一、數學期望的定義及性質（一）數學期望分為離散型和連續型1、離散型離散型隨機變量的一切可能的取值Xi與對應的概率Pi(=Xi)之積的和稱為該離散型隨機變量的數學期望（設級數絕對收斂），記為E（X）。數學期望是最基本的數學特征之一。它反映隨機變量平均取值的大小。又稱期望或均值。如果隨機變量只取得有限個值，稱之為離散型隨機變量的數學期望。它是簡單算術平均的一種推廣，類似加權平均。E(X)=X1*P(X1）+X2*P(X2)+……+Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn為這幾個數據，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)為這幾個數據的概率函數。在隨機出現的幾個數據中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函數就理解為數據X1,X2,X3，……，Xn出現的頻率f(Xi),則：E(X)=X1*P(X1）+X2*P(X2）+……+Xn*P(Xn)=X1*f1(X1）+X2*f2(X2）+……+Xn*fn(Xn)。2、連續型連續型則是：設連續性隨機變量X的概率密度函數為f（X），若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量的數學期望，記為E(X)。若隨機變量X的分布函數F(X)可表示成一個非負可積函數f(X)的積分，則稱X為連續隨機變量，f(X)稱為X的概率密度函數（分布密度函數）。能按一定次序一一列出，其值域為一個或若干個有限或無限區間，這樣的隨機變量稱為連續型隨機變量。（二）數學期望的常用性質1.設X是隨機變量，C是常數，則E（CX）=CE（X）；2.設X，Y是任意兩個隨機變量，則有E（X+Y）=E（X）+E（Y）；3.設X,Y是相互獨立的隨機變量，則有E（XY）=E（X）E（Y）。對于第一條性質，假設E（X）你的考試成績，C為你們全班人數，則你們全班總分的期望等于全班人數乘以個人的期望，這很好理解。對于第二條性質，E（X）為你的考試成績，E(Y)是小明的考試成績，你和他成績總和的期望當然等于你和他的期望值和。對于第三條性質，我們一再強調是獨立的，也就是相互沒有關聯，有關聯是肯定是不是不等的。二、數學期望在生活中的運用（一）經濟決策問題假設某一超市出售的某種商品，每周的需求量X在10至30范圍內等可能取值，該商品的進貨量也在10至30范圍內等可能取值（每周只進一次貨）超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，可從其他超市調撥，此時超市商品可獲利300元。試計算進貨量多少時，超市可獲得最佳利潤？并求出最大利潤的期望值。

分析：由于該商品的需求量（銷售量）X是一個隨機變量，它在區間[10,30]上均勻分布，而銷售該商品的利潤值Y也是隨機變量，它是X的函數，稱為隨機變量的函數。題中所涉及的最佳利潤只能是利潤的數學期望（即平均利潤的最大值）。因此，本問題的解算過程是先確定Y與X的函數關系，再求出Y的期望E（Y），最后利用極值法求出E（Y）的極大值點及最大值。

先假設每周的進貨量為a，則

Y==利潤Y的數學期望為：

EY=+

=-7.52a2+350a+5250

=-15a+350=0

a=23.33

EY的最大值maxEY=-7.5×+350×+52509333.3元

根據結果可知，周最佳進貨量為23.33（單位），最大利潤的期望值為9333.3元。在經濟活動中，不論是廠家的生產還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化，供大于求或供不應求都不利于獲得最大利潤。但供應量和需求量又不是預先知道的。理性的廠家或商家往往根據過去的數據(概率），用數學期望結合微積分的有關知識，制定最佳的生產或銷售策略。（二）投資方案問題

假設某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，若經濟形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設利率為8%，可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

