1、 專題06 解三角形壓軸小題12種類型目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、熱點題型歸納1 HYPERLINK l _Toc17993 【題型一】 三解三角形基礎：角與對邊1 HYPERLINK l _Toc26924 【題型二】 三角形求周長最后自2 HYPERLINK l _Toc12217 【題型三】 輔助角+均值不等式+余弦定理3 HYPERLINK l _Toc30563 【題型四】 輔助角和均值與面積最值5 HYPERLINK l _Toc30563 【題型五】 消角6 HYPERLINK l _Toc30563 【題型六】 萬能正切8 H

2、YPERLINK l _Toc30563 【題型七】 正余弦定理綜合應用：判斷三角形形狀10 HYPERLINK l _Toc30563 【題型八】 外接圓11 HYPERLINK l _Toc30563 【題型九】 內切圓13 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十】 重心與垂心14 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十一】 圖形：中線與角平分線16 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十二】 綜合18 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新模考題組練21【題型一】 三角題基礎：角與對邊 【例1】在中，角所對的邊分別為，已知，當變化時

3、，若存在最大值，則正數的取值范圍為ABCD【答案】C【詳解】因為，所以根據正弦定理可得，所以，所以，其中，因為存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正數的取值范圍為，故選C【例2】在銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=A32,1C34,3【答案】A【分析】由題意首先求得ABC的外接圓半徑，然后將三角形面積公式轉化為關于B的函數，由ABC為銳角三角形可得32B3【詳解】由正弦定理可得bsinB=csinC=SABC14又為銳角三角形，0B2,056B32sin【例3】在中，內角，的對邊分別為，且面積為，則面積的最大值為 ABCD【答案】B由已知利用三角形的面

4、積公式可求，可得，的值，由余弦定理，基本不等式可求，根據三角形的面積公式即可求解其最大值解：，又，由余弦定理可得：，當且僅當時取等號，面積的最大值為故選：【題型二】 三角形求周長最值【例1】在中，角所對的邊分別為，若sinA+cos(A+6)=32，b+c=4A6,8)B6,8C4,6)D(4,6【答案】A【分析】利用三角函數恒等變換的應用化簡已知可得sin（A+3）=32，結合的范圍可求，再由余弦定理求得a2=163bc【詳解】sinA+cos(A+6可得：sin（A+A（0，），A+3（b+c=4，由余弦定理可得a2由b+c=4，b+c2bc ，得0bc4，4a2周長L=a+b+c=a+4

5、6，8） 故選A【例2】在中，角所對的邊分別為，若，則周長的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】根據余弦的和角公式及輔助角公式，可求得角A的值；利用余弦定理結合基本不等式即可求得a的取值范圍，進而得到周長的取值范圍【詳解】，可得， ，解得，由余弦定理可得 由， ，得，即周長故選A【例3】在銳角三角形ABC中，若，且滿足關系式，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C根據已知條件求得，構造的函數，通過求三角函數的值域，即可求得結果.【詳解】因為，故可得，又，故可得.因為，故可得整理得，則.故可得，因為，故可得.則故可得.故選：C.【題型三】 輔助角+均值不等式+余弦定理【例1】已知的內角對的

6、邊分別為，當內角最大時，的面積等于 ()ABCD【答案】A【詳解】分析：已知等式利用正弦定理化簡，得到關系式，利用余弦定理表示出，把得出關系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值即可求出三角形的面積.詳解：已知等式利用正弦定理化簡得：，兩邊平方得：，即，所以，所以，當且僅當，即時取等號，此時，則的最小值為，此時C最大，且，則的面積，故選A.【例2】,則的最大面積為A3BC2D無法確定【答案】B【詳解】分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方關系求出,根據面積公式化簡的面積的表達式,利用配方法和二次函數的性質求出面積的最大值.詳解： ，由余弦定理及得，的面積，當時，即，的面積有最大值，的

7、最大面積是，故選B.【例3】在中，內角的對邊分別為，若的面積為18c2，則ab+A2B4C25D【答案】C【分析】利用余弦定理可得a2+b2=c2+2abcos【詳解】由題意得，S=12absinC=a2ab+ba=則ab+b【題型四】 輔助角和均值與面積最值【例1】已知中， ， ， 成等比數列，則的取值范圍是ABCD【答案】B【詳解】由已知可知，即，即 ， ，原式等于 ，設 即原式等于 ，函數是增函數，當時，函數等于0，當時，函數等于,所以原式的取值范圍是，故選B.【例2】滿足條件的三角形的面積的最大值是 ABCD【答案】D【詳解】分析：設，根據三角形的面積公式和余弦定理，得出關于的面積表達

