27.2.2相似三角形的性質(zhì)27.2相似三角形人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)27.2.2相似三角形的性質(zhì)27.2相似三角形人教版數(shù)學(xué)11.掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面積的比等性質(zhì)，并運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算與推理。2.體會(huì)相似三角形的性質(zhì)，會(huì)用性質(zhì)與判定解決相關(guān)的問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面2ABCA'B'C'

（一）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

，它們對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是多少？講解新知ABCA'B'C'（一）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比如3ACBA′B′C′

（2）△ABC∽△A′B′C′相似比為對(duì)應(yīng)高的比D′D

ACBA′B′C′（2）△ABC∽△A′B′C′相似4CA′

B′

C′（1）△ABC∽△A′B′C′相似比為對(duì)應(yīng)中線的比D′D

ABCA′B′C′（1）△ABC∽△A′B′C′相似比為5CA′B′

C′

（3）△ABC∽△A′B′C′相似比為對(duì)應(yīng)角平分線的比D′D

ABCA′B′C′（3）△ABC∽△A′B′C′相似比為6

如圖，△ABC∽△A′B′C′，若相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比又各是多少？ABCA'B'C'如圖，△ABC∽△A′B′C′，若相似比為k7相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比證明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD從而如圖，△A′B′C′∽△ABC，相似比為k，分別作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求證：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比證明：∵△A′B′C′∽△A8證明：∵△ABC∽△DEF.

相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.ABCMDEFN又∵AM、DN分別是△ABC和△DEF的中線.∴△ABM∽△DEN.求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為中線∴BC=2BM,EF=2EN,∴∴∴∠B=∠E,證明：∵△ABC∽△DEF.相似三角形對(duì)應(yīng)中9證明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分別是∠BAC和∠EDF的角平分線.相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.ABCMDEFN求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為角平分線

∴∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴，，證明：∵△ABC∽△DEF.相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相10相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.一般地，我們有：

相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.歸納新知相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.相似三角形11解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.

求EH的長(zhǎng).∴∴，解得

EH=3.2.AGBC故EH的長(zhǎng)為3.2cm.（二）利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比求線段的長(zhǎng)度講解新知解：∵△ABC∽△DEF，DEFH例1已知121.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為________,對(duì)應(yīng)角的角平分線的比為

.2∶

32∶

32.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比為1∶4,若一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊是為12，則另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊是_______.3或48鞏固練習(xí)1.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為_______13相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.已知：求證：證明1：∴∴(等比性質(zhì))ACBB′A′C′∵△ABC∽△A′B′C′△ABC∽△A′B′C′講解新知相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.已知：求證：證明1：∴∴(等比14ABC證明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k∴A′B′C′ABC證明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=k153.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶5,那么周長(zhǎng)比為________.2∶54.兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1∶7,則它們的相似比為_______,對(duì)應(yīng)邊上角平分線的比為_______.1∶71∶7鞏固練習(xí)3.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶5,那么周長(zhǎng)比為_______16

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'

（三）相似三角形面積的比講解新知如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們17由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D18∴幾何表述:相似三角形性質(zhì)定理:

相似三角形面積的比等于相似比的平方.

∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，∴A′B′C′ABC歸納新知∴幾何表述:相似三角形性質(zhì)定理:相似三角形面積的比等于相似195.已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格：相似比2

k……周長(zhǎng)比……面積比10000……24100100kk2鞏固練習(xí)5.已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格：相似比2k……20解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又

∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴例2

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.（四）利用相似三角形面積的比求面積或線段講解新知解：在△ABC和△DEF中，又∵∠D=∠A，∴△21ABCDEF面積為

∴△DEF

的邊

EF上的高為，∵△ABC的邊

BC上的高為

6，面積為，ABCDEF面積為∴△DEF的邊EF226.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9，較大三角形一邊上的高為18，則較小三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為______.

12鞏固練習(xí)6.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9，較大三角形23例3

如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

（五）利用相似三角形面積的比求多邊形的面積(比）又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).講解新知例3如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知247.

如圖，這是圓桌正上方的燈泡（點(diǎn)A

）

發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，桌面的直徑為1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，∴△ADF∽△ACH，鞏固練習(xí)7.如圖，這是圓桌正上方的燈泡（點(diǎn)A）發(fā)出的光線照射25∴即解得CH=0.9米.(平方米).答：地面上陰影部分的面積為2.54平方米.∴陰影部分的面積為：ADEFCBH∴即解得CH262.如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C=90°，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=_____m．1.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積之比為（）

A．

B．

C．

D．C100課堂檢測(cè)2.如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C273.

把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，(1)如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的5倍，那么面積擴(kuò)大為原來的______倍；(2)如果面積擴(kuò)大為原來的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的______倍.25103.把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，2510284.

兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別是35cm、14cm，

(1)

它們的周長(zhǎng)差60cm，這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是________________；

(2)

它們的面積之和是58cm2，這兩個(gè)三角形的面積分別是______________.100cm、40cm50

cm2、8cm24.兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別是35cm、14c29

5.如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當(dāng)D點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE解：∵DE∥BC，D為AB中點(diǎn)，∴△ADE∽△ABC，

相似比為1:2，因此面積比為1:4.

