匠心文檔，專屬精選。第五課時向量的數乘(二)教課目的：掌握實數與向量的積的運算律，理解實數與向量積的幾何意義，理解兩個向量共線的條件，可以運用兩向量共線條件判斷兩向量能否平行并能嫻熟運用.教課要點：實數與向量積的運用.教課難點：實數與向量積的運用.教課過程：Ⅰ.復習回首上一節，我們一同學習了實數與向量的積的定義及運算律，并認識了兩向量共線的條件.這一節，我們將在上述知識的基礎長進行詳細運用.Ⅱ.講解新課［例1］已知ABCD，E、F分別是DC和AB的中點，求證：AE∥CF.證明：由于E、F為DC、AB的中點，1→→1→DE＝2DC，BF＝2BA，由向量加法法例可知：→→→→1→AE＝AD＋DE＝AD＋2DC，→＝→＋→＝→＋1→CFCBBFCB2BA.∵四邊形ABCD為平行四邊形，→→→→∴AD＝－CB，DC＝－BA，→→1→→1→→∴AE＝－CB－2BA＝－(CB＋2BA)＝－CF→→∴AE∥CF∴AE∥CF，［例2］已知ABCD的對角線AC和BD訂交于點O，證明AO＝OC，BO＝OD.剖析：此題考察兩個向量共線的充要條件，實數與向量積的運算以及平面向量基本定理的綜合應用.證明：∵A、O、C三點共線，B、O、D三點共線，→→→→∴存在實數λ和μ，使得AO＝λAC，BO＝μBD.設→＝，→＝，則→＝＋，→＝－ABaADbACabBDba→→∴AO＝λ(a＋b)，BO＝μ(b－a).→→→又∵AB＋BO＝AO，∴a＋μ(b－a)＝λ(a＋b)，即匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，又∵a與b不共線，由平面向量基本定理，10，0∴μ＝λ＝1，∴AO＝1＝122AC，BO2BD，即AO＝OC，BO＝OD.［例3］已知G為△ABC的重心，P為平面上任一點，求證：PG＝1(PA＋PB＋PC).3證明：如圖，設△ABC三條中線分別為AM、BK和CL，則易知AM＝3GM，由向量中線公式有：→1→→→1→→GM＝2(GB＋GC)，AM＝2(AB＋AC)，→→1→→①∴GB＋GC＝3(AB＋AC)同理可得→→1→→②GA＋GB＝3(CA＋CB)→→1→→③GA＋GC＝3(BA＋BC)由式①＋②＋③得：→→→2(GA＋GB＋GC)＝1→→→→→→3(AB＋BA＋AC＋CA＋CB＋BC)＝0→→→∴GA＋GB＋GC＝0∴→＝→＋→＋→3PGPGPGPG→→→→→→＝(PA＋AG)＋(PB＋BG)＋(PC＋CG)→→＝(PA＋PB＋

→→＋→＋PC)＋(AGBG

→→→→CG)＝PA＋PB＋PCPG＝1(PA＋PB＋PC).3［例4］AD、BE、CF是△ABC的中線，若直線EG∥AB，FG∥BE.求證：AD∥＝GC.證明：如圖，由于四邊形BEGF是平行四邊形.→→因此FB＝GE匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。又由于D是BC的中點，因此→→BD＝DC，→→→→因此AD－AB＝AC－AD，→1→→→→→→→因此AD＝2(AB＋AC)＝FB＋EC＝GE＋EC＝GC因此AD∥GC.＝［例5］設四邊形ABCD的兩對角線AC、BD的中點分別是E、F，求證：1｜AB－CD｜21(AB＋CD).≤EF≤2證明：如圖，∵→→→→EF＝EA＋AB＋BF，→→→→EF＝EC＋CD＋DF，∴→→→→→→→2EF＝(EA＋EC)＋(AB＋CD)＋(BF＋DF)∵E、F分別是AC、BD的中點，∴→→→→EA＋EC＝0，BF＋DF＝0，→1→→∴EF＝2(AB＋CD)又∵｜｜→→→→→→｜，AB｜－｜CD｜｜≤｜AB＋CD｜≤｜AB｜＋｜CD∴1→→→1→→｜－｜CD｜｜≤｜EF｜≤(｜AB｜＋｜CD｜)，2｜｜AB2即11(AB＋CD).2｜AB－CD｜≤EF≤2Ⅲ.講堂練習課本P68練習1，2，3.Ⅳ.課時小結經過本節學習，要修業生在理解平面向量基本定理基礎上，能掌握平面向量基本定理的簡單應用.Ⅴ.課后作業課本P69習題9，10，12，13匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。向量的數乘1．已知ABCD中，點E是對角線AC上湊近A的一個三平分點，設→→EA＝a，EB＝b，則向量BC等于（）A.2a＋bB.2a－bC.b－2aD.－b－2a→＝5e→＝－7e→→（）2．若AB1，CD1，且|AD|＝|BC|，則四邊形ABCD是A.平行四邊形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但兩腰不相等3．設D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且→→BC＝a，CA＝b，給出以下命→1→1→11→→→題：①AB＝－2a－b②BE＝a＋2b③CF＝－2a＋2b④AD＋BE＋CF＝0.此中正確的命題個數為（）A.1B.2C.3D.44．若O為平行四邊形ABCD的中心，→＝4e→＝6e等于（）AB1，BC2，則3e2－2e1→→→→A.AOB.BOC.COD.DO5．已知向量a，b不共線，實數x，y知足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7)a，則x＝，y＝.→1→→→→→6．在△ABC中，AE＝AB，EF∥BC交AC于點F，設AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量BF5為.7．若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則實數k的值為.→1→→8．已知隨意四邊形ABCD中，E為AD中點，F為BC的中點，求證：EF＝2（AB＋DC）.匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。9．在△OAB中，C是AB邊上一點，且BC→→→CA＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，試用a，b表示OC.→＝，→＝，→＝→（∈，當是（）→中點，（）→的三平分點（離10．如圖，OAaOBbAPtABtR)P1AB2AB→A近的一個）時，分別求OP.匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。向量的數乘答案471611．D2．B3．C4．B5．11116．－a＋5b7．±1→1→→8．已知隨意四邊形ABCD中，E為AD中點，F為BC的中點，求證：EF＝2（AB＋DC）.→→→→→→→→證明：∵EF＋FC＋CD＋DE＝0，EF＋FB＋BA＋AE＝0→→→→→→→→∴EF＝ED＋DC＋CF，EF＝EA＋AB＋BF兩式相加，→→→→→→→2EF＝ED＋EA＋DC＋AB＋CF＋BF→→→→∵ED＋EA＝0，CF＋BF＝0→1→→）.∴EF＝2（AB＋DC9．在△OAB中，C是AB邊上一點，且BC→→→CA＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b，試用a，b表示OC.→1解：OC＝1＋λ(b＋λa)→→→→→→10．如圖，OA＝a，OB＝b，AP＝tAB