試卷代號：1083座位號□□國家開放大學2019年秋季學期期末統一考試幾何基礎試題（半開卷）2020年1月一、選擇題（每小題4分，本題共20分）1.y軸的齊次線坐標為()．A．[1，0，0] B．[1，1，0]C．[0，1，O] D．[1，1，1]2．若點P在二次曲線Γ上，那么它的極線一定是Γ的()．A．直徑 B．切線C．半徑 D．漸近線3．()對對應點唯一確定兩個點列間射影．A．3 B．1C．4 D．24．仿射變換把三角形的中位線變成()．A．中位線 B．中線c．高線 D．角分線5．若(AB，CD)=-1，則A，B，C，D四點()．A．不共線 B．重合C．等距 D．調和共軛二、填空題（每小題4分，本題共20分）6．菱形在仿射變換下變成____7．射影對應把正方形對角線變成8．不重合的____對對應元素確定唯一一個對合對應．9．設a=（1，0，-1}，b={1，-1，o}，則口與苔的夾角為____10．由配極原則可知，無窮遠點的極線一定通過_____．三、計算題（每小題10分．共30分）11.求過兩直線x-y+2=0與x+y-1=0的交點和點(1，l，1)的直線方程.12．求二次曲線3x12+2x22+x1x2+x2x313．求四點A（2，1，-1），B（1，-1，1），C(1，0，0)，D（1，5,-5）的交比(AB,CD)．四、證明題（每小題10分，共30分）14．試證明，以任意三角形的三條中線為邊可做一個三角形．第14題圖15．設XYZ是完全四點形ABCD的對邊三點形,XZ分別交AC，BD于L，M證明YZ，BL，CM共點．第15題圖16．若三角形ABC的三邊AB、BC、CA分別通過共線的三點P，Q，R二頂點B與C各在定直線上移動，求證頂點A也在一條直線上移動．第16題圖試卷代號：1083 座位號國家開放大學2020年春季學期期末統一考試幾何基礎試題2020年7月一、選擇題（每小題4分，本題共20分）1．如果兩個向量的對應分量成比例，則二者()． A．平行 B．垂直 C．相交 D．不一定2．若二次曲線Γ的極點為無窮遠點，則Γ在此處與無窮遠直線()． A．相切 B．相離 C．有兩個不同交點 D．不相切3．點列之間的射影對應是由()對對應點唯一確定． A．4 B．2 C．1 D．34．若(AB，CD)=r，則(DB，AC)=()． A．1r B． C．1-1r D5．無窮遠直線的齊次線坐標為()． A．[1，0，0] B．[0，0，1] C．[1，1，0] D．[1，0，1]二、填空題（每小題4分，本題共20分）6．仿射變換把等腰三角形底邊上的高線變成____________________________________.7．已知共線四點A、B、C、D的交比(CA，DB)=2，則(CD，AB)=________________.8．極線上的點與極點___________________.9．射影對應把等腰三角形底邊上的高變成______________________________________．10．幾何公理體系的三個基本問題包括___________、___________、___________三、計算題（每小題10分，共30分）11．求使直線x-2y-1=0的每個點不變，且把點(1，1)變成點(-1，1)的仿射變換12．若直線l1，l2，l3，l4的方程為x-2y-1=0，2x+3y-2=0，313．求點關于（1，-1，0）二階曲線的3x1四、證明題（每小題10分，共30分）14．證明：以任意三角形的三條中位線為邊可做一個三角形．15．設△ABC的頂點A，B，C分別在共點的三直線l，m,n咒上移動，且直線AB和BC分別通過定點P和Q，求證CA也通過PQ16．設OX，OY，OZ為三條定直線，A，B為二定點，其連線過O，點R為OZ上的動點，且直線RA，RB分別交OX，OY于點P，Q，求證：PQ通過AB上一定點．試卷代號：1083國家開放大學2019年秋季學期期末統一考試幾何基礎試題答案及評分標準（半開卷）（供參考）2020年1月一、選擇題（每小題4分，本題共20分）1．C2．B3．A4．A5．D二、填空題（每小題4分，本題共20分）6．平行四邊形7．任意四邊形的對角線8．兩對9．π10．中心三、計算題（每小題10分，共30分）11x1交點為u于是，過點（-1，3，2）與點(1，1，1)的直線方程為x即x1+3x12．解二次曲線給3x123確定，解之得(0，0，1)過該點的切線方程為0013化簡后為x2=0，切線方程為13．解取A和B為基點，將A，3分則四點的交比為AB,CD=λ1這里3C=A+B，于是λ1=1，D=2A因此AB,CD=λ1四、證明題(每小題10分，共30分)14，證明如圖，設設在△ABD中m=c+1在△BCEn=a+1在△CAFl=b+12以上三式相加得m+n+l=a+b+c+于是三條中線構成三角形．10分15．證明如圖，對四線形ABCD，根據定理4.10可知，在對角線AC邊上的四點A，C，在四點形YBZL中，LB與YZ交于N．設MN與YL交于C'，由定理4.9可知，過對角點M有一組調和線束，即MA、MC'和MY、ML，于是AC’，YL=-116．證明如圖所示，取Q為透視中心，則(B，B1，在這兩個射影線束中，PR是自對應元素，所以，由定理4.15，PB由定義4.10，兩個透視對應的線束對應直線的交點A，A1，A2，…試卷代號：1083國家開放大學2020年春季學期期末統一考試幾何基礎試題答案及評分標準（供參考）2020年7月一、選擇題（每小題4分，本題共20分）1．A2．A3．D4．C5．B二、填空題（每小題4分，本題共20分）6．三角形底邊上的中線7．-18．共軛9．過頂點相交于對邊的任意一條直線10.相容性、獨立性、完備性三、計算題（每小題10分，共30分）11.解設所求的仿射變換為x'=a+a11在直線x-2y-1=0上任取兩點(1，0)，（-1，-1），則所求的仿射變換把三點(1，1)，(1，O)，（-1，-1），分別變成點（一1，1），(1，0)，（-1，-1），將這三對點代人仿射變換式得-1=+a解得a=-1b=0a11=2因此，所求的仿射變換式為x'=2x-12.解l1，lx1=1，x于是l1l2，13.解將點（1，-1，0）的坐標及aija11y3-72+0整理即得所求極線方程x1+3x2四、證明題（每小題10分，共30分）14．證明如圖，設AB=c，BC=a設B，F，D分別為△ABC三邊AC，AB則EFED=1EF即，以中位線EF，FD，ED為邊可作成一個三角形，10分15.證明如圖，設?A'B'C'是滿足條件的另一個三角形，在?ABC和?A'B'C'中，由于對應點連線l,m,n共點O，……