2023學年高考數學模擬測試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線：（，）的右焦點與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．33．某部隊在一次軍演中要先后執行六項不同的任務，要求是：任務A必須排在前三項執行，且執行任務A之后需立即執行任務E，任務B、任務C不能相鄰，則不同的執行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種4．一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．5．已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．6．某人用隨機模擬的方法估計無理數的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內投入粒豆子，并統計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數的估計值是（）A． B． C． D．7．復數的共軛復數記作，已知復數對應復平面上的點，復數:滿足.則等于（）A． B． C． D．8．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或9．A． B． C． D．10．正三棱柱中，，是的中點，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．11．要排出高三某班一天中，語文、數學、英語各節，自習課節的功課表，其中上午節，下午節，若要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰（注意：上午第五節和下午第一節不算相鄰），則不同的排法種數是（）A． B． C． D．12．已知l，m是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知邊長為的菱形中，，現沿對角線折起，使得二面角為，此時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為________.14．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為______．15．已知函數，且，，使得，則實數m的取值范圍是______.16．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.18．（12分）已知橢圓與x軸負半軸交于，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設直線與橢圓C交于兩點，連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點，若，直線MN是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標，如果不是，請說明理由.19．（12分）設函數.（1）求的值；（2）若，求函數的單調遞減區間.20．（12分）某景點上山共有級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級臺階開始向上走，一步走一個臺階記分，一步走兩個臺階記分，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時所得分數為，求的分布列和數學期望；（2）證明：數列是等比數列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級臺階的概率．21．（12分）已知函數．當時，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．22．（10分）已知橢圓的短軸長為，離心率，其右焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【題目詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【答案點睛】本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.2、A【答案解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【題目詳解】由已知，，漸近線方程為，因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【答案點睛】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的運算能力，是一道容易題.3、B【答案解析】

分三種情況，任務A排在第一位時，E排在第二位；任務A排在第二位時，E排在第三位；任務A排在第三位時，E排在第四位，結合任務B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【題目詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F，如果任務A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個空位中插入B、C，此時共有排列方法：；如果任務A排在第二位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側，排列方法有，可能都在A、E的右側，排列方法有；如果任務A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側；所以不同的執行方案共有種．【答案點睛】本題考查了排列組合問題，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題．4、B【答案解析】

根據空余部分體積相等列出等式即可求解.【題目詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因為，所以.故選：B【答案點睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎題.5、A【答案解析】

畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【題目詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【答案點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.6、D【答案解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【題目詳解】在函數的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【答案點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區域的面積，考查計算能力，屬于中等題.7、A【答案解析】

根據復數的幾何意義得出復數，進而得出，由得出可計算出，由此可計算出.【題目詳解】由于復數對應復平面上的點，，則，，，因此，.故選：A.【答案點睛】本題考查復數模的計算，考查了復數的坐標表示、共軛復數以及復數的除法，考查計算能力，屬于基礎題.8、D【答案解析】

根據題意得，設與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【題目詳解】因為，，則，所以，設與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【答案點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.9、A【答案解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【題目詳解】本題正確選項：【答案點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎的計算題．10、C【答案解析】

取中點，連接，，根據正棱柱的結構性質，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結果.【題目詳解】解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設，則，，，則，∴.故選：C.【答案點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.11、C【答案解析】

根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午；②語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數目，由分類加法計數原理可得答案．【題目詳解】根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午，要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰，將節語文課和節數學課分別捆綁，然后在剩余節課中選節到上午，由于節英語課不加以區分，此時，排法種數為種；②語文和數學都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午，但節語文課不加以區分，節數學課不加以區分，節英語課也不加以區分，此時，排法種數為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【答案點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于中等題．12、A【答案解析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.【題目詳解】當m⊥平面α時，若l∥α”則“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l∥α”是“l⊥m”充分不必要條件，故選：A.【答案點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

分別取，的中點，，連接，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設球心為，半徑為，，由勾股定理可得、，再根據球的面積公式計算可得；【題目詳解】如圖，分別取，的中點，，連接，則易得，，，，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設球心為，半徑為，，可得，解得，.故該球的表面積為.故答案為：【答案點睛】本題考查多面體的外接球的計算，屬于中檔題.14、【答案解析】

利用,得到的關系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【題目詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【答案點睛】本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.15、【答案解析】

根據條件轉化為函數在上的值域是函數在上的值域的子集；分別求值域即可得到結論.【題目詳解】解：依題意，，即函數在上的值域是函數在上的值域的子集.因為在上的值域為（）或（），在上的值域為，故或，解得故答案為：.【答案點睛】本題考查了分段函數的值域求參數的取值范圍，屬于中檔題.16、【答案解析】

設，則，得到，，利用向量的數量積的運算，即可求解．【題目詳解】由題意，如圖所示，設，則，又由，，所以為的中點，為的三等分點，則，，所以．【答案點睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算法則，以及向量的共線定理和向量的數量積的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【答案解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結論，結合正弦定理和同角三角函數的關系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據三角形的面積公式即可計算得出.【題目詳解】（1）由已知可得，所以，因為在銳角中，，所以（2）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【答案點睛】此類問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數以及三角恒等變換等知識，同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能，屬于中檔題.18、（1）（2）直線恒過定點,詳見解析【答案解析】

（1）依題意由橢圓的簡單性質可求出，即得橢圓C的方程；（2）設直線的方程為：，聯立直線的方程與橢圓方程可求得點的坐標，同理可求出點的坐標，根據的坐標可求出直線的方程，將其化簡成點斜式，即可求出定點坐標．【題目詳解】（1）由題有，.∴，∴.∴橢圓方程為.（2）設直線的方程為：，則∴或，∴，同理，當時，由有.∴，同理，又∴，當時，∴直線的方程為∴直線恒過定點，當時，此時也過定點..綜上:直線恒過定點.【答案點睛】本題主要考查利用橢圓的簡單性質求橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關系應用，定點問題的求法等，意在考查學生的邏輯推理能力和數學運算能力，屬于難題．19、（1）（2）的遞減區間為和【答案解析】

（1）化簡函數，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數的圖象與性質求出函數的單調遞減區間，再結合即可求出.【題目詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數的所有減區間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區間為和.【答案點睛】本題主要考查了三角函數的恒等變形，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.20、見解析【答案解析】

（1）由題可得的所有可能取值為，，，，且，，，，所以的分布列為所以的數學期望．（2）由題可得，所以，又，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列．（3）由（2）可得．21、（1）；（2）.【答案