第十講-函數模型及其應用知識點一、幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型（a，b為常數，）二次函數模型（a，b，c為常數，）指數函數型模型（a，b，c為常數，且，）對數函數型模型（a，b，c為常數，且，）冪函數型模型（a，b，n為常數，，）反比例函數模型（a，b為常數，）分段函數模型知識點二、三種函數模型性質比較在上的單調性增函數增函數增函數增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同知識點三、對鉤函數（耐克函數）1、對鉤函數（一般模型）：對勾函數是一種類似于反比例函數的一般雙曲函數，又被稱為“雙勾函數”、“勾函數”、“對號函數”、“雙飛燕函數”；所謂的對勾函數，是形如：（，）的函數.①定義域：；②是奇函數，圖象關于原點對稱；③在，上單調遞減；在，上單調遞增；④當時，；當時，.2、特別的，對鉤函數的簡易形式：（）其圖象如圖：①定義域：；②（）是奇函數，圖象關于原點對稱；③在，上單調遞減；在，上單調遞增；④當時，；當時，.考點一、一次函數模型【典型例題】1、某商店某種商品（以下提到的商品均指該商品）進貨價為每件40元，當售價為50元時，一個月能賣出500件．通過市場調查發現，若每件商品的單價每提高1元，則商品一個月的銷售量會減少10件．商店為使銷售該商品的月利潤最高，應將每件商品定價為（）A．45元 B．55元 C．65元 D．70元2、某商場準備購進A，兩種型號電腦，每臺A型號電腦進價比每臺型號電腦多500元，用40000元購進A型號電腦的數量與用30000元購進型號電腦的數量相同，請解答下列問題：（1）A，型號電腦每臺進價各是多少元？（2）若每臺A型號電腦售價為2500元，每臺型號電腦售價為1800元，商場決定用不超過35000元同時購進A，兩種型號電腦20臺，且全部售出，請寫出所獲的利潤（單位：元）與A型號電腦（單位：臺）的函數關系式并求此時的最大利潤．【變式練習】1、某廠日生產文具盒的總成本(元)與日產量(套)之間的關系為.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒（）A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套2、劉先生購買了一部手機，欲使用某通訊網絡最近推出的全年免流量費用的套餐，經調查收費標準如下表：套餐月租本地話費長途話費套餐甲12元0.3元/分鐘0.6元/分鐘套餐乙無0.5元/分鐘0.8元/分鐘劉先生每月接打本地電話時間是長途電話的5倍（手機雙向收費，接打話費相同）．（1）設劉先生每月通話時間為x分鐘，求使用套餐甲所需話費的函數及使用套餐乙所需話費的函數；（2）請你根據劉先生每月通話時間為劉先生選擇較為省錢的套餐．考點二、二次函數模型【典型例題】1、某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個，若銷售單價每漲1元，其銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品的最佳售價應為每個_____元.2、為適應改革的需要，公司計劃新上某種機器設備，需要投入固定成本萬元，生產與銷售均以百臺計數，且每生產臺，還需增加可變成本萬元．若市場對該產品的年需求量為臺，每生產百臺的實際銷售收入（單位：萬元）近似滿足函數．（1）試寫出第一年的銷售利潤（萬元）關于年產量（單位：百臺，）的函數關系式；（說明：銷售利潤=實際銷售收入成本）（2）因技術等原因，第一年的年生產量不能超過臺，若第一年人員的年支出費用（萬元）與年產量（百臺）的關系滿足，問年產量為多少百臺時，工廠所得純利潤最大？【變式練習】1、為鼓勵大學畢業生自主創業，某市出臺了相關政策，由政府協調，企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.某大學畢業生校照相關政策投資銷售一種新型節能燈，已知這種節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月的銷售量(單位:件)與銷售單價(單位:元)之間的關系近似滿足一次函數:.（1）設他每月獲得的利潤為(單位:元)，寫出他每月獲得的利潤與銷售單價的函數關系式，并求出利潤的最大值.（2）相關部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于元.如果他想要每月獲得的利潤不少于元，那么政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍是多少?2、某企業生產，兩種產品，根據市場調查與預測，產品的利潤與投資成正比，其關系如圖（1）所示；產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示（注：利潤和投資的單位均為萬元）．圖（1）

