第十三章量子物理基礎第1頁十九世紀末期，物理學經典理論已經基本完善了。開耳文也說：“在已經基本建成科學大廈中，后輩物理學家只需要做一些零星修補工作就行了”。麥克斯韋：“在幾年中，全部主要物理常數將被近似估算出來，給科學界人士留下來只是提升這些常數觀察值精度”。開耳文接著又指出：“不過在物理晴朗天空遠處，還有兩朵小小令人不安烏云”。實際上還有第三朵小小烏云：放射性現象發覺。全部這些試驗結果都是經典物理學無法解釋。在二十世紀早期，建立起了近代物理兩大支柱：相對論和量子論。第2頁§13.1經典物理困難經典物理給我們提供了兩個運動特征不相容兩類物理體系：實物粒子和相互作用場（波）。實物粒子運動特征：定域。相互作用場（波）運動特征：非定域。經典物理在解析微觀領域時將碰到問題：黑體輻射：經典物理關于熱輻射能量連續改變概念不能解釋黑體輻射能譜；光電效應：光波動說不能解釋類似光電效應這類光與物質相互作用問題；原子結構和光譜：經典物理學不能給出原子穩定結構，也不能說明原子光譜規律。第3頁13.1.1黑體輻射1.熱輻射現象任何物體在任何溫度下都要發射各種波長電磁波，而且其輻射能量大小及輻射能量按波長分布都與溫度相關。物體在任何溫度下都會輻射能量。注意：物體既會輻射能量，也會吸收能量。輻射和吸收能量恰相等時稱為熱平衡。此時溫度恒定不變。這種因為物體中分子、原子熱運動而發射電磁波現象稱為熱輻射。第4頁2.幾個物理量：單色輻出度e

：從物體表面單位面積上發射出，波長介于~+d之間輻射功率dE與d比值。

意義：在一定溫度T下，單位時間內從物體表面單位面積上波長在附近單位波長間隔內輻射出能量。e是溫度T和波長函數，常寫成e(,T)

。輻出度E(T)：物體表面單位面積發射包含各種波長在內輻射總功率。

第5頁輻出度E(T)僅是溫度函數。意義：在溫度T

時單位時間、單位面積整個波長范圍內輻射出能量。單色吸收率(,T)

：波長在~

＋d范圍內吸收率稱為單色吸收率。吸收率：當輻射從外界入射到物體表面時，被物體吸收能量與入射能量比值。基爾霍夫定律：在熱平衡下，物體單色輻出度與單色吸收率比值與物體性質無關，對于全部物體，這個比值是波長和溫度普適函數。第6頁基爾霍夫定律：在熱平衡下，物體單色輻出度與單色吸收率比值與物體性質無關，對于全部物體，這個比值是波長和溫度普適函數。結論：好吸收體也是好輻射體。3.黑體黑體：能夠完全吸收外來輻射而沒有反射物體。黑體既是完全吸收體，也是理想發射體。可把一個開小孔不透光空腔看成黑體。如遠處不點燈建筑物。第7頁4.黑體輻射試驗中將開有小孔空腔視為黑體，使其恒溫。結論：每一條曲線都有一個極大值。伴隨溫度升高，黑體單色輻出度快速增大，而且曲線極大值逐步向短波方向移動。試驗裝置第8頁試驗T=1646k維恩依據經典熱力學得出一個半經驗公式：維恩公式

維恩公式在短波部分與試驗結果吻合得很好，但長波卻不行。瑞利和瓊斯用能量均分定理和電磁理論得出瑞利—瓊斯公式瑞利—瓊斯公式在長波部分與試驗結果吻合，但在紫外區單色輻出度為無窮大。維恩瑞利-瓊斯式中c1，c2為常量。式中c為光速。第9頁13.1.2光電效應陽極陰極石英窗光電效應：當一束光照射在金屬表面上時，金屬表面會有電子逸出現象。逸出電子稱為光電子。光電效應試驗當K、A間加反向電壓，光電子克服電場力作功，當電壓到達某一值UC時，光電流恰為零。UC稱反向遏止電壓。遏止電壓大小反應光電子初動能大小。第10頁光電效應試驗結果：1.存在截止頻率（又稱紅限）0。當入射光頻率

