《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】PAGEPAGE4/14一、（1分題×20題=20分）１．設(shè)x為實數(shù)，x為x的整數(shù)部分，則()Ａ．xxx1；Ｂ．xxx1；Ｃ．xxx1；Ｄ．xxx1．２．下列命題中不正確的是()Ａ．整數(shù)aa,

,a的公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)；1 2 nＢ．整數(shù)aa,

,a的公倍數(shù)中最小的稱為最小公倍數(shù)1 2 nＣ．整數(shù)a與它的絕對值有相同的倍數(shù)Ｄ．整數(shù)a與它的絕對值有相同的約數(shù)３．設(shè)二元一次不定方程axbyc（其中a,b,c是整數(shù)，且a,b不全為零）有一整數(shù)解x,y0

,da,b，則此方程的一切解可表( )Ａ．xx0

at,yyd

bt,t0,1,2,;d;Ｂ．xx0Ｃ．xx0Ｄ．xx

at,yyd bt,yyd bt,yy

bt,t0,1,2,;d;;at,t0,1,2,;d;at,t0,1,2,;0 d 0 d４．下列各組數(shù)中不構(gòu)成勾股數(shù)的( )Ａ．５，１２，１３； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７５．下列推導(dǎo)中不正確的( )Ａ．a(chǎn)1

bmodm,a1

bmodmaa2 1

b1

modm;2Ｂ．

bmodm,

bmodmaa

bb

modm;1 1 2 2

12 1 2Ｃ．

bmodmaa

ba

modm;1 1 12 1 2Ｄ．a(chǎn)2b2modma1

bmodm.11 1６．模１０的一個簡化剩余系( ),9;,10;Ａ．0,1,2, Ｂ．1,2,3,,9;,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4; Ｄ．1,3,7,9.７．a(chǎn)bmodm的充分必要條件( )Ａ．mab; Ｂ．a(chǎn)bm;Ｃ．mab; Ｄ．a(chǎn)bm.８．設(shè)fxx42x38x9，同余式fx0mod5的所有解( )Ａ．x1或Ｂ．x1或Ｃ．x1或Ｄ．無解．9、設(shè)f(x)=axn

axaa,x

modp為f(x)0modp的一個n解，:( )

1 0 i 0Amodp一定為f(x)0p的一個解 B．0

modp 1,一定為f(x)0modp的一個解C．當(dāng)不整除f(x),f(x)0p一定有解xx0

modp,其中x

xmodp0D若xx0

p為f(x)0p則有x

xmodp0f(x)axn axa,其a為奇,

0modp,np,則同余式n 1 0 i nf(x)0modp的解數(shù)（ ）有時大于p但不大于n; B．可超過pC．等于p D．等于n若2為模p的平方剩余，則p只能為下列質(zhì)數(shù)中的:( )A．3 B．11 C．13 D．23 若雅可比符號a1，則 m x2am,當(dāng)mx2ap有解;mp(x2ap有解;ap(x2ap有解．13．若同余式x2a3,2,a有,則解數(shù)等于( A．4 B．3 C．2 D．1模12的所有可能的指數(shù);( )A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D．無法確定若模m的單根存在，下列數(shù)中可能等: ( A．2 B．3 C．4 D．12對于模5，下列式子成立的:( )A．ind22 B．ind233 3C．ind50 D．ind10ind2ind53 3 3 3下列函數(shù)中不是可乘函數(shù)的: ( A．茂陛鳥(mobius)函數(shù)w(a) ;歐拉函數(shù)a；x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)x；除數(shù)函數(shù)a；若x對模m的指數(shù)是ab，a>0，ab>0，則x對模m的指數(shù)( )Aa Bb ab fa，ga均為可乘函數(shù)，( )A．faga為可乘函數(shù)；

faga為可乘函數(shù)C．faga為可乘函數(shù)； D．faga為可乘函數(shù)設(shè)a為茂陛烏斯函數(shù)，則( )不成立A．1 B．11 C．2D．90（每小題1分，共10分）3在45!中的最高次n＝ ；ax11

ax22

axnn

N，其中a ，a1

an

，N均為整數(shù)，n2，有整數(shù)解的充分必要條件；23a0aba,b1b ；xx0

modm為一次同余式axbmodm，a

0modm的一個解，則它的所有解為 ；威爾生（wilson）定理；101326．勒讓德符號503=1013 若p1，則a是模p的平方剩余的充分必要條件歐拉判別條)；在模m的簡化剩余系中，原根的個數(shù)；設(shè)1，g為模p的一個原根，則模2p的一個原根；30．48 （54題20分）“18”對嗎？說明理由。“若m1x通過模m的簡化剩余系，則ax也通過模m的簡化剩余系”這命題是否正確？正確請證明，不正確請舉反例。17的簡化剩余系中平方剩余與平方非剩余。1設(shè)a11

p22

pkk

為aSa為aa為a的正因數(shù)的Sa＝？a＝？為什么？（7×4題＝28分）6x+93y=75的一切整數(shù)解。x1mod5解同余方程組y3mod6z2mod737．解同余式x2≡11(mod125)38．求模13的所有原根。（7分題×2題=14分）39、試證：x22y2z2（，）=1y是偶數(shù)的整數(shù)解可寫成：x(a22b2) y2ab za22b2這里ab0a,b1，并且40、設(shè)a為正整數(shù)，試證：

