本章總結提升第四章內容索引0102網絡構建歸納整合專題突破素養提升網絡構建歸納整合專題突破素養提升專題一條件概率【例1】

將一枚骰子連續投擲兩次,事件A=“得到的兩次點數之和為偶數”,B=“得到的兩次點數均為偶數”,則P(B|A)=(

)答案

D

解析

將一枚骰子連續投擲兩次,則事件A包含的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個,其中滿足得到的兩次點數均為偶數的有9個,所以規律方法

條件概率的兩個求解策略變式訓練1(2021全國高二課時練習)每年的農歷五月初五是中國的傳統節日“端午節”,這天人們會吃粽子、賽龍舟.現有七個粽子,其中三個是臘肉餡,四個是豆沙餡,小明隨機取兩個,記事件A為“取到的兩個為同一種餡”,事件B為“取到的兩個都是豆沙餡”,則P(B|A)=

.

專題二相互獨立事件的概率與二項分布【例2】一個暗箱里放著6個黑球和4個白球.(1)依次取出3個球,不放回,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率;(2)有放回地依次取出3個球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率;(3)有放回地依次取出3個球,求取到白球個數ξ的分布列和期望.規律方法

求相互獨立事件同時發生的概率需注意的三個問題(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨立的充要條件,也是解答相互獨立事件概率問題的重要工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題,務必分清事件間的相互關系.(3)公式“P(A+B)=1-”常應用于求相互獨立事件至少有一個發生的概率.變式訓練2(2021天津西青高三模擬)某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5,并且答每道題之間相互獨立,則他能合格的概率為

.

專題三離散型隨機變量的分布列、均值和方差【例3】一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質地均勻,且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個數字),(1)設隨機變量η表示一次擲得的點數和,求η的分布列;(2)若連續投擲10次,設隨機變量ξ表示一次擲得的點數和大于5的次數,求E(ξ),D(ξ).所以η的分布列為

規律方法

求離散型隨機變量ξ的期望與方差的步驟

變式訓練3(2017全國Ⅱ卷)一批產品的二等品率為0.02,從這批產品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數,則D(X)=

.答案

1.96

解析

由題意可知,隨機變量X服從二項分布,X~B(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×(1-0.02)=1.96.專題四正態分布的概率【例4】為加強對企業產品質量的管理,市監局到區機械廠抽查機器零件的質量,共抽取了600件螺帽,將它們的直徑和螺紋距之比Z作為一項質量指標,由測量結果得如下頻率分布直方圖:(1)求這600件螺帽質量指標值的樣本平均數,樣本方差s2(在同一組數據中,用該組區間的中點值作代表).(2)由頻率分布直方圖可以近似地認為,這種螺帽的質量指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數,σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態分布,求P(185.03≤Z≤229.94);②現從該企業購買了100件這種螺帽,記X表示這100件螺帽中質量指標值位于區間[185.03,229.94]的件數,利用①的結果,求E(X).解

(1)抽取的螺帽質量指標值的樣本平均數

和樣本方差s2分別為=170×0.05+180×0.12+190×0.18+200×0.30+210×0.19+220×0.10+230×0.06=200,s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.12+(-10)2×0.18+0×0.30+102×0.19+202×0.10+302×0.06=224.(2)①由(1)知,Z~N(200,224),從而P(200-14.97≤Z≤200+14.97)=2P(185.03≤Z≤200)≈0.683,P(185.03≤Z≤200)≈0.341

5,P(200-29.94≤Z≤200+29.94)=2P(200≤Z≤229.94)≈0.954,P(200≤Z≤229.94)≈0.477,P(185.03≤Z≤229.94)=P(185.03≤Z≤200)+P(200≤Z≤229.94)≈0.818

5.②由①知,一件螺帽的質量指標值位于區間[185.03,229.94]的概率為0.818

5,依題意知X~B(100,0.818

5),所以E(X)=100×0.818

5=81.85.規律方法

正態分布的概率求法(1)注意“3σ”原則,記住隨機變量在三個區間內取值的概率.(2)注意數形結合.由于正態分布密度曲線具有完美的對稱性,可充分體現數形結合的思想,因此運用對稱性結合圖象解決某一區間內的概率問題成為熱點問題.變式訓練

4為了了解某地區高三男生的身體發育狀況,抽查了該地區1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結果表明他們的體重X(單位:kg)服從正態分布N(μ,22),且正態分布密度曲線如圖所示.若體重大于等于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數是(

)A.997 B.954

C.819 D.683答案

D解析

由題可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,從而屬于正常情況的人數是1

000×68.3%=683.專題五線性回歸分析【例5】以下是某地收集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數據:房屋面積x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數據對應的散點圖;(2)若x與y線性相關,求回歸直線方程;(3)根據(2)的結果估計當房屋面積為150m2時的銷售價格.解

(1)數據對應的散點圖如圖所示.(3)根據(2),當x=150時,銷售價格的估計值為

=0.1962×150+1.8142=31.2442(萬元).變式訓練5(2017山東卷)為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系.設其回歸直線方程為

.A.160

B.163

C.166

D.170答案

C

專題六獨立性檢驗【例6】某公司為了解服務質量,隨機調查了100位男性顧客和100位女性顧客,每位顧客對該公司的服務質量進行打分.已知這200位顧客所打分數均在[25,100]之間,根據這些數據得到如下的頻數分布表:顧客所打分數[25,40)[40,55)[55,70)[70,85)[85,100]男性顧客人數46103050女性顧客人數610244020(1)求這200位顧客所打分數的平均值(同一組數據用該組區間的中點值為代表);(2)若顧客所打分數不低于70分,則該顧客對公司服務質量的態度為滿意;若顧客所打分數低于70分,則該顧客對公司服務質量的態度為不滿意,根據所給數據,完成下列2×2列聯表,并根據列聯表,判斷是否有99%的把握認為顧客對該公司服務質量的態度與性別有關?顧客性別滿意情況總計滿意不滿意男

女

總計

P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2)根據所給數據,可得如下2×2列聯表:因為9.524>6.635,所以有99%的把握認為顧客對該公司服務質量的態度與性別有關.顧客性別滿意情況總計滿意不滿意男8020100女6040100總計14060200規律方法

獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成2×