則稱a是差分方程F(n,x,x,,x)=0的平衡點，又對該差分方程的任意由nn+1n+k初始條件確定的解x=x(n)，均有nlimx=annTg則稱這個平衡點a是穩定的；否則是不穩定的下面給出一些特殊差分方程的平衡點和穩定性。一階常系數線性差分方程一階常系數線性差分方程的一般形式為TOC\o"1-5"\h\zx+ax=b，(6)n+1n其中a,b為常數，且a1,0。它的通解為bx=C(-a)n+(7)na+1b易知丄是方程(6)的平衡點，由(7)式知，當且僅當a+1|a|<1b時，——是方程(6)的穩定的平衡點。a+1二階常系數線性差分方程二階常系數線性差分方程的一般形式為x+ax+bx=r，(8)n+2n+1n其中a,b,r為常數，當r=0時，它有一特解x*=0，當r豐0，且a+b+1豐0時，它有一特解rx*=—a+b+1不管是哪種情形，x*是方程⑻的平衡點。設方程⑻的特征方程為九2+a九+b=0的兩個根分別為九=九，九=九，貝U12①當九，九是兩個不同的實根時，方程⑻的通解為TOC\o"1-5"\h\zx=x*+C(九)n+C(九)n；

n1122②當九=X=X是兩個相同實根時，方程(8)的通解為12x=x*+(C+Cn)入nn12③當九二p(cos0+isin0)是一對共軛復根時，方程⑻的通解為1,2x=x*+pn(Ccosn0+Csinn0)n12易知，當且僅當特征方程的任一特征根卜J<1時，平衡點x*是穩定的。一階非線性差分方程一階非線性差分方程的一般形式為x二f(x)(9)n+1n其平衡點x*由代數方程x=f(x)解出為了分析平衡點x*的穩定性，將方程(9)的右端f(x)在x*點作泰勒展開，只n取一次項，得到TOC\o"1-5"\h\zx-f'(x*)(x一x*)+f(x*)(10)n+1n(10)是(9)的近似線性方程，x*是(10)的平衡點，根據一階常系數線性差分方程(6)x+ax=b的穩定性判定的相關結論，得：n+1n當|f'(x*)|<1時，方程(9)的平衡點是穩定的；當f'(x*)>1時，方程(9)的平衡點是不穩定的。差分方程建模實例1．貸款買房問題某居民買房向銀行貸款6萬元，利息為月利率1%，貸款期為25年，要求建立數學模型解決如下問題：問該居民每月應定額償還多少錢假設此居民每月可節余700元，是否可以去買房

確定參變量：用n表示月份，A表示第n個月欠銀行的錢，r表示月利n率，x表示每月還錢數，A表示貸款額。0模型的建立與求解1)模型的建立時間欠銀行款初始A0一個月后A=A(1+r)-x10二個月后A=A(1+r)-x21三個月后A=A(1+r)-x32n個月后A=A(1+r)-xnn-1由上表可得相鄰兩個月的遞推關系式A=A(1+r)一x

nn-1模型的求解：(1)差分方程求解方法先求其特解。令A先求其特解。令A二A二y，nn-1得特解為y=。r再求對應齊次方程A二A(1+r)的通解。對應的特征方程為nn-1九—(1+r)=0，得X=(1+r)。齊次方程的通解為：c(1+r)n因此原方程的通解為：xA=c(1+r)n+—

