2023學年高考數學模擬測試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．第24屆冬奧會將于2023年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環所占面積與單獨五個環面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內隨機取N個點，經統計落入五環內部及其邊界上的點數為n個，已知圓環半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．2．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．3．已知定義在上的奇函數和偶函數滿足（且），若，則函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．4．是的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．846．若復數滿足，則（）A． B． C． D．7．已知復數z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數,則實數a等于()A． B． C．- D．-8．已知實數集，集合，集合，則（）A． B． C． D．9．設數列是等差數列，，.則這個數列的前7項和等于（）A．12 B．21 C．24 D．3610．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．611．設、，數列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數，使得恒成立B．對于任意，都存在實數，使得恒成立C．對于任意，都存在實數，使得恒成立D．對于任意，都存在實數，使得恒成立12．已知數列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實數λ的值是__．14．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．15．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．設數列的前n項和為，且，若，則______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.18．（12分）已知函數．（1）時，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范圍．19．（12分）已知函數.（1）若函數不存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；（2）若函數的兩個極值點為，，求的最小值.20．（12分）已知橢圓的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點為橢圓上一點，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.21．（12分）如圖所示的幾何體中，，四邊形為正方形，四邊形為梯形，，，，為中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數（1）若，試討論的單調性；（2）若，實數為方程的兩不等實根，求證：.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

根據比例關系求得會旗中五環所占面積，再計算比值.【題目詳解】設會旗中五環所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【答案點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.2、A【答案解析】

根據或，驗證交集后求得的值.【題目詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【答案點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.3、D【答案解析】

根據函數的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據復合函數的單調性，即可求出結論.【題目詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為.故選:D.【答案點睛】本題考查求函數的解析式、函數的性質，要熟記復合函數單調性判斷方法，屬于中檔題.4、B【答案解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系，即可得出。【題目詳解】設對應的集合是，由解得且對應的集合是，所以，故是的必要不充分條件，故選B。【答案點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關系法。設，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。5、D【答案解析】

利用等差數列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質，即得解【題目詳解】，解得．．故選：D【答案點睛】本題考查了等差數列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.6、B【答案解析】

由題意得,,求解即可.【題目詳解】因為,所以.故選:B.【答案點睛】本題考查復數的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.7、A【答案解析】分析：計算，由z1，是實數得，從而得解.詳解：復數z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復數共軛的概念，屬于基礎題.8、A【答案解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【題目詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【答案點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.9、B【答案解析】

根據等差數列的性質可得，由等差數列求和公式可得結果.【題目詳解】因為數列是等差數列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【答案點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，性質，等差數列的和，屬于中檔題.10、D【答案解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【題目詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【答案點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．11、D【答案解析】

取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【題目詳解】取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當時，數列單調遞增，則；當時，數列單調遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【答案點睛】本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．12、C【答案解析】

利用證得數列為常數列，并由此求得的通項公式.【題目詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數列，所以，故.故選：C【答案點睛】本小題考查數列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

根據平面向量的數量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【題目詳解】解：由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【答案點睛】本題考查了單位向量和平面向量數量積的運算問題，是中檔題．14、【答案解析】

根據題意，畫出可行域，將目標函數看成可行域內的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【題目詳解】可行域如圖所示，易知當，時，的最大值為．故答案為：9.【答案點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規劃問題，屬于中檔題.15、192【答案解析】

根據題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數原理計算可得答案．【題目詳解】根據題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【答案點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．16、9【答案解析】

用換中的n，得，作差可得，從而數列是等比數列，再由即可得到答案.【題目詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數列為首項為-3、公比為3的等比數列，所以.故答案為：9.【答案點睛】本題考查已知與的關系求數列通項的問題，要注意n的范圍，考查學生運算求解能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）見解析.【答案解析】

（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；（2）求得，寫出直線的參數方程，將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結論.【題目詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標方程為.將直線的極坐標方程化為普通方程得，聯立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數方程為（為參數），代入的普通方程得，，因此，.【答案點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線參數幾何意義的應用，涉及韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）（2）【答案解析】

(1)代入可得對分類討論即可得不等式的解集;(2)根據不等式在上恒成立去絕對值化簡可得再去絕對值即可得關于的不等式組解不等式組即可求得的取值范圍【題目詳解】（1）當時，不等式可化為，①當時，不等式為，解得；②當時，不等式為，無解；③當時，不等式為，解得，綜上，原不等式的解集為．（2）因為的解集包含于，則不等式可化為，即．解得，由題意知，解得，所以實數a的取值范圍是．【答案點睛】本題考查了絕對值不等式的解法分類討論解絕對值不等式的應用,含參數不等式的解法.難度一般.19、（1）（2）【答案解析】分析：（1）先求導，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到，再求得，再構造函數再利用導數求其最小值.詳解：（1）由函數有意義，則由且不存在單調遞減區間，則在上恒成立，上恒成立（2）由知，令，即由有兩個極值點故為方程的兩根，，，則由由，則上單調遞減，即由知綜上所述，的最小值為.點睛：（1）本題主要考查利用導數求函數的單調區間和極值，考查利用導數求函數的最值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點有兩個，其一是求出,其二是構造函數再利用導數求其最小值.20、(1).(2)為定值.過程見解析.【答案解析】分析：（1）焦距說明，用點差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時，直線方程為，設，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長公式計算出弦長，同時直線方程為，代入橢圓方程可得點坐標，從而計算出，最后計算即可.詳解：（1）由題意可知，設，代入橢圓可得：，兩式相減并整理可得，，即.又因為，，代入上式可得，.又，所以，故橢圓的方程為.（2）由題意可知，，當為長軸時，為短半軸，此時；否則，可設直線的方程為，聯立，消可得，，則有：，所以設直線方程為，聯立，根據對稱性，不妨得，所以.故，綜上所述，為定值.點睛：設直線與橢圓相交于兩點，的中點為，則有，證明方法是點差法：即把點坐標代入橢圓方程得，，兩式相減，結合斜率公式可得.21、（1）見解析；（2）【答案解析】

(1)取的中點，結合三角形中位線和長度關系，為平行四邊形，進而得到，根據線面平行判定定理可證得結論；(2)以，，為，，軸建立空間直角坐標系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據二面角為銳角確定最終二面角的余弦值；【題目詳解】（1）取的中點，連結，因為為中點，，，所以，，∴為平行四邊形，所以，又因為，所以；（2）由題及（1）易知，，兩兩垂直，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標系,則，，，，，，易知面的法向量為設面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【答案點睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關鍵，屬于中檔題.22、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【答案解析】

（1）根據題意得，分與討論即可得到函數的單調性；（2）根據題意構造函數，得，參變分