第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式.2.掌握由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.通過由數(shù)列的遞推公式歸納或者推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).新知探究歷史上有一個(gè)有名的關(guān)于兔子的問題：假設(shè)有一對(duì)兔子(一雄一雌)，長兩個(gè)月它們就算長大成年了.然后每個(gè)月都會(huì)生出1對(duì)兔子，生下來的兔子也都是長兩個(gè)月就算成年，然后每個(gè)月也都會(huì)生出1對(duì)兔子.這里假設(shè)兔子不會(huì)死，且每次都是只生1對(duì)兔子.第一個(gè)月，只有1對(duì)兔子；第二個(gè)月，小兔子還沒長成年，還是只有1對(duì)兔子；第三個(gè)月，兔子長成年了，同時(shí)生了1對(duì)小兔子，因此有兩對(duì)兔子；南方繞彎第四個(gè)月，成年兔子又生了1對(duì)兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3對(duì)兔子；第五個(gè)月，成年兔子又生了1對(duì)兔子，第三月生的小兔子現(xiàn)在已經(jīng)長成年了且生了1對(duì)小兔子，加上本身兩只成年兔子及上月生的小兔子，共5對(duì)兔子；問題1過了一年之后，會(huì)有多少對(duì)兔子？提示我們可以把這些兔子的數(shù)量以對(duì)為單位列出數(shù)字就能得到一組數(shù)字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，過了一年之后，總共會(huì)有233對(duì)兔子.問題2兔子的對(duì)數(shù)所組成的數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，…這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an，第n＋1項(xiàng)an＋1，第n＋2項(xiàng)an＋2有何關(guān)系？提示

an＋an＋1＝an＋2.1.數(shù)列的遞推公式

如果一個(gè)數(shù)列的__________或______之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.2.數(shù)列的前n項(xiàng)和 (1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝_________________. (2)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的________之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.相鄰兩項(xiàng)多項(xiàng)a1＋a2＋…＋an序號(hào)n南方繞彎3.an與Sn的關(guān)系式拓展深化[微判斷]1.數(shù)列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，則a2＝2a1.()2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以確定數(shù)列{an}.()

提示

只有給出a1的值，才可以確定數(shù)列{an}.3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝Sn－Sn－1.(

)√××[微訓(xùn)練]1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an＋1，則數(shù)列的第5項(xiàng)a5＝________，由此歸納出{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為________，可以求得a8＝________.

解析

∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.

答案

63

an＝2n＋1－1

511南方繞彎2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n－3，則an＝________.[微思考]1.利用數(shù)列的遞推公式確定一個(gè)數(shù)列，必須給出哪些條件？提示

(1)“基礎(chǔ)”，即第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；(2)遞推關(guān)系，即遞推公式.南方繞彎2.數(shù)列的遞推公式與其通項(xiàng)公式有何異同？提示

相同點(diǎn)不同點(diǎn)通項(xiàng)公式均可確定一個(gè)數(shù)列，求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)給出n的值，可求出數(shù)列中的第n項(xiàng)an遞推公式由前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，通過一次(或多次)運(yùn)算，可求出第n項(xiàng)an規(guī)律方法遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.對(duì)于通項(xiàng)公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng)，而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，才可依次求得其他的項(xiàng).若項(xiàng)數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.南方繞彎A.22 B.24C.26 D.28所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，故a22＝a28＝3.答案

AD題型二由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)【例2】

(1)對(duì)于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通項(xiàng)an；解

(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－1，n∈N*.南方繞彎…南方繞彎南方繞彎【遷移2】把例3中數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和改為Sn＝2n－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵Sn＝2n－1，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.規(guī)律方法已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n＝1時(shí)，a1＝S1求得a1，再由n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示，不符合則分段表示.【訓(xùn)練3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2＋n＋3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

∵Sn＝2n2＋n＋3，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1不符合上式，南方繞彎一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)或通項(xiàng)公式，提升邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法有：(1)歸納法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.答案C2.數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是(

)A.an＝an－1＋2(n≥2)B.an＝2an－1(n≥2)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)解析A，B中沒有說明某一項(xiàng)，無法遞推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合題意.答案C南方繞彎3.已知數(shù)列{an}中，an＋1＝2an對(duì)?n∈N*成立，且a3＝12，則a1＝________.解析

∵a3＝2a2＝12