8、式，再根據的取值范圍，即可求解面積的最大值.詳解：設，則，根據面積公式得，根據余弦定理得，代入上式，得，由三角形的三邊關系可得，解得，故點時，取得最大值，故選D.【例3】在中，角所對應的邊分別為，設的面積為，則的最大值為（ ）ABCD【答案】A【分析】由面積公式和余弦定理，基本不等式對進行變形，得到關于的關系式，結合三角函數的有界性，列出關于t的不等式，求出最大值.【詳解】，則設所以，即，故選：A.【題型五】 消角【例1】已知ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c角B為鈍角設ABC的面積為S，若，則sinA+sinC的最大值是_【答案】【解析】【分析】根據已知，利用三角形面積公式、余弦定

9、理可得，B為鈍角知，由三角形內角和的性質得，即可求最大值.【詳解】由題設，則，又 B為鈍角即為銳角，即，又，且，而，當時，的最大值為.故答案為：【例2】在中，角，的對邊分別為，且，的外接圓半徑為，若有最大值，則實數的取值范圍是_【答案】【分析】根據正弦定理、余弦定理化簡得到，再利用正弦定理與三角恒等變換將化簡為，再根據存在最大值，分析的范圍列式即可【詳解】由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，其中，又，若存在最大值，即有解，即，解得，即的范圍是【例3】在銳角中，角，的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【分析】根據余弦定理和的面積公式，結

10、合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，聯立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，設，其中，所以，由對勾函數單調性知在上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當時，；當時，；所以，即的取值范圍是故選：C.【題型六】 萬能正切【例1】在銳角中，角，的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據余弦定理和的面積公式，結合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍解：中，由余弦定理得，且的面積為，由，得，化簡得；又，所以，化簡得，解得或（不合題意

11、，舍去）；因為所以，所以，由，且，解得，所以，所以，所以；設，其中，所以，又，所以時，取得最大值為，時，時，且，所以，即的取值范圍是故選：【例2】在銳角中，角，的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據已知條件，利用余弦定理和面積公式，結合倍角公式求得,進而求得A的各個三角函數值，再利用正弦定理邊化角求得關于C的函數表達式，根據銳角三角形的條件得到，利用三角函數的性質求得取值范圍即可解：ABC中，由，得，；即， ，ABC為銳角三角形，,，,， 故選：D【例3】在中，角的對邊分別為，已知，則的面積為（ ）ABCD【答案】B【分析】利用三角形邊角關系，將轉化為關

12、于邊的方程，解得邊，進而由三角形的面積公式，直接求出面積即可.【詳解】如圖，過作,交的延長線于，因為，則,，所以又因為所以，即，解得：或（舍）所以.故選：B.【題型七】 正余弦定理綜合應用：判斷三角形形狀【例1】.中，角，所對應的邊分別為，.已知a2+b2(acosB+bcosA)A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】B【分析】由題，利用正弦定理和內角和定理化簡可得a2+b【詳解】由題，已知a2+b由正弦定理可得：sin2即sin2A+sin所以sin2A+sin由余弦定理：a2+b2所以三角形一定是等腰三角形。故選B【例2】如果的三個內角的正弦值分別等于DEF的三

13、個內角的余弦值，則下列正確的是A與DEF都是銳角三角形B與DEF都是鈍角三角形C是銳角三角形且DEF是鈍角三角形D是鈍角三角形且DEF是銳角三角形【答案】D先根據三角形DEF三個內角的余弦值為正數，得出三角形DEF是銳角三角形.先假設三角形分別為銳角三角形或直角三角形，推導出矛盾，由此判斷出三角形是鈍角三角形.【詳解】因為三角形的三個內角的正弦值都大于零，所以三角形DEF的三個內角的余弦值都大于零，所以三角形DEF是銳角三角形.若三角形是銳角三角形，不妨設sinA=cosD=sin2D,sinB=cosE=sin2E,sinC=cosF=sin2F，即A=【例3】在ABC 中，1cosA1co