大于截止頻率0時，才能產生光電效應；反之，不論入射光強度多大，都不能產生光電效應。不一樣材料截止頻率不一樣。2.在入射光頻率不變時，飽和光電流隨入射光強度I增加而增大；3.遏止電壓與入射光強度無關，但與入射光頻率成正比。4.光電效應含有瞬時響應特征(t<10-9s)。且這種瞬間響應與入射光強度無關。

經典理論無法解釋光電效應上述規律。第11頁試驗T=1646k維恩瑞利-瓊斯§13.2量子論誕生13.2.1普朗克能量子理論1.能量子假設19普朗克用內插法得到了普朗克公式：普朗克常數這個公式與試驗結果相符合。普朗克理論值波長形式：頻率形式：第12頁普朗克能量子假設：=h稱為能量子，n稱為量子數。金屬空腔壁中電子振動可視為一維諧振子。這些振子能夠吸收或輻射能量。對頻率為諧振子，其吸收或輻射能量是不連續，只能取某一最小能量h整數倍。在這一假設基礎上，利用經典統計物理方法就可推出普朗克黑體輻射公式（推導見教材）。能量子假設對于經典物理來說是離經叛道，就連普朗克本人當初都以為難以置信。為回到經典理論體系，在一段時間內他總想用能量連續性來處理黑體輻射問題，但都沒有成功。第13頁2.黑體輻射兩個定律斯忒藩-玻爾茲曼定律說明了黑體輻出度與溫度關系：斯忒藩-玻耳茲曼常量能譜分布曲線峰值對應波長m與溫度T乘積為一常數。含義：伴隨溫度升高，單色輻出度峰值向短波方向移動。(1)斯忒藩

-玻耳茲曼定律(2)維恩位移定律維恩常量第14頁例：直徑10cm、焦距50cm凸透鏡將太陽像聚焦在置于焦平面上一個涂有黑色粗糙金屬片上，金屬片大小與太陽像一樣大。太陽與金屬片均視為黑體。設太陽溫度為5.9×103K，求金屬片可到達最高溫度。解：太陽輻出度抵達透鏡功率：會聚抵達黑色金屬光屏成象，設其溫度為T，又由幾何光路圖有：代入整理得：﹜rR﹛第15頁13.2.2愛因斯坦光電效應方程愛因斯坦在普朗克能量子假設基礎上深入提出了光子假設：光不但在發射和吸收時以能量為h微粒形式出現，而且在空間傳輸時也是如此。頻率為光是由大量能量為=h光子組成粒子流，這些光子沿光傳輸方向以光速c運動。光子能量：愛因斯坦光電效應方程：式中：A為電子逸出金屬表面所需做功，稱為逸出功；為光電子最大初動能。第16頁愛因斯坦對光電效應試驗解釋：1.入射光強度I取決于單位時間內垂直經過單位面積光子數n。入射光較強時，含有光子數較多，所以取得能量而逸出電子數也多，飽和電流自然也就大。2.當h<A時，電子無法取得足夠能量脫離金屬表面，所以存在紅限0。不一樣金屬含有不一樣截止頻率。第17頁4.入射光中光子能量被金屬表面電子一次吸收，所以含有瞬時性。初動能及反向遏止電壓與成正比，而與光強無關。3.依據光子能量：光子質量：光子動量：

光子質量、能量和動量第18頁例：已知銀光電效應截止波長0=350nm，當用波長為250nm紫外光照射時，求逸出光電子最大初動能Ek和銀逸出功A0。解：第19頁13.2.3康普頓散射愛因斯坦斷言光是由光子組成，但真正證實光是由光子組成是康普頓散射試驗。192223年康普頓研究了X射線在石墨上散射。光闌X

