535455565組中值365245150100704525頻數如果各組中數據都取為組中值，試用最大似然法求參數的點估計..解最大似然估計：.6已知某種燈泡壽命服從正態分布，在某星期所生產的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設總體參數都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產的燈泡能使用1300小時以上的概率.解設燈泡的壽命為,,極大似然估計為：根據樣本數據得到：.經計算得，這個星期生產的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.7.為檢驗某種自來水消毒設備的效果，現從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大腸桿菌的個數(假定一升水中大腸桿菌個數服從Poisson分布)，其化驗結果如下：大腸桿菌數/升01234561720102100升數試問平均每升水中大腸桿菌個數為多少時，才能使上述情況的概率為最大？解設為每升水中大腸桿菌個數，，，由3題（2）問知，的最大似然估計為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個數為1時，出現上述情況的概率最大.8設總體，試利用容量為n的樣本的點A的最大似然估計量.，分別就以下兩種情況，求出使1）若時；2）若均未知時.解1），的最大似然估計量為，所以.2）的最大似然估計量為，最大似然估計為，由極大似然估計的不變性，直接推出.9設總體X具有以下概率分布：x012341/31/301/61/61/41/41/41/40001/41/21/4求參數的極大似然估計量.若給定樣本觀測值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估計值.解分別計算，時樣本觀測值出現的概率：由最大似然估計可得：.10設總體X具有以下概率分布：，求參數的最大似然估計量.解最大似然估計應該滿足：結果取決于樣本觀測值.11設是總體X的樣本，設有下述三個統計量：指出中哪幾個是總體均值a=EX的無偏估計量，并指出哪一個方差最小？解，所以無偏，方差最小.12設總體，為其樣本，1）求常數，使為的無偏估計量；2）求常數，使解1）為的無偏估計量.令得.2）令.13設是來自總體X的樣本，并且EX=，DX=，是樣本均值和樣本方差，試確定常數，使是的無偏估計量.解所以.14設有二元總體，為其樣本，證明：是協方差證明的無偏估計量.由于所以：，證畢.15設總體，樣本為，是樣本方差，定義，，試比較估計量,,哪一個是參數的無偏估計量？哪一個對的均方誤差最小？解1）所以是的無偏估計2）所以，可以看出最小.16設總體，為樣本，試證：與都是參數的無偏估計量，問哪一個較有效？解所以比較有效.是的兩個獨立的無偏估計量，并且17設，的方差是的方差的兩倍.試確定常數c1,c2，使得為的線性最小方差無偏估計量.解：設當，上式達到最小，此時.18.設樣本來自于總體X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，證明估計量是參數的有效估計量.解所以其C-R方差下界為所以是參數有效估計量.19設總體X具有如下密度函數，是來自于總體X的樣本，對可估計函數，求的有效估計量，并確定R-C下界.解因為似然函數所以取統計量得令=，所以是無偏估計量由定理2.3.2知T是有效估計量，由所以C-R方差下界為.20設總體X服從幾何分布：，對可估計函數，則1）求2）求的有效估計量；；3）驗證的相合性.解1）因為似然函數所以取統計量又因為.所以是的無偏估計量，取，由定理2.3.2得到，是有效估計量2）所以是相合估計量.21設總體X具有如下密度函數，是來自于總體X的樣本，是否存在可估計函數，請具體找出，若不存在，請說明為什么.以及與之對應的有效估計量？如果存在和解因為似然函數所以令所以計量是的無偏估計量，取，由定理2.3.2得到，是有效估所以：是有效估計量.22設是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：1）求參數的極大似然估計量；2）試問極大似然估計是否是有效估計量？如果是，請求它的方差3）試問是否是相合估計量？和信息量；解1）得到最大似然估計量2）所以所以是無偏估計量，，由定理2.3.2得到是有效估計量信息量3）所以，T也是相合估計量.23設樣本來自總體，并且的區間估計為，問以多大的概率推斷參數取值于此區間.解設以概率的置信度為所以推斷參數取值于的置信區間為，在已知方差為1條件下，推斷參數，，得到即以概率推斷參數取值于.24從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度(單位：cm)為：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設釘長分布為正態，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區間，1）若已知=0.01cm；解因為2）若未知；1）計算所以置信區間為2）計算所以置信區間為.25測量鋁的密度16次，測得試求鋁的比重的0.95的置信區間(假設鋁的比重服從正態分布).解這是正態分布下，方差未知，對于均值的區間估計：因為計算所以置信區間為.26在方差已知的正態總體下，問抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值的置信度為信區間長度不大于l？的置解均值的置信度為的置信區間為要使即.27從正態總體中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應取多大？解，所以.28假設0.5,1.25,0.8,2.0是總體X的簡單隨機樣本值.已知1）求參數a的置信度為0.95的置信區間；2）求EX的置信度為0.95的置信區間..解1）服從正態分布，按照正態分布均值的區間估計，其置信區間為，由題意，從總體X中抽取的四個樣本為：其中，，代入公式，得到置信區間為2），由1）知道的置信區間為，所以置信區間為.29隨機地從A批導線中抽取4根，并從B批導線中抽取5根，測得其電阻()為：A批導線：0.143，0.142，0.143，0.137B批導線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設測試數據分別服從和，并且它們相互獨立，又均未知，求參數的置信度為95%的置信區間.解由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計：置信區間為計算得所以.30有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差依次為0.5419和0.6065，設的置信度為95%的置信區間.與分別為A、B所測量數據的總體的方差(正態總體)，求方差比/解由題意，這是兩正太總體方差比的區間估計：置信區間為計算得所以置信為.31隨機地取某種炮彈9發做試驗，測得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s)，設炮口速度服從