nr又因為n=0時A=A，得c=A——n00r故(2)遞推法：A=A(1+r)n一x1+U+rn0A=60000,A=0,n=300,r=

0300得A(1+r)n60000x(1+0.01)300一x=0=q632兀(1+r)n一1(1+0.01)300一1r0.01因此,該居民每月應償還632兀。又632<700,所以該居民可以去買房。2．借貸問題中國建設銀行北京市分行個人住房貸款一至二十年“月均還款金額表”（自1998年3月25日起執行）的一部分如下：（借款額為一萬兀）單位：兀貸款期限（年）年利率（%）還款總額（元）利息負擔總和（元）月均還款額（元）1520試問他們是怎樣算出來的借貸問題的數學模型符號說明以貸款期限20年為例:借貸額A0=10,000;貸款期限為N年;月利率r二10.206/12二0.008505;"月均還款額”——表示每月還款額是相同的，記為x還款總額記為S.建立模型開始借款A二10,000，一個月后欠銀行本利為A二A(1+r),但為了減010少欠款，還了x元，因而A二A(1+r)-x，第k個月情況也是這樣的，即10A=A(1+r)一x,k=1,2，?…,Nkk-1注意到了第N個月已經不欠銀行的錢了，即A=0，因此，我們得到以下的數N學模型:A=A(1+r)一xkk-1k=1,2,…N<A,x,NKnown0FindoutsuchthatA=0N數學模型的求解首先求出用已知量表出的表達式。由A=A(1+r)一x=[A(1+r)一x](1+r)一x=A(1+r)2一x[1+(1+r)]2100可以猜想，并用數學歸納法證明:A=A(1+r)k一x[1+(1+r)+(1+r)2hf(1+r”一1]k0由等比數列前k-1項的求和公式知：xA=A(1+r)k—[(1+r)k—1],k=1,2,…Nk0r再由A=0，得到：NAr(1fr)Nx=0—[(1+r)n一1]把已知量帶入，就得到表中的x3．生物種群數量問題一．問題的提出種群的數量問題是當前世界上引起普遍關注的一個問題。要預測未來種群的數量，最重要的影響因素是當前的種群數量，今后一段時間內種群的增長狀況和環境因素。由于隨著種群數量增加到一定的程度后，種群在有限的生存空間進行競爭，種群的增長狀況會隨著種群數量的增加而減少，而且在有限的生存空間，種群數量也不可能無限增長，假設只能達到某一固定的數量值記為x，稱為最大種群容量。又假設單位時間內種群數量的增長量與當時種群數量mx的比記為：r(x)=r-sx,r、s>0,其中r相當于x=0時的增長率，稱為固有增長率，記當前(即t=0時)種群數量為x，時刻t種群數量為x(t)。若利用統計0數據可知x，r，x，則m0設x(t)為連續、可微函數，請給出未來時間里種群數量滿足的數學模型。由于某些種群是在固定的一段時間內進行繁殖，所以可用種群繁殖周期作為時間段來研究其增長狀況。請給出未來時間里這類種群數量應滿足的離散數學模型。二.問題分析與模型建立由于r(x)為單位時間內種群數量的增長量與當時種群數量的比，所以t到t+At時間內種群數量的增量為x(t+At)-x(t)=r(x)x(t)At(1)又由于r(x)=r-sx,而當x=x時增長率應為零，即r(x)=0，所以mms=—，貝Vxmrr(x)=r一——x，x

