第13講解析幾何中的定點定值最值問題高考預測一：最值問題類型一：弦長或面積問題1．如圖，已知拋物線SKIPIF1<0的焦點在拋物線SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的動點．（Ⅰ）求拋物線SKIPIF1<0的方程及其準線方程；（Ⅱ）過點SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為兩個切點，求SKIPIF1<0面積的最小值．【解析】解：（Ⅰ）拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其準線方程為SKIPIF1<0．（Ⅱ）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的導數為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則切線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都過SKIPIF1<0點，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．聯立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值為2．即SKIPIF1<0面積的最小值為2．2．已知橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于兩個不同的點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值SKIPIF1<0為坐標原點）【解析】解：（1）SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）聯立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面積：SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0面積取最大值SKIPIF1<0．3．已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長是短軸長的SKIPIF1<0倍，且橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設不與坐標軸平行的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（1）由題意可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入橢圓方程：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0；（2）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，上式取等號，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．4．已知橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，且一個焦點為SKIPIF1<0．過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）將SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0的函數，并求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（Ⅰ）由題意，設橢圓的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，且一個焦點為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）由題意知，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，代入橢圓方程可得SKIPIF1<0設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號）SKIPIF1<0的最大值為2．5．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【解析】解：（1）由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入橢圓方程SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的標準方程：SKIPIF1<0．（2）（ⅰ）當SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，并化簡得SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，上式取等號．（ⅱ）當SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0或斜率不存在時，四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．綜上，四邊形SKIPIF1<0的面積的最小值為SKIPIF1<0．6．設圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸不重合，SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．（Ⅰ）證明SKIPIF1<0為定值，并寫出點SKIPIF1<0的軌跡方程；（Ⅱ）設點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的直線與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）證明：圓SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，可得圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓，且有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）橢圓SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值12，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．7．已知橢圓SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且四邊形SKIPIF1<0是矩形，求矩形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的最大值【解析】解：（1）由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由題意知直線SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸時，可設直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0設直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0．類型二：涉及坐標、向量數量積等問題8．已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點．SKIPIF1<0求過點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并且與橢圓的左準線SKIPIF1<0相切的圓的方程；SKIPIF1<0設過點SKIPIF1<0且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，線段SKIPIF1<0的垂直平分線與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0橫坐標的取值范圍．【解析】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0圓過點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上．設SKIPIF1<0，則圓半徑SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所求圓的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0過橢圓的左焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程有兩個不等實根．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0橫坐標的取值范圍為SKIPIF1<0．9．已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記動點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，（1）求動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；（2）直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0．（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0△SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，韋達定理代入，化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足題意．綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．如圖所示，橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于點SKIPIF1<0的任意一點，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱．（Ⅰ）若點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）若橢圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）依題意，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（Ⅱ）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①因為SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．②由①，②消去SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0時，上式等號成立．所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；（2）設過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交軌跡SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍．【解析】解：（1）設動點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2分）由已知得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0點SKIPIF1<0的軌跡是橢圓SKIPIF1<0（6分）（Ⅱ）設過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0在橢圓內，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（12分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（14分）高考預測二：定值問題12．已知焦距為SKIPIF1<0的橢圓中心在原點SKIPIF1<0，短軸的一個端點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與該橢圓在第一象限內的交點，平行SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0解：設橢圓的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意可得SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0證明：聯立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯立SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，其分子SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．13．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）如圖，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的上方，若SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長度．【解析】解：（1）由橢圓的離心率SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓的標準方程為：SKIPIF1<0；（2）設直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的長度4．14．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）已知點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．過點SKIPIF1<0任作直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足的關系式．【解析】解：（Ⅰ）依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）（Ⅱ）①當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關系式為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）②當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0整理化簡得，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（9分）又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關系式為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（13分）綜上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關系式為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）15．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以橢圓短軸為直徑的圓經過點SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，設點SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，問：SKIPIF1<0是否為定值？并證明你的結論．【解析】解：（1）SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以橢圓短軸為直徑的圓經過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0是定值．證明如下：設過SKIPIF1<0的直線：SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0①SKIPIF1<0時，代入橢圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0代入橢圓，SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考預測三：定點問題16．已知橢圓SKIPIF1<0的中心在坐標原點，右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的動點，且SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）是否存在一定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得當過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點時，SKIPIF1<0為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）設橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．聯立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）假設存在一定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得當過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點時，SKIPIF1<0為定值．當SKIPIF1<0軸時，把SKIPIF1<0代入橢圓方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時，設直線SKIPIF1<0的參數方程為SKIPIF1<0為參數），代入橢圓方程可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1