參考系質點參考系被選作參考標準的物體或相對位置不變的物體組合叫做參考系.選取的參考系不同，對物體運動情況的描述不同，這就是運動描述的相對性.質點根據問題的性質，在某些情況下，往往可以忽略物體的大小和形狀，把物體看成一個具有一定質量的點，這樣抽象化后的理想模型，稱為質點.質點是經過科學抽象而形成的理想化的物理模型.目的是為了突出研究對象的主要性質,暫不考慮一些次要的因素.1.1.2

位置矢量運動方程位移和路程→P183附錄A1

位置矢量*

Pxrixyy

jz

k

oz確定質點P某一時刻在坐標系里的位置的物理量稱位置矢量,

簡稱位矢r

.r

xi

yj

zk式中i、j

、k

分別為x、y、z方向的單位矢量.r

r

x2

y2

z2位矢r

的值為cos

x

rcos

z

rcos

y

r位矢r

的方向余弦PPrxzyo

o

2

運動方程r

(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)kx

x(t)y

y(t)z

z(t)分量式從中消去參數

t

得軌跡方程f

(x,

y,

z)

0r

(t)x(t)xyy(t)z(t)z例一質點在平面上的運動方程為，r

(t

1)

i

(t2

2)

j式中r

的單位是米，時間t

的單位是秒，試求該質點的運動軌跡。解質點在x、y

坐標軸上的分運動方程分別為x

t

1y

t

2

2將上面兩式消去t后，便得到質點的軌跡方程為y

(x

1)2

2顯然，質點的運動軌跡是拋物線。3

位移和路程xyoBArArrBArrBArxoxBxAxB

xAyyByAB

ABy

y質點位置矢量發生變化,稱為點A到B的位移矢量,

簡稱位移.B

rAr

r經過時間間隔

t

后,把由始點A

指向終點B

的有向線段rr

x2

y2

z2位移的大小為AroyyByAAyB

yrArBxAxB

xAxBxrA

xAi

yA

j

(xB

xA

)i

(yBA

y

)

j

rB

xBi

yB

j位移r

rB

rA若質點在三

中運動r

(xB

xA

)i

(

yB

yA

)

j

(zB

zA

)k路程（s

）:

質點實際運動軌跡的長度.2

2

2r

x

y

zr

r

x

2

y

2

z

21

1

1222

22

2x

y

zr

位移的物理意義A)確切反映物體在空間位置的變化,與路徑無關，只決定于質點的始末位置.B）反映了運動的矢量性和疊加性.P1(x1,

y1,

z1)P2

(x2

,

y2

,

z2

)r

(t1)P1r

(t2

)sr注意xyOzP2rr

xi

yj

zk位矢長度的變化位移與路程r

sr

(t1)1pr

(t2

)2prxyOzs'

（C）什么情況r

s？不改變方向的直線運動;

當

t

0

時

s

.r（D）位移是矢量,

路程是標量.（A）P1P2

兩點間的路程是不唯一的,

可以是s或s而位移r

是唯一的.（B）

一般情況,

位移大小不等于路程.例一質點作直線運動，其運動方程為，x

2

2t

t

2

,式中t的單位為s，x的單位為m。試求：t

從0

t

到4

s

時間間隔內質點位移的大小和它走過的路程。x

x

8

mt

4

t

0解位移大小為dt可得t1

s，即質點在t

0

到t1

s

內沿正向運動，然后反向運動。

1

mt

0

9

mt

1分段計算x1

x2

10

m路程為dx將x對時間t求一階導數

2

2t

01.1.3

速度1

平均速度在t

時間內,

質點從點A

運動到點

B,

其位移為r

r(t

t)

r(t)t

時間內,

質點的平均速度平均速度v

與r

同方向.t

t

i

t

jv

r

x

y

平均速度大小v

(x)2

(y)2t

tv

vxi

vy

j或rr(t

t)Br

(t)Axyos2

瞬時速度當質點做曲線運動時，質點在某一點的速度方向就是沿該點曲線的切線方向.當t

0

時平均速度的極限值叫做瞬時速度，簡稱速度t0

tv

lim

x

lim

y

i

jdtt0

tv

lim

r

drt

0

t當

t

0

時，dr

dsetdtv

ds

xyov

v

(dx

)2

(

dy

)2

(

dz

)2dt

dt

dt瞬時速率：速度

v

的大小稱為速率v

yvvxv

v

i

v

ji

jdt

dtv

dx

dy

x

y若質點在三中運動,dt

dt

dt其速度為dx

dy

dz

v

i

j

kv

dsdtds

v

etdt平均速率tdsv

sr(t

t)r

(t)AxyoB

srdt瞬時速率v

一運動質點在某瞬時位于矢徑處，其速度大小為的端點r

(x,

y)dtdr

dr（A）

dt（B）dtd

r（C）(dx)2

(dy)2dt

dt（D）（1）

t

=3s

時的速度.（2）質點的運動軌跡方程.解（1）由題意可得速度分量分別為xydx

dydtdt11v

1.0

m

s

,v

0.5t

m

sv

1.0it

=3s

時速度為1速度v

與x

軸之間的夾角

arctan1.5

56.3例設質點的運動方程為其中

x(t)

1.0t

2.0,

y(t)

0.25t

2

2.0

.求r(t)x(t)i

y(t)

j,（2）運動方程x(t)

1.0t

2.0y(t)

0.25t2

2.0由運動方程消去參數t

可得軌跡方程為y

0.25x2

x

3

m1）平均加速度單位時間內的速度增量即平均加速度vBBvAvvB1.1.4

加速度（反映速度變化快慢的物理量）xyOa

a

與v

同方向.2）（瞬時）加速度dtt0

ta

lim

v

dvvAA質點作三維運動時加速度為a

axi

ay加速度大小xdt

dt2d2

yay

dt

dt2dt

dt2dvyax

a

dv

d2

xz

dv

d2zz2

2

2y

za

ax

a

adv

d2ra

dt

dt

2加速度jdvy

dvx

i

dt

dt加速度大小

a2

a2x

ya

limt0

tv嗎？v

v

ac

cb

vn

vtv(Oabvcv(t

t)v

v(t

t)

v(t)v

v(t

t)

v(t)在Ob上截取oc

oa有v

cb速度方向變化速度大小變化vn

acvt

cbOdta

a

dv問嗎？dvv(v(t

因為

v(t)

vdv

0dt所以而

a

a

0例勻速率圓周運動所以dta

dvpage7

例題1-4(中學勻加速直線運動公式推導)t

0a

a0已知x0，v0求t

秒后質點運動的速度和位置yxvvyvxvyvxvd0v00

xo

vv0

y例設在地球表面附近有一個可視為質點的拋體,以初速

v0

在

Oxy

平面內沿與

Ox

正向成

角拋出,

并略去空氣對拋體的作用.（1）求拋體的運動方程和其運動的軌跡方程;（2）拋體的最大射程.

π

42gy

x

tan

x2v2

cos2

消去方程中的參數

t

得軌跡00m

v2

g最大射程d

0

cos

2

0gdd0

2v2d20d0

g

si(2)

最大射程20

y

0

0v

v

sin

y

v

t

sin

gt

2已知

ax

0

ay

g,t

0

時

x0

y0

0(1)

v0x

v0

cos

x

v0t

cos

1解0y

實際路徑

真空中路徑o

xd

d0實際射程小于最大射程例一質點沿oy軸作直線