圖（2）（1）分別求，兩種產品的利潤關于投資的函數解析式．（2）已知該企業已籌集到18萬元資金，并將全部投入，兩種產品的生產．①若平均投入兩種產品的生產，可獲得多少利潤？②如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？考點三、分段函數模型【典型例題】1、某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數，其中x(臺)是儀器的月產量．（1）將利潤表示為月產量的函數；（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益總成本利潤)2、某租賃公司有750輛電動汽車供租賃使用,管理這些電動汽車的費用是每日元．根據調查發現，若每輛電動汽車的日租金不超過90元，則電動汽車可以全部租出；若超過90元，則每超過1元，租不出去的電動汽車就增加3輛．設每輛電動汽車的日租金為元（），用(單位：元)表示出租電動汽車的日凈收入．(日凈收入等于日出租電動汽車的總收入減去日管理費用)（1）求關于的函數解析式；（2）試問當每輛電動汽車的日租金為多少元時？才能使日凈收入最多，并求出日凈收入的最大值．【變式練習】1、上海市某地鐵項目正在緊張建設中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，，經測算，在某一時段，地鐵載客量與發車時間間隔t相關，當時地鐵可達到滿載狀態，載客量為1200人，當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為.（1）求的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為（元），問當發車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？2、2018年10月24日，世界上最長的跨海大橋—港珠澳大橋正式通車。在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數當橋上的車流密度達到220輛/千米，將造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米，車流速度為100千米/時研究表明：當時，車流速度v是車流密度x的一次函數.（1）當時，求函數的表達式；（2）當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時)可以達到最大？并求出最大值.考點四、對鉤函數模型【典型例題】1、新冠肺炎疫情造成醫用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產企業公司擴大生產提供（）（萬元）的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產的全部防護服，公司在收到政府（萬元）補貼后，防護服產量將增加到（萬件），其中為工廠工人的復工率（），公司生產萬件防護服還需投入成本（萬元）．（1）將公司生產防護服的利潤（萬元）表示為補貼（萬元）的函數（政府補貼萬元計入公司收入）；（2）當復工率時，政府補貼多少萬元才能使公司的防護服利潤達到最大？并求出最大值．【變式練習】1、如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過C點已知米，米，設AN的長為米（1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內？（2）求當AM，AN的長度分別是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出此最小值；考點五、指數函數模型【典型例題】1、我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數模型描述，假定某藥物的消除速率常數（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（

）（參考數據：）A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h2、2017年國慶期間，一個小朋友買了一個體積為的彩色大氣球，放在自己房間內，由于氣球密封不好，經過天后氣球體積變為.若經過25天后，氣球體積變為原來的,則至少經過__________天后，氣球體積小于原來的.(，結果保留整數）3、研究發現，放射性元素在一定時間內會通過核衰變過程轉換成其他元素，放射性水平隨著時間的推移而呈指數級下降，已知放射性元素在時刻的放射性水平滿足關系式，其中是初始水平，為常數．（1）若放射性元素X在時的放射性水平是時的，求的值；（2）設表示放射性元素的放射速率，當放射速率低于時，該元素的放射性水平趨于“絕零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趨于“絕零”的最小整數．（參考數據：）【變式練習】1、漁民出海打魚，為了保證運回魚的新鮮度（以魚肉內的三甲胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種揮發性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細菌分解產生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質，進而腐敗），負被打上船后，要在最短的時間內將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度與其出海后時間(分）滿足的函數關系式為，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分鐘，這種魚失去的新鮮度為40%，那么若不及時處理，打上船的這種魚大約在多長時間剛好失去50%的新鮮度（

）參考數據：A．23分鐘 B．33分鐘 C．50分鐘 D．56分鐘2、愛護環境人人有責，如今大氣污染成為全球比較嚴重的問題.企業在生產中產生的廢氣要經過凈化過濾后才可排放，某企業在凈化過濾廢氣的過程中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時間（單位：h）間的關系為（其中，是正的常數）.若在前5h的過濾過程中污染物被凈化過濾了50%，則廢氣凈化用時10h，廢氣中污染物含量占未過濾前污染物含量的百分比為___________.3、自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費，去三峽大壩旅游的游客人數增長越來越快，經統計發現2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個函數模型與可供選擇．（1）試判斷哪個函數模型更合適（不需計算，簡述理由即可），并求出該模型的函數解析式；（2）問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數約是2018年的2倍．（參考數據：，，，）考點六、對數函數模型【典型例題】1、中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率C取決于信道帶寬W，經科學研究表明：C與W滿足，其中S是信道內信號的平均功率，N是信道內部的高斯噪聲功率，為信噪比.當信噪比比較大時，上式中真數中的1可以忽略不計.若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%2、每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，常數表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（結果保留到整數位.參考數據：）（1）若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.（2）若雄鳥的飛行速度為1.3，雌鳥的飛行速度為0.8，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.【變式練習】1、（多選題）地震震級根據地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為（其中常數是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅，是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（單位：焦耳）是指當地震發生時，以地震波的形式放出的能量．已知，其中為地震震級．下列說法正確的是（

）．A．若地震震級增加1級，則最大振幅增加到原來的10倍B．若地震震級增加1級，則放出的能量增加到原來的10倍C．若最大振幅增加到原來的100倍，則放出的能量也增加到原來的100倍D．若最大振幅增加到原來的100倍，則放出的能量增加到原來的1000倍2、天文學中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應用，英國天文學家普森又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星星的亮度為.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，則與最接近的是（當較小時，）（

）A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.593、進入六月，青海湖特有物種湟魚自湖中逆流而上，進行產卵.經研究發現湟魚的游速可以表示為函數，單位是，是表示魚的耗氧量的單位數．（1）當一條湟魚的耗氧量是500個單位時，求它的游速是多少？（2）某條湟魚想把游速提高，求它的耗氧量的單位數是原來的多少倍？【模擬訓練】1、把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．2、為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/若某戶居民本月交納的水費為54元，則此戶居民的用水量為（

