【重溫舊知】圓內(nèi)接四邊形_第1頁
【重溫舊知】圓內(nèi)接四邊形_第2頁
【重溫舊知】圓內(nèi)接四邊形_第3頁
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（2022?六合區(qū)二模）【重溫舊知】圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角具有特殊的性質(zhì)．如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若AB＝BD，∠ABD＝50°，則∠BCD＝115°．【提出問題】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？如圖2，某數(shù)學興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB?CD+BC?DA＝AC?BD，請按他們的思路繼續(xù)完成證明．證明：如圖3，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點E．∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝即AB?CD＝AC?BE【應(yīng)用遷移】如圖4，已知等邊△ABC外接圓⊙O，點P為上一點，且PB＝，PC＝1，求PA的長．【解決問題】如圖5，已知△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)要在△ABC內(nèi)找一點P，使點P到A、B、C的距離之和最小，請在圖中作出點P．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）【考點】MR：圓的綜合題．【專題】15：綜合題；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【分析】【重溫舊知】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形對角互補求出所求即可；【提出問題】所得等式兩邊加上AD?BC，右邊變形后即可得證；【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論，根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，可得AB＝AC＝BC，代入化簡即可求出PA的長；【解決問題】如圖，以BC為邊長在△ABC的外部，作出△BCD的外接圓，連接AD，交圓于點P，點P即為所求【解答】解：【重溫舊知】（1）∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，∵∠ABD＝50°．∴∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝65°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∵∠BAD+∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝115°；故答案為：115；【提出問題】（2）證明：如圖3，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠ACB＝∠ADB，∴△ABC∽△AED，∴＝，即AD?BC＝AC?DE，∴AB?CD+AD?BC＝AC?BE+AC?DE，∴AB?CD+BC?DA＝AC?BD；【應(yīng)用遷移】由上題可知PB?AC+PC?AB＝PA?BC，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∴（PB+PC）?BC＝PA?BC，∴PB+PC＝PA，則PA＝+1；【解決問題】如圖，以BC為邊長在△ABC的外部作等邊△BCD，作出△BCD的外接圓，連接AD，交圓于點P，點P即為所求．理由：連接PB，PC，則由上述可知PB+PC＝PD，PA+PB+PC＝PA+PD≥AD，當A，P，D三點共線時，有最短值．【點評】此題屬于圓的綜合題，涉及的

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