角平分線專題【類型一】角平分線倒角模型例1、把一副學生用三角板（30。、60。、90。）和（45。、45。、90。）如圖（1）放置在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，直角邊AC與y軸重合，斜邊AD與y軸重合，直角邊AE交x軸于F,斜邊AB交x軸于G,0是AC中點，AC=8.⑴把圖1中的RtAAED繞A點順時針旋轉a度（0<a<90。）得圖2,此時AAGH的面積是10,AAHF的面積是8,分別求F、H、B三點的坐標；⑵如圖3,設ZAHF的平分線和ZAGH的平分線交于點M,ZEFH的平分線和ZFOC的平分線交于點N,當改變a的大小時，ZN+ZM的值是否會改變？若改變，請說明理由；若不改變，請求出其值.檢測1、如圖，已知點A是y軸上一動點，B是x軸上一動點，點C在線段OB上，連接AC，AC正好是ZOAB的角平分線，ZABD=ZDBx，問動點A,B在運動的過程中，AC與BD所在直線的檢測2、如圖探究與發現：探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數量關系呢？已知：如圖1,ZFDC與ZECD分別為△ADC的兩個外角，試探究ZA與ZFDC+ZECD的數量關系.探究二：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？已知：如圖2,在厶ADC中，DP、CP分別平分ZADC和ZACD，試探究ZP與ZA的數量關系.探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分ZADC和ZBCD,試利用上述結論探究ZP與ZA+ZB的數量關系.探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？請直接寫出ZP與ZA+ZB+ZE+ZF的數量關系：.A【類型二】點在線，垂兩邊例2、如圖（1）,RtAABC中，ZACB=90。,CD丄AB，垂足為D。AF平分ZCAB，交CD于點E,交CB于點F。CC貝DR耳DAD*E圖（門圖（2）（1）求證：CE=CF。（2）將圖（1）中的AADE沿AB向右平移到AA'D'E'的位置，使點E落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示。試猜想：BE與CF有怎樣的數量關系？請證明你的結論。檢測1、如圖，在△ABC中，ZC=90°,AD平分ZCAB,BC=6cm,BD=4cm，那么點D到直線AB的距離是蜩.

【類型三】線被垂，順勢延例3、如圖，已知等腰RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是ZABC的平分線，從C向BD作垂線，垂足為E.求證：BD=2CE.變式、如圖，AODC中，ZD=90。,EC是ZDCO的平分線，OE丄CE，點E作EF丄OC于點F,判斷EF與0D之間的數量關系，并加以證明.例4、如圖(a)所示,BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AD丄BD，AE丄CE，垂足分別為D、E,連接DE,求證：DE//BC，DE=1(AB+BC+AC);Aa'E⑵如圖(b)所示,BD、CE分別是△ABC的內角平分線，其他條件不變；⑶如圖(c)所示,BDABC的內角平分線,CEABC的外角平分線，其他條件不變；則在圖(b)、圖(c)兩種情況下,DE與BC還平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜測，并對其中一種情況進行證明.檢測1、如圖，AABC中，AD平分ZBAC,CD丄AD于D,G為BC的中點,求證：⑴DG〃AB:⑵DG=2（AB-AC）-檢測2、如圖，在△ABC中,AB=3AC,ABAC的平分線交BC于點D,過點B作BE丄AD，垂足為E,求證：AD=DE.【類型四】遇平行，等腰現例5、（1）已知：在厶ABC中，AB=AC,BD平分AABC,CD平分ZACB，過點D作EF//BC，分別交AB、AC于E、F兩點（如圖1）.圖中共有個等腰三角形，分別是;EF與BE、CF之間的關系是.⑵若將⑴中“AABC,AB=AC”改為“若△ABC為不等邊三角形”，其余條件不變（如圖2）,則圖中共有個等腰三角形，分別是;EF與BE,CF之間的關系是.⑶已知：如圖3,D在AABC外,AB〉AC，且BD平分AABC,CD平分△ABC的外角AACG,過D點作DE//BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則EF與BE、CF之間有何關系？寫出你的結論，并加以證明⑷已知：如圖4,點D在AABC外,BD,CD分別平分厶ABC的外角ZGBC和ZHCB，過點D作DE//BC,分別交BG,CH于E,F兩點，則EF與BE,CF之間存在怎樣的關系？寫出你的結論，并加以證明.AD￡DE.BCB24CFEG圖斗AAFAD￡DE.BCB24CFEG圖斗AAF副uG檢測1、(1)如圖(a)所示，在△ABC中，ZABC與ZACB的角平分線相交于點F,過點F作DE〃BC，交AB于點D,交AC于點E,若BD+CE=9,則線段DE之長為。(2)如圖(b)所示在△ABC中，BD、CD分別平分ZABC和ZACB,DE〃AB,FD〃AC，如果BC=6,則厶DEF的周長為。檢測2、如圖，已知直線AB//CD,ZA=ZC=100。，E、F在CD上，且滿足ZDBF=ZABD,BE平分ZCBF.(1)求ZDBE的度數.⑵若平行移動AD,那么ZBFC:ZBDC的比值是否隨之發生變化?若變化，找出變化規律;若不變,求出這個比值.(3)在平行移動AD的過程中，是否存在某種情況，使ZBEC=ZADB若存在，求出其度數;若不存在,請說明理由.檢測3、如圖，梯形ABCD中AD//BC，半圓0的直徑在BC上，且與另三邊相切，如果AB=2,CD=3，則BC=()。