射線管探測器X

射線譜儀晶體0散射波長,0石墨體(散射物質)φ0第20頁1.康普頓散射試驗規律

在X射線經過物質散射時，散射線中除有與入射線波長相同射線外，還有比入射線波長更大射線，其波長改變量與散射角相關，而與入射線波長0和散射物質都無關。波長改變量滿足以下關系：式中：C=2.410-12m稱為康普頓波長。它表示散射角為90o時，散射波長改變值。這種改變波長散射稱為康普頓效應。經典理論無法解釋康普頓散射試驗規律。第21頁2.康普頓效應光量子理論解釋X射線是由一些能量為=h光子組成，而且這些光子與自由電子發生完全彈性碰撞。在輕原子中，原子查對電子束縛較弱，能夠把電子看作是靜止自由電子。反沖電子碰撞前：光子能量為ho，動量為ho/c；電子能量為moc2，動量為零。碰撞后：光子散射角為，光子能量為h，動量為h/c；電子飛出方向與入射光子夾角為，它能量為，動量為。第22頁反沖電子碰撞過程能量守恒動量守恒聯立以上三式，能夠解得：第23頁散射波長改變量：康普頓效應中，波長改變原因：當一個光子與散射物質中一個自由電子碰撞后，電子取得一部分能量，同時光子將沿某一方向散射，散射光子能量減小，頻率減小，波長變長。康普頓波長：康普頓散射深入證實了光子理論正確性，還證實了在微觀領域中也是嚴格恪守能量、動量守恒定律。第24頁說明:1.散射波長改變量數量級為10-12m，可見光波長數量級~10-7m，<<，觀察不到康普頓效應。2.散射光中有與入射光相同波長射線，是因為光子與原子碰撞，原子質量很大，光子碰撞后，能量不變，散射光頻率不變。4.重原子中，內層電子較多，而內層電子束縛很緊。所以原子量大物質，康普頓效應比原子量小弱。3.當=0時，光子頻率保持不變；=時，光子頻率減小最多。第25頁例：一個靜止電子與一能量為4.0103eV光子碰撞后，它能取得最大動能是多少？解：光子與電子發生正碰而折回時，能量損失最大。碰撞后，電子取得能量最大，這時光子波長為：這時光子能量為：第26頁3.光波粒二象性光在傳輸過程中表現出波動性，如干涉、衍射、偏振現象。光在與物質發生作用時表現出粒子性，如光電效應，康普頓效應。光子能量和動量為上兩式左邊是描寫粒子性E、P；右邊是描寫波動性、。h將光粒子性與波動性聯絡起來。

關于光本性問題，我們不應該在微粒說和波動說之間進行取舍，而應該把它們看作是光本性兩種不一樣側面描述。第27頁§13.4微觀粒子波粒二象性13.4.1德布羅意物質波假設1.物質波引入