14、sA等腰三角形B直角三角形C銳角三角形D鈍角三角形【答案】A【分析】由正弦定理將邊化為正弦，將式子變式，結合兩角和差公式、和差化積公式等即可求出A 與的關系，進而得出結論.【詳解】由正弦定理變式：1cos化簡可得sinB由和差化積公式：2cos移項因式分解可得：sinBA由于括號內式子不等于0，所以：sinBA2=0故選A.【題型八】 外接圓【例1】在圓心為，半徑為的圓內接中，角，的對邊分別為，且a42a2b2+c2+c4【答案】【分析】已知條件中含有(b2+c2)這一表達式，可以聯想到余弦定理【詳解】aa4在中，a2=a4整理得：cos圓周角等于圓心角的兩倍，BOC=2A，（1）當時， ，B

15、OC=23，S（1）當cosA=12時，A=23此時，BOC=23，【例2】已知的三個內角所對的邊分別為，的外接圓的面積為，且，則的最大邊長為（ ）ABCD【答案】B【分析】化簡得到，根據正弦定理得到，根據余弦定理得到，再計算得到答案.【詳解】的外接圓的面積為則，根據正弦定理： 根據余弦定理：故為最長邊： 故選【例3】在中，分別為的對邊，為的外心，且有，若，則ABCD【答案】A【分析】由，利用正弦定理得到，再由，運用三角函數的和角公式和正弦定理得到，進而得到，然后利用余弦定理，求得角B，A，C，再由的兩邊點乘，運用平面向量數量積的定義和性質，得到x，y的方程組求解.【詳解】因為， 所以，又因為

16、，所以，所以，所以，即，所以，所以，所以，如圖所示：由正弦定理得：，因為，則，所以，即，則，所以，即，.故選：A.【題型九】 內切圓【例1】為所在平面上動點，點滿足, ,則射線過的A外心B內心C重心D垂心【答案】B【分析】將變形為，因為和的模長都是1，根據平行四邊形法則可得，過三角形的內心.【詳解】 因為和分別是和的單位向量所以是以和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對應的向量所以的方向與的角平分線重合即射線過的內心故選B【例2】已知的內角所對的邊分別為若，且內切圓面積為，則面積的最小值為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據已知條件及正弦定理可得，由內切圓的面積可得內切圓半徑，最后根據及余弦定理，并

17、結合基本不等式求的范圍，進而求面積的最小值.【詳解】由題設，而且，則，由題設內切圓半徑，又，而，即，可得，當且僅當時等號成立.故選：D【例3】已知內接于半徑為2的，內角A，B，C的角平分線分別與相交于D，E，F三點，若，則A1B2C3D4【答案】D【分析】分別求得、，結合已知條件，求得的值.【詳解】連接，在三角形中，由正弦定理得，故.同理可得、，故，故.故選D.【題型十】 重心與垂心【例1】已知的內角，的對邊分別為，且，點是的重心，且，則的面積為（ ）ABC3D【答案】B【詳解】分析：有正弦定理可得則 由此可得 由可得，由余弦定理可得，則的面積可求.詳解：由題根據正弦定理可得則【例2】若是垂心

18、，且，則（ ）ABCD【答案】D【分析】利用垂心的性質，連接并延長交于，得到，把已知條件中的式子化簡，得到，再兩邊同乘以，利用數量積、正弦定理進行整理化簡，得到，再把化為，整理后得到值.【詳解】在中，由，得，連接并延長交于，因為是的垂心，所以，所以同乘以得，因為，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故選：D.【例3】已知點是所在平面內一點，且滿足，則直線必經過的A外心B內心C重心D垂心河北省衡水市桃城區第十四中學2019-2020學年高一下學期第二次綜合測試數學試題【答案】D【解析】兩邊同乘以向量，利用向量的數量積運算可求得從而得到結論【詳解】 兩邊同乘以向量,得即

19、點P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過ABC的垂心，故選D.【題型十一】 圖形：中線與角平分線【例1】在中，分別是邊，的中點，與交于點，若，則面積的最大值為（ ）ABCD【答案】C【分析】設，由三角形中的中位線的性質和比例的性質可得出，再設，根據余弦定理得，再得出，由三角形的面積公式表示的面積，根據二次函數的最值可得選項.【詳解】因為分別是邊，的中點，所以，所以，又，設，則，又因為，所以，設，所以在中，所以，所以，當時，面積取得最大值，故選：C. 【例2】已知中，角的對邊分別為，是的中點，則面積的最大值為（ ）ABCD【答案】B【分析】設,根據的余弦定理可得關于的關系式,再根據中的余弦定理可求得