）A． B． C． D．3、某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為900元，若每批生產件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（

）A．30件 B．60件 C．80件 D．100件4、某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當中（）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：（1）當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？（2）求該地上班族的人均通勤時間的表達式；討論的單調性，并說明其實際意義．5、2020酒駕醉駕處罰標準：醉駕根據《刑法》第一百三十三條規定，處拘役，一到六個月．飲酒后駕駛機動車的，處暫扣六個月機動車駕駛證，記12分并處一千元以上二千元以下罰款．根據血液酒精含量定性，大于（等于）0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的為酒駕，大于0.08mg/mL的為醉駕．某駕駛員喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到0.3mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時50%的速度減少．以（單位：mg/mL）表示該駕駛員在停止喝酒小時后血液中的酒精含量．（1）將表示為的函數；（2）為了保障交通安全，該駕駛員停止喝酒后至少要過幾小時才能駕駛？（精確到1小時）6、如圖所示，為一臺冷軋機的示意圖，冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出.（軋鋼過程中，鋼帶寬度不變，且不考慮損耗）一對對軋輥的減薄率.（1）輸入鋼帶的厚度為，輸出鋼帶的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過，問冷軋機至少需要安裝幾對軋輥？（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為的軋輥，所有軋輥周長均為，若第對軋輥有缺陷，每滾動一周在剛帶上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的剛帶上，疵點的間距為，易知，為了便于檢修，請計算，，.7、學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數關系，要求及圖示如下：=1\*GB3①函數是區間上的增函數；=2\*GB3②每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；=3\*GB3③每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；=4\*GB3④每天最多得分不超過6分.現有三個函數模型①，②，③供選擇.（1）請你從中選擇一個合適的函數模型并說明理由，再根據所給信息求出函數的解析式；（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結果保留整數）8、2022年第24屆北京冬季奧林匹克運動會，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運會激發了大家對冰雪運動的熱情，與冰雪運動有關的商品銷量持續增長．對某店鋪某款冰雪運動裝備在過去的一個月內（以30天計）的銷售情況進行調查發現：該款冰雪運動裝備的日銷售單價（元/套）與時間x（被調查的一個月內的第x天）的函數關系近似滿足（k為正常數）．該商品的日銷售量（個）與時間x（天）部分數據如下表所示：x10202530110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．（1）求k的值；（2）給出兩種函數模型：①，②，請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述該商品的日銷售量與時間x的關系，并求出該函數的解析式；（3）求該商品的日銷售收入（，）（元）的最小值．9、第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕.該奧運會激發了大家對冰雪運動的熱情，與冰雪運動有關的商品銷量持續增長.對某店鋪某款冰雪運動裝備在過去的一個月內（以30天計）的銷售情況進行調查發現：該款冰雪運動裝備的日銷售單價P(x)（元/套）與時間x（被調查的一個月內的第x天）的函數關系近似滿足（常數.該款冰雪運動裝備的日銷售量Q(x)（套）與時間x的部分數據如下表所示：x381524Q（x）（套）12131415已知第24天該商品的日銷售收入為32400元.（1）求k的值；（2）給出以下兩種函數模型：①；②，請你依據上表中的數據，從以上兩種函數模型中，選擇你認為最合適的一種函數模型，來描述該商品的日銷售量Q（x）與時間x的關系，說明你選擇的理由.根據你選擇的模型，預估該商品的日銷售收入（元）在哪一天達到最低.10、2009年某市某地段商業用地價格為每畝48萬元，由于土地價格持續上漲，到2021年已經上漲到每畝96萬元.現給出兩種地價增長方式，其中：是按直線上升的地價，：是按對數增長的地價，是2009年以來經過的年數，2009年對應的值為0.（1）求，的解析式；（2）2021年開始，國家出臺“穩定土地價格”的相關調控政策，為此，該市要求2025年的地價相對于2021年上漲幅度控制在10%以內，請分析比較以上兩種增長方式，確定出最合適的一種模型.（參考數據：）11、第二十二屆世界杯足球賽將于2022年11月20日至12月18日在卡塔爾舉行，這是世界杯足球賽首次在中東國家舉行.本屆世界杯很可能是“絕代雙驕”梅西?C羅的絕唱，狂傲的青春也將被時間攬入溫柔的懷抱.即將說再見時，才發現，那屬于一代人的絕世風華，不會隨年華逝去，只會在年華的飄零中不經意的想起.世界杯，是球員們圓夢的舞臺，是球迷們情懷的歸宿，也是商人們角逐的競技場.某足球運動裝備生產企業，2022年的固定成本為1000萬元，每生產千件裝備，需另投入資金（萬元）.經計算與市場評估得，調查發現，當生產10千件裝備時需另投入的資金萬元.每千件裝備的市場售價為300萬元，從市場調查來看，2022年最多能售出150千件.（1）寫出2022年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數；（利潤=銷售總額-總成本）（2）求當2022年產量為多少千件時，該企業所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？12、某公司生產一種電子儀器的固定