1923年，德布羅意第一次提出了實物粒子含有波動性觀點。實物粒子：靜止質量不為零微觀粒子。實物粒子和光子一樣，也含有波粒二象性。假如用能量E和動量p來表征實物粒子粒子性，則可用頻率和波長來表示實物粒子波動性。光(波)含有粒子性，那么實物粒子含有波動性嗎?實物粒子波稱為德布羅意波或物質波，物質波波長稱為德布羅意波長。第28頁2.德布羅意公式德布羅意把愛因斯坦對光波粒二象性描述應用到實物粒子，動量為p粒子波長：頻率與能量關系：德布羅意公式物質波概念能夠成功地解釋原子中令人迷惑軌道量子化條件。波長第29頁例：試計算動能分別為100eV、1keV、1MeV、1GeV電子德布羅意波長。解：由相對論公式：得：若Ek<<m0c2，若Ek>>m0c2，第30頁Ek=100eV時，Ek<<m0c2，Ek=1keV時，Ek<<m0c2，Ek=1MeV時，電子靜能E0=m0c2=0.51MeV，EK=1GeV時，Ek>>m0c2，第31頁例：質量m=50kg人，以v=15m/s速度運動，試求人德布羅意波波長。解：人德波波長儀器觀察不到，宏觀物體波動性無須考慮，只考慮其粒子性。電子德波波長很短，用于電子顯微鏡衍射效應小，可放大200萬倍。例：求靜止電子經15000V電壓加速后德波波長。解：靜止電子經電壓U加速后動能第32頁§13.5波函數不確定關系13.5.1波函數物質波能夠用一個隨時間和空間改變函數來描述，這個函數稱為波函數，通慣用來表示。在一維空間量，波函數寫成(x,t)，在三維空間里寫成。自由粒子波函數自由粒子不受外力作用，它在運動過程中作勻速直線運動（設沿X軸），其能量和動量保持不變。結論：自由粒子物質波是單色平面波。對應德布羅意波頻率和波長：第33頁一個頻率為、波長為沿x方向傳輸單色平面波表示式：利用波粒二象性關系式，用描述粒子性物理量來代替描述波動性物理量，在量子力學中，波函數常寫成復數形式，這個波函數既包含有反應波動性波動方程形式，又包含有表達粒子性物理量E和P，所以它描述了微觀粒子含有波粒二象性特征。第34頁*為復共軛函數。依據波動理論，波函數強度正比于02。注意：微觀粒子物質波波函數只能用復數形式來表示。不能用實數形式來表示。利用復指數函數運算法則，有：

在普通情況下，粒子波函數不是單色平面波形式，而是空間和時間復雜函數。

對三維空間，沿矢徑方向傳輸自由粒子波函數為：第35頁13.5.2波函數統計詮釋1.波動－粒子兩重性矛盾分析觀點一：把粒子性包容在波動性這中，認為物質波是三維空間連續分布某種物質“波包”，因而展現干涉和衍射現象。物質波包大小，就是粒子大小，波包群速度就是粒子運動速度。觀點二：粒子性是最基本，波是由大量粒子分布于空間而形成疏密波，波動性是粒子間相互作用結果。以上兩種觀點都是錯誤。為人們所接收對于波函數解釋是由玻恩首先提出來：德布羅意波并不像經典波那樣是代表實在物理量波動，而是描述粒子在空間概率分布“概率波”。第36頁2.概率波光單縫衍射和電子單縫衍射比較：從波動性看，對光衍射現象，空間某處光強與光波在該處振幅平方成正比，衍射極大值對應光振動振幅平方極大值，衍射極小值對應振幅平方極小值。用這種觀點分析實物粒子衍射試驗，能夠看到在衍射極大值處，波函數振幅平方＊含有極大值，在衍射極小值處，波函數振幅平方＊含有極小值。從粒子觀點看，對光衍射現象，光衍射極大值處找到光子概率最大，極小值處找到光子概率最小。第37頁一樣，這種觀點對實物粒子衍射來說，在衍射極大值處，找到粒子幾率最大，衍射極小值處，找到粒子概率最小。結論：在某時刻t，在空間某處，波函數模平方正比于粒子在該時刻、該地點出現概率。3.波函數物理意義波函數模平方代表時刻t、在處粒子出現概率密度。概率密度粒子在微小體積內出現概率：粒子在有限體積內出現概率：第38頁概率密度強調：波函數本身并沒有直接物理意義，有物理意義是波函數模平方。波函數概念和通常經典波概念不一樣，它不是那種純粹經典場量，而是一個比較抽象幾率波。波函數既不描述粒子形狀，也不描述粒子運動軌跡，它只給出粒子運動幾率分布。依據波函數統計解釋可說明電子單縫衍射試驗。第39頁量子力學中描述微觀粒子狀態方式與經典力學中同時用坐標和動量確實定值來描述質點狀態完全不一樣。這種差異起源于微觀粒子波粒二象性。微觀粒子遵照是統計規律，而不是經典決定性規律。牛頓說：只要給出了初始條件，下一時刻粒子軌跡是已知，決定性。量子力學說：波函數不給出粒子在什么時刻一定抵達某點，只給出抵達各點統計分布；即只知道||2大地方粒子出現可能性大，||2小地方幾率小。一個粒子下一時刻出現在什么地方，走什么路徑是不知道（非決定性）。第40頁4.波函數應滿足條件(1)歸一化條件任意時刻，在整個空間發覺粒子概率應是1。(2)標準條件波函數必須滿足“單值、有限、連續”條件，稱為波函數標準條件。也就是說，波函數必須連續可微，且一階導數也連續可微。(3)態疊加原理假如1，2，…所描寫都是體系可能實現狀態，它們線性疊加所描寫也是體系一個可能實現狀態。第41頁假如波函數對整個空間積分值是有限，但不為零，則能夠適當選取波函數系數，使這積分值為1，這個過程稱為波函數歸一化過程。量子力學中波函數含有一個獨特性質：波函數與波函數/=c（c為任意常數）所描寫是粒子同一狀態。原因：粒子在空間各點出現幾率只決定于波函數在空間各點相對強度，而不決定于強度絕對大小。假如把波函數在空間各點振幅同時增大一倍，并不影響粒子在空間各點幾率。所以將波函數乘上一個常數后，所描寫粒子狀態并不改變。第42頁5.定態波函數定態波函數假如波函數(x,,y,z,t)能夠表示為一個空間坐標函數(x,y,z)與一個時間函數乘積，而且整個波函數隨時間改變由因子決定，這個波函數就稱為“定態波函數”。此時粒子所處狀態稱為“定態”。結論：粒子處于定態時，粒子在空間某點概率不隨時間而改變。(x,y,z)通常稱為定態波函數。第43頁例：粒子在一維空間運動，其狀態可用波函數描述為：其中A為任意常數，E和b均為確定常數。求：歸一化波函數；幾率密度？即：解：由歸一化條件，有：解得：第44頁幾率密度如圖所表示，在區間（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0處找到粒子幾率最大。b/2-b/2歸一化波函數：第45頁解：式中：L為勢阱寬度，n為量子數。求：（1）粒子在0xL/4區間出現幾率；并對n=1和n=情況算出概率值。（