比較兩種投資方案獲利的期望大小：

購買股票的獲利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(萬元）,存入銀行的獲利期望是E(A2)=0.8（萬元），由于E(A1)>E(A2)，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應采用購買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經濟形勢是一個不確定因素,做出選擇的根據必須是數學期望高的方案。（三）體育比賽問題我國的羽毛球在世界上處于領先水平，技術風格是“快速、兇狠、準確、靈活”；指導思想是“以我為主，以快為主，以攻為主”。現以羽毛球比賽的安排提出一個問題：假設馬來西亞隊和中國隊比賽。賽制有兩種，一種是雙方各出3人,三局兩勝制,一種是雙方各出5人，五局三勝制,哪一種賽制對中國隊更有利？下面,我們利用數學期望解答這個問題。由于中國隊在這項比賽中的優勢，我們不妨設中國隊中每一位隊員對馬來西亞隊員的勝率都為60%。根據前面的分析，下面我們只需要比較兩個隊對應的數學期望即可。在五局三勝制中，中國隊要取得勝利,獲勝的場數有3、4、5三種結果。我們計算三種結果對應的概率。應用二項式定理可知，恰好獲勝三場(即其中兩場失利)對應的概率：；恰好獲勝四場對應的概率為：；五場全部獲勝的概率為：。設隨機變量為x為為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數，則可建立x分布律：X 345P0.34560.25920.07776計算隨機變量X的數學期望:E(X)=30.3465+40.2592+50.07776=2.4651；在三場兩勝制中，中國隊取得勝利，獲勝的場數有2、3兩種結果。對應的概率分別為：恰好獲勝兩場(其中有一場失利)對應的概率：；三場全部獲勝的概率為：。設隨機變量Y為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數,則可建立Y的分布律：Y23P0.4320.216計算隨機變量Y的數學期望:E(Y)=2×0.432+3×0.216=1.512。比較兩個期望值得：E(X)>E(Y)。所以我們可以得出結論，五局三勝制對中國隊更有利。 （四）抽獎問題假設某百貨超市現有一批快到期的日用產品急需處理，超市老板設計了免費抽獎活動來處理掉了這些商品。紙箱中裝有大小相同的個球，個分，個分，從中摸出個球，摸出的個球的分數之和即為中獎分數，獲獎如下：一等獎分，空調一個，價值元；二等獎分，微波爐一個，價值元；三等獎分，沐浴露6瓶，價值元；四等獎分，沐浴露3瓶，價值元；五等獎分，沐浴露1瓶，價值元；六等獎分，洗面奶一瓶，價值元；七等獎分，洗衣粉一袋，價值元；八等獎分，香皂一塊，價值元；九等獎分，牙刷一把，價值元；十等獎分與分為優惠獎，只收成本價元，將獲得洗發露一瓶；解析：表面上看整個活動對顧客都是有利的，一等獎到就等獎都是白得的，只有十等獎才收取一點成本價。但經過分析可以知道商家真的就虧損了嗎？顧客就真能從中獲得抽取大獎的機會嗎？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了。摸出個球的分值只有種情況，用X表示摸獎者獲得的獎勵金額數，一等獎等分分，其對應事件，的取值為，概率可以類似求出，其概率分布為：X250010001768844P0.0000050.0000050.0005410.0005410.01096X8532P0.0779410.2386930.0779410.010960.582411表明商家在平均每一次的抽獎中將獲得元，而平均每個抽獎者將花元來享受這種免費的抽獎。從而可以看出顧客根本沒有占到什么便宜。相反，商家采用這種方法不僅把快要到期的商品處理出去了，而且還為超市大量集聚了人氣，為一舉多得的手法。此百貨超市老板運用數學期望估計出了他不會虧損而做了這個免費抽獎活動，最后一舉多得，從中也看出了數學期望這一科學的方法在經濟決策中的重要性。隨著社會生活的豐富，人們購買彩票，談論彩票中獎的熱潮正在興起。報紙上不時發表談論彩票的文章，有時也談到摸彩與數學的關系。但眾所紛紜，也說不詳，論也不確。眾所周知，彩票抽獎屬于“獨立隨機事件”，彩票預測違背科學。但從總體上來說，中獎號碼有服從于某些統計規律。為了研究彩票中的概率統計問題，我們選取了體育彩票和七樂彩及一些簡單的模擬實驗來幫助我們研究，例如：我們進行了模紅白球的實驗，先進性簡單的概率計算問題，我們又以體育彩票和七樂彩為輔助實驗并根據。由此我們計算出體彩的中獎概率如下（以一注為單位）特等獎P0=1/10000000；一等獎P1=1/1000000；二等獎P2=20/1000000；三等獎P3=300/1000000；四等獎P4=4000/1000000；五等獎P5=50000/1000000；P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543211。