【類型五】截一邊，造全等例6、閱讀下列學習材料：如圖（a）所示，0P平分ZMON,A為0M上一點，C為0P上一點。連接AC,在射線ON上截取0B請根據上面的學習材料，解答下列各題：（1）如圖（c）所示，在△ABC中，人。是4BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點,試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由。（2）如圖（d）所示，人。是4ABC的內角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小,并說明理由。例7、如圖所示，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,AD平分ZCAB，求證：AC+CD=AB.

變式1、如圖所示，AABC中，AB二AC,ZA=100°,BD平分ZABC交AC于D.變式2、已知，如圖AB=AC,ZA=108。,BD平分ZABC交AC于D,求證：BC=AB+CD.【綜合練習】1、在平行四邊形ABCD中，ZBAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F。（1）在圖1中證明CE二CF。（3）（3）若ZABC=120。,FG//CE,FG=CE，分別連接DB、DG（如圖3）,求ZBDG的度數。2、如圖：已知ZBAD=ZDAC=9。,AD丄AE，且AB+AC=BE.則ZB=【家庭作業】1、如圖，ZMON=90°，點A,B分別在射線0M,ON上運動，BE平分ZNBA,BE的反向延長線與ZBAO的平分線交于點C.則ZC的度數是（）A.30B.45A.30B.45C.55°D.602、如圖所示，直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動。（1）如圖1,已知AE、BE分別是ZBAO和ZABO的角平分線，點A、B在運動的過程中，ZAEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，請說明理由，并求出ZAEB的大小。（2）如圖2，已AB不平行CD,AD、BC分別是ZBAP和ZABM的角平分線，AD、BC的延長線交于點F。ZADC的角平分線DE和ZBCD的角平分線CE相交于點E。點A、B在運動的過程中，ZF的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，請說明理由。點A、B在運動的過程中，ZCED的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，請說明理由。3、已知，如圖，四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,BC=CD?求證：AC平分ZBADB

4、已知：如圖，JBAD二ZCAD,AB>AC,CD丄AD于點D,H是BC中點.求證：DH二1(AB-AC).25、如圖，在AABC中，AB=3AC,ABAC的平分線交BC于點D,過點B作BE丄AD，垂足為E,求證:AD=DE.6、如圖，A/