2）在n=?量子態上，粒子在x=L/4區間出現概率密度最大。例：已知一維無限深勢阱中粒子歸一化定態波函數為：（1）粒子在0xL/4區間出現幾率：n=1時，n=時，第46頁（2）粒子在x=L/4區間出現概率密度：其最大值對應于第47頁13.5.4不確定關系1.位置與動量不確定關系經典粒子軌道概念在多大程度上適合用于微觀世界？1927年，海森伯分析了一些理想試驗并考慮到德布羅意關系，得出不確定度關系：粒子在同一方向上坐標和動量不能同時確定。電子經過單縫位置不確定范圍x為：x

=

a，入射電子在x方向上無動量。電子經過單縫后，電子要抵達屏上不一樣點，含有x方向動量px，第48頁其第一級衍射角滿足：電子經過單縫后，x方向上動量px大小為：電子在x方向動量不確定量為：由德布羅意關系=h/p，得：即考慮到更高級衍射圖樣，有：即第49頁上述討論只是借助一個特例粗略計算。式中：量子力學嚴格證實給出：推廣到三維空間，則還應有：結論：微觀粒子坐標和動量不可能同時進行準確測量。也就是說，微觀粒子不可能同時含有確定位置和動量。以上三式稱為海森伯坐標與動量不確定關系式。第50頁因為公式通常只用于數量級預計，所以它又常簡寫為：在量子力學中，對能量和時間同時測量也存在類似不確定關系，E表示粒子能量不確定量，而t可表示粒子處于該能態平均時間。2.能量和時間不確定關系能夠證實：凡是共軛量都是滿足不確定關系。

定義：兩個量相乘積與h有相同量綱（J.S）物理量稱為共軛量。第51頁例：氫原子從第四激發態躍遷到第一激發態時所發射光子波長為

，若測定此波長準確度/=10-5，則此光子位置不確定度x