把它代入方程(1)得:rx(t+At)一x(t)=(r一)x(t)At(2)xm此方程兩邊同除At，并令AtT0，加上初始條件x(0)二x可得未來任意時刻t0種群數量所滿足的數學模型為：dx<dt(3)<dt(3)x(0)=x0由于是利用種群繁殖周期作為時段來研究種群增長狀況，則令At二1，t視為整數及r(x)二r-丄x代入方程⑴得:xmrx(t+1)一x(t)=(r一)x(t)(4)xm加上初始條件x(0)二x得任意時刻t種群數量所滿足的離散型數學模型為0rx(t+1)=(r+1一——)x(t)<xmx(0)=x0通過這個差分方程就可以很容易得到任意時刻t種群的數量。三．模型求解x(t)=1.利用x(t)=m—1e-rtMathematica源程序為:DSolve[x'(t)一r*(1一x[t]/xm)*x[t]==0,x[t],t]2?根據方程(2),只要給出初值x0就可以很容易進行遞推而得到任意時刻t種群的數量。結果分析上面方程(3)有時稱為阻滯增長模型或Logistic模型，它有著廣泛的應用。例如傳染病在封閉地區的傳播，耐用消費品在有限的市場上的銷售等現象，都可以合理的、簡化的用這個模型來進行描述。但它存在不足，因為隨著環境的變遷，最大種群容量可能會發生變化，而且最大種群容量也不容易準確得到。一方面，用離散化的時間來研究問題有時是很方便的，尤其出現了計算機以后，人們可以很方便的對問題進行求解；另一方面，對這個種群數量問題，由于許多種群實際上是由單一世代構成的，在相繼的世代之間幾乎沒有重疊，所以種群的增長是分步進行的。這種情況下，為了準確的描述種群的數量動態就不能用微分方程，而應利用離散的模型來描述。人口的控制與預測模型問題的提出常見的兩個常微分方程模型(馬爾薩斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)沒有考慮到社會成員之間的個體差異，即不同年齡、不同體質的人在死亡、生育方面存在的差異。完全忽略了這些差異顯然是不合理的。但我們不可能對每一個人的情況逐個加以考慮，故僅考慮年齡的差異對人口的變動的影響，即假設同一年齡的人具有相同的死亡率和生育能力，這樣建立的模型不但使我們能夠更細致的預測人口總數，而且能夠預測老年人口、勞動力人口、學齡人口等不同年齡組的人口信息.下面來建立離散的差分數學模型來表現人口數量的變化規律。模型的建立與求解設x(t)為第t年年齡為k的人口數量，k=0,1,2,100，即忽略百歲以上的人k口。如果知道了第t年各年齡組的人口數，各年齡組人口的生育及死亡狀態，就可以根據人口發展變化規律推得第t+1年各年齡組的人口數。首先引入k歲人口的死亡率和k歲育齡婦女的年生育率這兩個概念，他們的含義和記號如下：k歲人口的年死亡率：丿一年內k歲的死亡人數d=k這年內k歲的人口數k歲婦女的年生育率：人一年內k歲婦女生育的嬰兒數b二k這年內k歲婦女人數第t+1年k+1歲的人口數就是第t年k歲人口數扣除它在該年的死亡人數，即x(t+1)=(1一d)x(t)，k+1kk令p二1-d稱為k歲人口的存活率，故各年齡組人口隨時間的變化規律可用遞kk推公式x(t+1)=px(t),(k=0,1,…,99)k+1kk來表示。再考慮到零歲的人數x(t+1)二畀bu(t)x(t)，0kkkk=0其中u(t)x(t)為第t年k歲的婦女人數，u(t)為第t年k歲人口的女性比(占全kkk部k歲人口數)，bu(t)x(t)就是第t年k歲婦女所生育的嬰兒數.由此得到的人kkk口模型是：x(t+1)=畀bu(t)x(t)<0kkk(;k=0'x(t+1)=px(t),k=0,1,…,99k+1kk根據人的生理特征和人口學中的習慣，婦女的育齡區間一般取為15歲至49歲之間，即當k<15和k>49時，b=0，令kx(t)=(x(t),x(t)，…,x(t)，…,x(t))T01k100