《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】一為奇數(shù)，一為偶數(shù)。(d)(a)add|a d|a其中d|a

表示展布在a的一切正因數(shù)上的和式。（8分）41、求30！中末尾0的個數(shù)。參考答案：一．單項選擇：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。a,

,a|N

t

,t0,1,2, ；m1 2 nm

0 a,m25p1！+10modp,pp127．a(chǎn)2

1modp；28．

與gp中的單數(shù)；30．16三．簡答題：31．答：命題正確。

2m212m2m2m2m24mm1而mm12的倍數(shù)。86頁32．正確．證明見教材P 。47

p1233．在摸p的簡化剩余系中與,22, , 同余的數(shù)是數(shù)p的平方剩余，2 p17,1p18，121,224,329,4216，528,622,7215,821321717的平方非剩余。34．

ak

1pp2

k

p11i i1

iiiii1

p1ia1

12

1 k

1證明：若fa為可乘函數(shù)，則

f

fpi

fp．ii．i|a i1fafa1，它們?yōu)榭沙撕瘮?shù)，即得出。5/14四．計算題

《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】35．解：因為6,933|75，故原不定方程有解。又原方程即2x31y25，而易見方程2x31y1有解x'16,y'0

1。所以原方程的一個解是x0

400,y0

25所以，原方程的一切整數(shù)解是（ ）x40031tr25

t是整數(shù)5，6，7兩兩互質(zhì)，由孫子定理得所給同余方程組關(guān)于模5×6×7＝210有唯一解，分別解同余方程：42x1mod535x30x，得x3mod5，x1mod6，x4mod7因此所給同余方程組的解是：x423135133042mod210x26151mod210 x211mod5x1mod5 再從1t1

11mod52

10mod52 ，因此t1

1mod5,于是1t

6mod52 ，是211mod52又從652t

mod53得300t2

25mod53 ,12t2

1mod5即t2mod5,所x652256 是所給方程的一個解，于是所解為：2x56mod125 解畢。38．解：12223, g1

2,g2

3 為其質(zhì)因數(shù)2

6,

3

4g13的原根的主要條件是：6/14g6mod1，g

《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】mod1用g=1，2，……1213因為4134個，即為所求。五、證明題：證明：易驗證所給的解為原方程的解，因y為偶數(shù)，原方程可化為：zxz2 2

r22 但 zx,zx|zx,zxz 2 2

2 2 zx,zx|zx,zxx 2 2

2 2 而 ，所以

zx zx， ）=12 2由書中引理，我們可假設(shè)zx zx= a2， =b22 2顯然a>b，(a，b)=1，于是X=a2－b2，z=a2+b2 ，y=2ab因子為奇數(shù)，所以a，b一定是一為奇，一為偶，證畢證明：假定d1

dk

為a的所有正約數(shù)，那末a ，，d d1 k

也是a的所有正約數(shù)，于是(d)=(a)dda da再因為在a的完全剩余系中任一數(shù)a的最大公約數(shù)必定是d1

dk

中某一個數(shù)，而完全剩余系中與a的最大公約數(shù)為di

的數(shù)有

(md

，所以：i m( =m 證畢dda7/14《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】《初等數(shù)論》試卷及參考答案【與（閔嗣鶴、嚴(yán)士健）第三版配套】PAGEPAGE14/14六．應(yīng)用題：41．解：53030303055253=6+1+0=72303030303030222232425=15+7+3+1+0=2610=2×5，故30！的末尾有7個零。2007年4月廣東省高等教教育育自學(xué)考試初等數(shù)論試卷一、 單項選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）1．-36，420，48三個數(shù)的公因數(shù)是（）A．±1，±3，±4，±5，±6，±12 B.±1,±2,±3,±4,±6,±,12C.±2,±3,±4,±6 D1,2,3,4,5,6,122.設(shè)a,b Z(整數(shù))，p是素數(shù)，且pab。則（）Aa,b中恰有一個是p的倍數(shù) B.a,b中沒有p的倍數(shù)C.a,b中必有一個是p的倍數(shù) D.a,b都是p的倍3.設(shè)a,b是非零整,d=(a,b),則下列成立的( )Ad,Ad,dababC.d,dababd2dda,babda,dabd2D.設(shè)a,b,c,vd(ad,bd)dabC.(ad,bd)ab

Zau bv 則對于任意d Z (正整數(shù))( )abd(ad,bd)abdad,ad,bdd1A.1C.

