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北方 交 通大 學2007-2008-2-《復變函數論》期末考試卷(A)答案一．填空題（本題滿分20分，每空2分）請把正確答案填在橫線上。2i11i的指數形式為

2e2e

2[cos()isin()]4 4112

，(2i)2

34i。3．e43i

e4(cos3isin ln2(2ki。1313z(z3z(z1)3(z5)24． 的支點，z0是 2007 級極點。z20085．設z0是sinz3(cosz41)的m級零點，則m 11 ，冪級數n0

(n1)(z3)n1的收斂半徑R 1 。1（2（3（1（2（3（4（5（6（7（8（）2i；）若f(z)在z點解析，則f(z)在z點可導；0 0）零的幅角為0；）cos(z)1（z為任意復數；）若f(z的可去奇點，那末Resf(z)0；） 1 dzi（C為平面內任一條包含a的閉曲線；zaC）冪級數的和函數在收斂圓周上至少有一個奇點；）若n0

cznz2z1i處一定收斂；n第1頁共3頁9（ ）f(zD內解析，則f(z)D內任何點都不能達到最大值；10（ ）tg1z0的某去心鄰域內能展成羅朗級數。z33z)設f(z

，在將z平面適當割開后，f(z)被分出三個單值解析分支，求出在z2時取負值的那個分支在zi的值；解：c

argf(z)

1[3 5i

argzc

z)]

5 312f(i)62e12 2設u(x,y)y33x2y，求一解析函數F(z)uiv，f(i)1i；解： ux

6xy,uy

3y23x2 2f(z)iz3i 3f(z)my3nx2yi(x3lxy2z平面上解夕，求lmn之值；u(x,y)my3nx2y,v(x,y)x3lxy2 2分由CR條件得nlm1 3z4dz其中C為從原點自虛軸至i，再沿i沿水平方向向右到3i；C

3i

(3i)5z5dz 60 ezz3(z1)2(z2)

6dz；= ez

ez 3i z

i( )z22

(z

z2=(2ee2i 2分9cosmxdx (m0)0 1x2=Re(1eimx dx) 3分21x2=em 2分四．級數題（12分，每小題6分）第2頁共3頁f(z)

1 分別在0z1（2）0z11內展成羅朗級數。z(zf(z)

1 1zn 3分z1 z

n0f(z)

1z

n0

(1)n(z1)n 3分判斷下列級數的收斂性。

1(23i)n此級數絕對收斂 3分（2）n1

11in此級數發散。五．證明題（共28分，每題7分）2zxyi12

(xy)zxyz

x2y2xy 3分又2z2

xy2 4分f(zx33x2yi3xy2y3iz平面上解析，并求出其導函數。證明：u(x,y)x33xy2,v(x,y)3x2yy3, 2分u v,ux y

v 5分x設1）f(z)在區域D（）在某一點z0證：f(z)在D內必為常數。

D

(n)(z0

n1,2,...，試證明：存在z0

的某鄰域，在該鄰域內f(z)c 2分0由唯一性定理，f(z)在D內必為常數。 5分f(zDCDD內，但不在Cz，下面等式成立：0f(z)dz=

f(z)dzCzz0

C(zz)20證明：由f(z)在區域D內解析，

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