'u(t)b00p00'u(t)b00p00u(t)b110p1u(t)b2200u(t)bu(t)b'9999100100000000099則人口模型（1）的矩陣形式為x(t+1)=Lx(t)(2)其中L稱為萊斯利（Lwslie）矩陣.當第10年的人口狀況已知時，從式（2）就可以推得第t年的人口為x(t+1)=L-t0x(t).0市場經濟中的蛛網模型在自由競爭的市場經濟中，商品的價格是由市場上該商品的供應量決定的，供應量越大，價格就越低。另一方面，生產者提供的商品數量又是由該商品的價格決定的，價格上升將刺激生產者的生產積極性，導致商品生產量的增加。反之，價格降低會影響生產者的積極性，導致商品生產量的下降。在沒有外界干擾的情況下，這種現象將如此反復下去。這樣的需求和供應關系決定了市場經濟中商品的價格和數量必然是振蕩的。這種振蕩越小越好，如果振蕩太大就會影響人民群眾的正常生活。(1)商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定(2)當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定下面用差分方程理論建模，討論市場經濟趨于穩定的條件，再用圖形方法建立“蛛網模型”對上述現象進行分析，對結果進行解釋，然后作適當推廣。模型的假設和符號說明記第n時段商品數量為x，價格為y,n=1,2,。nn這里我們把時間離散化為時段，1個時段相當于商品的1個生產周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉類可以是一個飼養周期。在n時段商品的價格y取決于數量x。設y=f(x)。它反映消費者對nnnn這種商品的需求關系，稱為需求函數。因為商品的數量越多，價格越低。需求函數在圖1中用一條下降的曲線f表示，f稱為需求曲線。在n+1時段商品的數量x由上一時段的價格y決定，用x=g(y)n+1nn+1n表示。它反映生產者的供應關系，稱為供應函數。因為價格越高，生產量越大。供應函數在圖1中用一條上升的曲線g表示，g稱為供應曲線。圖1商品供求關系曲線模型的建立與求解設需求曲線f和供應曲線g相交于點P(x,y)，在P附近取函數f和g的0000線性近似，即需求曲線f：TOC\o"1-5"\h\zy一y=-a(x一x),a>0(11)n0n0供應曲線gx-x=0(y-y),B>0(12)n+10n0由式(11)(12)消去y，得到一階線性差分方程nx=—a0x+(1+)x,n=1,2，?…(13)n+1n0因此x是其平衡點，即P是平衡點。對式(13)進行遞推，得00x—(—)nx+[1—(—)n]x，n=1,2，?…n+110由此可得，平衡點穩定的條件是：幺卩<1；不穩定的條件是：幺卩>1。下面用圖形解釋此模型。若對某一個k有x—x，則由(11)式得，當n>k時x—x，從而y—y，即k0n0n0商品的數量和價格將永遠保持在P(x,y)點。但是實際生活中的種種干擾使得000x,y不可能停止在P(x,y)上。不妨設x偏離x(見圖2,圖3),我們來分析nn00010隨著隨著n圖2P點是穩定的0數量X給定后，價格y由曲線f上的P點決定，下一時段的數量兀2由曲線g上的P點決定，這樣得到一序列的點P(x,y),P(x,y),P(x,y),2111222333P(x,y)，…,在圖2上，這些點將按照箭頭所示方向趨向P(x,y)，表明444000P(x,y)是穩定的平衡點，意味著市場經濟(商品的數量和價格)將趨向穩定。000但是如果需求函數和供應函數由圖3的曲線所示，則類似的分析發現，市場將按照P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)，…，的規律變化為遠離111222333444P(x,y)，即P(x,y)是不穩定的平衡點，市場經濟趨向不穩定。000000圖3P點是不穩定的0圖2和圖3中折線PPPP形似蛛網，于是這種用需求曲線和供應曲線分1234析市場經濟穩定性的圖示法在經濟學中被稱為蛛網模型。實際上，需求曲線f和供應曲線g的具體形式通常是根據各個時段商品的數量和價格的一系列統計資料得到的。一般地說，f取決于消費者對這種商品地需要程度和他們地消費水平，g則與生產者的生產能力，經營水平等因素有關。下面來解釋此模型的實際意義。①首先來考慮參數a,卩的含義。需求函數f的斜率a（取絕對值）：表示商品供應量減少1個單位時價格的上漲幅度；供應函數g的斜率P:表示價格上漲1個單位時（下一時期）商品供應增加量。a的值反映消費者對商品需求的敏感程度。如果這種商品是生活必需品，消費者處于持幣待購狀態，商品數量稍缺，人們立即蜂擁購買，那么a會比較大；反之，若這種商品非必需品，消費者購物心理穩定，或者消費水平低下，則a會比較小。P的數值反映生產經營者對商品價格的敏感程度。如果他們目光短淺，熱衷于追逐一時的高利潤，價格稍有上漲立即大量增加生產，那么P會比較大；反之，若他們目光長遠，則P會比較小。根據a,卩的意義很容易對市場經濟穩定與否的條件作出解釋。當供應函數g的斜率P固定時，a越小，需求曲線越平，表明消費者對商品需求的敏感程度越小，越有利于經濟穩定。當需求函數f的斜率a固定時，P越小，供應曲線越陡，表明生產者對價格的敏感程度越小，越有利于經濟穩定。反之，當a,卩較大，表明消費者對商品的需求和生產者對商品的價格都很敏感，則會導致經濟不穩定。經濟不穩定的解決方案當市場經濟趨向不穩定時，政府有兩種干預辦法：一種辦法是控制價格，無論商品數量多少，命令價格不得改變，于是a二0;不管曲線g如何，總是穩定的；另一種辦法是控制市場上的商品數量，當上市量小于需求時，政府從外地收購或調撥，投入市場，當上市量多于需求時，政府收購過剩部分，于是0=0，不管曲線f如何，也總是穩定的。模型的改進和推廣

如果生產者的管理水平更高一些，他們再決定商品生產數量時，不是僅根據前一時期的價格，而是根據前兩個時期的價格，為簡單起見不妨設根據二者的平均值y+yTOC\o"1-5"\h\z—nn—12于是供應函數為(y+y八X=g(in—1)n+12在P點附近取線性近似時，式(12)表示為0供應函數(g):y+yX—X=B(—nn—1—y),B>0(14)n+1020又設需求函數仍由式