這就是說每1000注彩票約有54注中獎，經過公式計算我們計算出了七樂彩的中獎概率：一等獎：C30~1/2035；二等獎：P1=1/290829；三等獎：P2=1/13219；四等獎：P3=1/4406；五等獎：P4=1/420；六等獎：P5=1/252；七等獎：P6=1/38。一般來說，各類彩票各獎級的中獎幾率總和在4%-5%左右。如果要中獎金數目大的最高獎，概率一般為幾十萬至幾百萬分之一，難度更為大，是可遇而不可求的。對于購買題材只能是本著對中國體育事業支持的想法，而不能對回報有過高的期望。彩票的中獎概率與數學里的數理統計學有著密切的關系，通過統計概率，我們可以更好的發現數理統計學與生活的密切關系。在彩票市場異常火爆的今天，我們要作一個理性的彩迷，對彩票持有正確的認識，買彩票是彩民的一個愛好，一種自愿的活動，理智的彩民不該抱著賭博的心態，孤注一擲，投入極大的資金，應量力而出以平常健康重在參與的心態買彩票。（六）醫療問題在某地區進行某種疾病普查，為此要檢驗每個人的血液，如果當地有N個人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，現在要問：有沒有辦法減少檢驗的工作量？我們先把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起進行檢驗，如果檢驗的結果為陰性，這說明k個人的血液全為陰性，因而這k個人總共只要檢驗一次就夠了，檢驗的工作量顯然是減少了，但是如果檢驗的結果是陽性，為了明確k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗，這時k個人檢驗的總次數為k+1次，檢驗的工作量反而有所增加，顯然，這時k個人需要的檢驗次數可能只要1次，也可能要檢驗k+1次，是一個隨機變量，為了和老方法比較工作量的大小，應該求出它的平均值（也是平均檢驗次數）。在接受檢驗的人群中，各個人的檢驗結果是陽性還是陰性，一般都是獨立的（如果這種病不是傳染病或遺傳吧遺傳病），并且每個人是陽性結果的概率為p，就是陰性結果的概率為q=1-p，這時k個人一組的混合血液呈陰性結果的概率為，呈陽性結果的概率則為1－,現在令η為k個人一組混合檢驗時每人所需的檢驗次數，由上述討論可知η的分布列為：η1+P1-由此即可求得每個人所需得平均檢驗次數為Eη=.+（1+）（1-）=1-+而按原來得老方法每人應該檢驗1次，所以當1-+＜1，即q＞時，用分組的辦法（k個人一組）就能減少檢驗的次數，如果q是已知的，還可以從Eη=1-+中選取最合適的整數，使得平均檢驗次數Eη達到最小值，從而使平均檢驗次數減少。對一些不同的p值，如下表給出了使Eη達到最小的值：陽性反應率陽性反應率0.14030.01680.130390.120490.11040.01390.10040.012100.09040.011100.08040.010110.07040.009110.06050.008120.05050.007120.04060.006130.03060.005150.02080.015160.01980.014190.01880.002230.01780.00132我國某醫療機構在一次普查中，由于采用了上述這種分組的方法，結果每100個人的平均檢驗次數為21，減少工作量達79%。當然，減少的工作量的大小與p的數值由關，也與每組人數k有關。（七）求職決策問題有三家公司為大學畢業生甲提供應聘機會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為x、y、z，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位。每家公司根據面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位。按規定，雙方在面試后要立即做出決定提供，接受或拒絕某種職位，且不能毀約。咨詢專家在為甲的綜合素質和學業成績進行評估后，認為甲獲得極好、較好和一般的可能性依次為0.2、0.3和0.4。則三家公司的工資承諾如表：公司極好好一般x350030002200y390029502500c400030002500如果甲在選擇時把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的各種職位應作何種選擇？分析：由于面試從x公司開始，甲在選擇x公司三種職位是必須考慮后面y、z公司提供的工資待遇，同樣在y公司面試后，也必須考慮z公司的待遇。因此我們先從z公司開始討論。由于z公司工資期望值為：（）=40000.2+30000.3+25000.4=2700元再考慮y公司，由于y公司一般職位工資只有2500，低于z公司的平均工資，因此甲在面對y公司時，只接受極好和好兩種職位，否則去z公司。如此決策時加工資的期望值為：（）=39000.2+29500.3+27000.5=3015元最后考慮x公司，x公司只有極好職位工資超過3015，因此甲只接受公司的極好職位。否則去y公司。甲的整體決策應是如此：先去x公司應聘，若x公司提供極好職位就接受。否則去y公司，若y公司提供極好或好