,必有( )B.D.下列不定方程,有整數(shù)解的( )75y33z4875y33z4870y14z70y14z33

B.27x75y65z7275y65z7220y45z32a,b

Z,m

Z ,a

b(modm)則( )A.(a,b)=(a,m) B.(a,b)=(b,m)C.(a,m)=(m,b) D.(a-b,m)=(a,m)下列集合,是模15的簡化剩余系的( )A. ,13 B. C. ,13,14 D.下列同余式中成立的( )

29,14, 2,2,19,,19,7,8A.3648C. 472

1(mod49) B.27204(mod72) D. 3541

1(mod25)1(mod設(shè)同余式ax b(modm)有解,則下述斷語中正確的( )該同余式有模mm-1個解m,(b,m)個數(shù)滿足該同余式m,(a,m)個數(shù)滿足該同余式m,(ab,m)個數(shù)滿足該同余式設(shè)素數(shù)p>2,a,b分別是模p的平方剩余和平方非剩,則下列成的( )A.ab是模p的平方非剩余 B.ab2是模p的平方非剩Ca2b是模p的平方剩余 D.a2b2是模p的平方非剩余設(shè)對模m的指數(shù)為k.,則( )A.km B.mk(m)C.ka D,(m)若模m的原根存,則m可能是( )A.15的倍數(shù) B.16的倍數(shù)B.81的2倍 D.42的倍數(shù)若x對模m的指數(shù)是ab,a>0,b>0,則xb對模m的指數(shù)( )abA. m

B.bC.C.ab15.gm,cD.a(m).K是模c的一個非負(fù)完全剩余,則L= gt,tK 是A.模m的一個完全剩余系 B模m的一個簡化全剩余系C模c的一個完全剩余系 D模c的一個簡化全剩余二.填空題（本大題共每小題2分，共2分）16.設(shè)a 24 35 53 112,b 22 56 74 132,c 3 53 75 133,則a,b,c=17.若a,b,是兩個整,b>0,設(shè)m a,rb

ab ,m,r表達(dá)的b除a的帶余式是18.

100!32!

.的標(biāo)準(zhǔn)分解中7的指數(shù)為 .有理數(shù)a(0b

b,(a,b) 1)能表示成純循環(huán)小數(shù)的充分必要條件是(m).(m)1設(shè)m pap21

pak,p,p,

的互不相同的素數(shù),則pmkpmk.設(shè)a,b,c,m都是整數(shù),ab ac(modm),則當(dāng) 時,c(modm).1設(shè)m pap211 2

pak,pk

(i=1,2….,k),m)

1,則同余式x2 a(modm)有解時,解數(shù)為 .設(shè)m是偶數(shù),則模m有原根的充分必要條件是 .設(shè)a對模m的指數(shù)為t,則ak 1(modm)成立的充分必要條件是 .若a,a,1 2

,amt個整數(shù)，則,a,,a)t,a)t(mod (m))三、計算題。（本大題共4題，第26，27小題各5分，第28，29小題各7分，共24分）解不定方程352的指數(shù)

.28.解同余方程組xxx2(mod3)3(mod4)3(mod5)29．對哪些奇素p,328.解同余方程組xxx2(mod3)3(mod4)3(mod5)30．今天是星期三，試求經(jīng)過t (2002003 12100天后是星期幾五、證明題（本大題共2題，每小題8分，共30分）317.已知383是素數(shù)，求證x2 219(mod有解。一、 單項選擇題

2007年4月廣東省高等教教育育自學(xué)考試初等數(shù)論試題答案及評分參考1—5BCDAB 6—10ACDBC11—15ADCDB二、填空題babbababbababmbr)35 56 75 13317.a18.1219.(b,10)

1或存在一個正整數(shù)t,使得10t

1(modb)成立。20．(p11

1)(ppp111 2 2pp11

1) (ppkkk kpkk

1或m(1

1)(1p1

1) (1 1)p p2 k221（a,m）=1222.2k23.m=2,4或2p，其中24．tk

為正整數(shù)，p為素數(shù)idna2idnat25idna2idnat1三、計算題2612，5）=3531，所以方程有整數(shù)解。化簡方程得41解得41 19 219 3 6

177. (1)31于是1

19 3

19 (41 19 2) 641 (41 (6) 19 13(6 (6 177)19 16 177177知方程有特解x（tx（tx617719ty1317741t一般解為

分）6 13 177（300, , 6 13 177（3024，241，2，3，4，6，8，12，24 （2分）

32 33 234

mod52)36 1(mod52) （4分）故3對模52的指數(shù)是6 （