等腰三角形1?如圖，已知點C為線段AB上一點和LCEN都是等邊三角形，AN、BM相交于點O，AN、CM交于點P，BM、CN交于點Q．（1）求證:山.（2）求“°月的度數.（3）求證：FQ⑷.【分析】（1）欲證眈，只需證明它所在的兩個三角形全等.（2）山站的度數可用2眇的外角來求，但要注意全等所得到^4=Z5這一條件的使用.（3）要PQHAB，則三2』1二冊PP?應該為一個等邊三角形，可證明沁N少辭,從而得到PC=CQ.（1）證明：丁山刖r和MEN都是等邊三角形，Zl=Z3=Z6=60°AC=CMBC=CN即￡ACN=^MCB.在MGV和［\MCH中，..Zl+Z3=Z6+Z3=120即￡ACN=^MCB.在MGV和［\MCH中，AC=CM^ACN=^MCBCN=CB..MCN^MCB

..AN二BM（2）由（1）知空皿昨,..Z5=Z4vAAOB=^QNB+ZNEQZL4O5=Z5+ZCA?B+ZA?O=Z4+Z(7A?3+ZA?(9=ZCtA?3+ZAZ3C=120o（3）在^PCN和込呂中，Z4=Z5Z1=Z3CB=CN：.PC=QC:.^CPQ=ZCQP又vZ3=60-5,..Z.CPQ=^-CQP=|(180°-阿=60°..PQHAB【點撥】（1）要證明線段相等（或角相等），找它們所在的三角形全等．（2）本題的圖形規律：共一個頂點的兩個等邊三角形構成的圖形中，存在一對或多對繞公共點旋轉變換的三角形全等．?如圖，在Rt^EC中上C二90°，乙瞰=濟，佔AC的平分線AM的長15，求BC的長．

【分析】由【分析】由am平分^BAC可得^CAM=^AM=30G30°,則N月二，所以AM=BM.在RtMCM中上也M二兀。，可得2^由AM=15，可求出BC的長.解：在解：在Rti45C中，乂匚二90口^^0=60°,vAM平分^-BAC，..ZCAM=ZBAM=30^/..乙E=^BAM,..AM=BM=\5.在RtOOT中，上也胚二？0。，..CM=-AM=7.5..SC=C3if+W=7.5+15=22.5【點撥】含30度的直角三角形的性質常與直角三角形的兩個銳角互余一起運用，此性質是求線段長度和證明線段倍分問題的重要方法..如圖，曲二』C上￡HC=9(T上1二山2E1EE.求證：D=XE.【分析】根據已知"亠乙2,盹丄UE”聯想到等腰三角形“三線合一”，通過輔助線將證明二2CE助線將證明二2CE轉化為證明BD=CF.證明：延長CE、BA交于點F.??G丄朋/..ABEC=ZBEF=W.Z1=Z2BE=BEABEC=￡.BEF..'EEC品REF—fG=心訓，即聽2芻.-.■ZF+Z2=90°=ZF+ZL4CF..Z^0F=Z2在l\BAD和^CAF中，3二血〈ZBAD=^CAF=9Q°qC2..^BAD^AF—/..BD=CFf..BD=2CE.【點撥】（1）利用等腰三角形“三線合一”不僅能得到線段相等、角相等，而且能得到線段的倍半關系.（2）聯系等腰三角形“三線合一”作頂角平分線或底邊的中線或底邊的高線是常用的輔助線.

?如圖“ABC中，AB二AC，在AB邊上取點D,在AC延長線上取點E，使BD=CE,連結DE交BC于G.求證：DG=GE.AA【分析】由于△ABC是等腰三角形，D【分析】由于△ABC是等腰三角形，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，故可考慮過D或E作腰AC或AB的平行線，通過構造等腰三角形，可獲得結論.證法1：過D作DFiiAC,交BC于F（如圖）.azDFB=zACB.又vAB=AC,azB=zACB.azB=zDFB.???DB二DF.vCE=BD（已知）,?DF=CE.又zDGF=zCGE,zGDF=zE,.?.△DFG^ECG（AAS）.又tAB二AC,azB=zACB.又zACB=zECM,azM=zECM.???EC二EM.???CE二BD（已知）,?EM=BD.在aBDG與aMEG中，^DGB=ZEGM<Z5=ZAfBD=EM.?.△bdg^meg（aas）.?DG=GE.【點撥】（1）本題的證明方法很多，其思路是通過利用等腰三角形ABC的底角相等并借助bd=ce條件，構造新的等腰三角形來尋求結論.（2）本題在推證含DG、GE為對應邊的兩個三角形全等時，尋找等邊是一個難點，也是本題最易出錯的地方，主要表現為把BD=CE這一條件直接作為三角形全等時的對應邊.G5?已知：如圖,aABC中，AB=AC,zA=36°,仿照圖（1）,請你再設計兩種不同的方法，將aABC分割成3個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形（如圖（1））.

(2)圖(2)(3)供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫畫法，不要求證明；要求標出所分得的每個等腰三角形三個內角的度數)．仍只需考慮以36°，72°，108°等為內角的等腰三角形即可．解：本題顯然應有多種結果，現提供3種，以供同學們參考，如圖中(2)、(3)、(4)；嚴\L八/弦0BC(2)點撥】像本例這種圖形的分割問題的求解，一方面應把握原圖形的特征，借助經驗予以解決，另一方面還應大膽嘗試，在操作中獲得結果．06.如圖，在一個寬度為HE=詛的小巷內，一個梯子的長度為b，梯子的腳位于P點?將梯子的頂端放于一堵墻上Q點時，Q點離地面的高度為c，此時梯子與地面的夾角為4滬.將梯子頂端放于對面一堵墻上R點，離開地面的高度為d，此時梯子與地面的夾角為7尸?可知&二僅，為什么？【分析】由也貯蟲=?亍壬可知/昭2=&0又PR二FQ可知肚F(2為等邊三角形，則貯二陀，可推得山酬二仔.證明：連接RQ、RB.■.■^RPA=15GZ^g=180o-75c,-45o=60°又出噸，'RPQ為等邊三角形，.'.RP=RQ在2PQ中/貯Q=，..Z52P=90o-45°=4