∴5.如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、AC30ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.設(shè)S△ABC=4，則S△ADE=1，S△EFC=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=ABCDFE又∵EF∥AB，31

6.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC解：過點(diǎn)D作AC的垂線，交點(diǎn)為F，則∴又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF6.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB32∴即

S△ADE

:S△ABC

＝4:9.ABCDEF∴即S△ADE:S△ABC＝4:9.ABCDEF33親愛的讀者：春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，感謝你的閱讀。親愛的讀者：3427.2.2相似三角形的性質(zhì)27.2相似三角形人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)27.2.2相似三角形的性質(zhì)27.2相似三角形人教版數(shù)學(xué)351.掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面積的比等性質(zhì)，并運(yùn)用其進(jìn)行計(jì)算與推理。2.體會(huì)相似三角形的性質(zhì)，會(huì)用性質(zhì)與判定解決相關(guān)的問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面36ABCA'B'C'

（一）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

，它們對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比各是多少？講解新知ABCA'B'C'（一）相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比如37ACBA′B′C′

（2）△ABC∽△A′B′C′相似比為對(duì)應(yīng)高的比D′D

ACBA′B′C′（2）△ABC∽△A′B′C′相似38CA′

B′

C′（1）△ABC∽△A′B′C′相似比為對(duì)應(yīng)中線的比D′D

ABCA′B′C′（1）△ABC∽△A′B′C′相似比為39CA′B′

C′

（3）△ABC∽△A′B′C′相似比為對(duì)應(yīng)角平分線的比D′D

ABCA′B′C′（3）△ABC∽△A′B′C′相似比為40

如圖，△ABC∽△A′B′C′，若相似比為k，它們對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比又各是多少？ABCA'B'C'如圖，△ABC∽△A′B′C′，若相似比為k41相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比證明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD從而如圖，△A′B′C′∽△ABC，相似比為k，分別作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求證：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比證明：∵△A′B′C′∽△A42證明：∵△ABC∽△DEF.

相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比.ABCMDEFN又∵AM、DN分別是△ABC和△DEF的中線.∴△ABM∽△DEN.求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為中線∴BC=2BM,EF=2EN,∴∴∴∠B=∠E,證明：∵△ABC∽△DEF.相似三角形對(duì)應(yīng)中43證明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分別是∠BAC和∠EDF的角平分線.相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.ABCMDEFN求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為角平分線

∴∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴，，證明：∵△ABC∽△DEF.相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相44相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.一般地，我們有：

相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.歸納新知相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比.相似三角形45解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.

求EH的長(zhǎng).∴∴，解得

EH=3.2.AGBC故EH的長(zhǎng)為3.2cm.（二）利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比求線段的長(zhǎng)度講解新知解：∵△ABC∽△DEF，DEFH例1已知461.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為________,對(duì)應(yīng)角的角平分線的比為

.2∶

32∶

32.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比為1∶4,若一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊是為12，則另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊是_______.3或48鞏固練習(xí)1.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為_______47相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.已知：求證：證明1：∴∴(等比性質(zhì))ACBB′A′C′∵△ABC∽△A′B′C′△ABC∽△A′B′C′講解新知相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.已知：求證：證明1：∴∴(等比48ABC證明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k∴A′B′C′ABC證明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=k493.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶5,那么周長(zhǎng)比為________.2∶54.兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1∶7,則它們的相似比為_______,對(duì)應(yīng)邊上角平分線的比為_______.1∶71∶7鞏固練習(xí)3.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶5,那么周長(zhǎng)比為_______50

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'

（三）相似三角形面積的比講解新知如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們51由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D52∴幾何表述:相似三角形性質(zhì)定理:

相似三角形面積的比等于相似比的平方.

∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，∴A′B′C′ABC歸納新知∴幾何表述:相似三角形性質(zhì)定理:相似三角形面積的比等于相似535.已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格：相似比2

k……周長(zhǎng)比……面積比10000……24100100kk2鞏固練習(xí)5.已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格：相似比2k……54解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又

∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴例2

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.（四）利用相似三角形面積的比求面積或線段講解新知解：在△ABC和△DEF中，又∵∠D=∠A，∴△55ABCDEF面積為

∴△DEF

的邊

EF上的高為，∵△ABC的邊

BC上的高為

6，面積為，ABCDEF面積為∴△DEF的邊EF566.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9，較大三角形一邊上的高為18，則較小三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為______.

12鞏固練習(xí)6.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9，較大三角形57例3

如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

（五）利用相似三角形面積的比求多邊形的面積(比）又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).講解新知例3如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知587.

如圖，這是圓桌正上方的燈泡（點(diǎn)A

）

發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，桌面的直徑為1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，∴△ADF∽△ACH，鞏固練習(xí)7.如圖，這是圓桌正上方的燈泡（點(diǎn)A）發(fā)出的光線照射59∴即解得CH=0.9米.(平方米).答：地面上陰影部分的面積為2.54平方米.∴陰影部分的面積為：ADEFCBH∴即解得CH602.如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C=90°，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=_____m．1.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積之比為（）

A．

B．

C．

D．C100課堂檢測(cè)2.如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C613.

把一個(gè)三角形變成和它相似的三角形，(1)如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的5倍，那么面積擴(kuò)大為原來的______倍；(2)如果面積擴(kuò)大為原來的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的______倍.