20、的關系式,進而化簡得到關于的關系式,再表達出面積的公式,化簡求解最大值即可.【詳解】設,在中有余弦定理.在中,因為,故.即.化簡可得.故.故.故.設,則,當時取得面積的最大值為.故選：B【例3】在RtABC中，直角的平分線的長為1，則斜邊長的最小值是A2BCD4【答案】A【分析】設角A,B所對的邊分別為，利用三角形面積相等可得12ab=24(a+b)【詳解】設角A,B所對的邊分別為，角的平分線為，則CD=1，SACD=12b又SABC=S則a+b=2則ab2，當且僅當則斜邊長為a2則當且僅當時，斜邊長取得最小值2.故選A【例4】在中，M為邊上的一點，且BM=2，若BM為的角平分線，則2AM1C

21、M 的取值范圍為A32,C12,【答案】A先根據正弦定理用角A,C表示2AM【詳解】因為B=3，BM為ABC的角平分線，所以在ABM中，BMsinA=AMsin在CBM中，BMsinC=CMsinCBM，因為則2=3因為0A23，所以所以12即2AM1【題型十二】 綜合【例1】已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】由，化簡得到的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理 ，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【例2】內接于半徑為2的圓，

22、三個內角，的平分線延長后分別交此圓于，.則的值為_.【答案】【分析】連，由正弦定理得，利用三角形內角和性質得，進而利用積化和差公式、誘導公式得，同理求、，即可求值.【詳解】連，則，同理可得：，.，即.故答案為：【例3】.已知的三條邊，滿足，分別以邊，為一邊向外作正方形，.如圖，分別為兩個正方形的中心（其中，三點不共線），則當的值最大時，的面積為（ ）ABC2D【答案】A【分析】用余弦定理把，令，把變形為，看成關于的函數，用導數的觀點解決最值問題即可.解：如圖，連接、，由題意可知，.在中，設，則由基本不等式，可知（當且僅當時取等號）.，設，則，令且，解得，時，單調遞增；時，單調遞減.的值最大時，

23、此時.故選：A.1.在銳角三角形ABC中,若，且滿足關系式，則的面積的最大值為（ ）ABCD江西省石城中學2020-2021學年高一下學期第二次月考數學（理）試題【答案】C【分析】由結合同角三角函數基本關系，可求出B，根據正余弦定理由可得b,再利用余弦定理及均值不等式求最大值，代入面積公式即可.由得,所以，即,解得,由銳角三角形知,，即，得，當且僅當時等號成立，解得，,當且僅當時等號成立，故選：C2.已知銳角的內角所對的邊分別為，且，的面積為2，則的周長為（ ）ABCD2020屆福建省莆田市高一下學期第二次檢測數學試題【答案】B【分析】利用正弦定理將條件中的邊化成角的關系，從而求得的值，再利用

24、三角形的面積公式和余弦定理可求得的值，即可得答案；【詳解】由已知可得，由正弦定理可得.；角為銳角，的面積為2，由余弦定理可得，即故選：B.3.若面積為1的滿足，則邊的最小值為（ ）A1BCD2【答案】C【分析】由已知利用三角形的面積公式可得，由余弦定理可求，利用輔助角公式和正弦函數的性質即可求解解：的面積，且，根據余弦定理得：，即，可得，則，解得：，即邊的最小值為.故選：C.4.已知中， ， ， 成等比數列，則的取值范圍是ABCD【答案】B【詳解】由已知可知，即，即 ， ，原式等于 ，設 即原式等于 ，函數是增函數，當時，函數等于0，當時，函數等于,所以原式的取值范圍是，故選B.5.設銳角的三

25、個內角.的對邊分別為.，且，則周長的取值范圍為（ ）ABCD云南省昆明市第八中學2020-2021學年高一特色班下學期第一次月考數學試題【答案】C由銳角三角形求得，由正弦定理可得，求出，關于的函數，根據余弦函數的性質，可求得范圍【詳解】為銳角三角形，且，又，又，由，即，令，則，又函數在上單調遞增，函數值域為，故選：C6.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）ABCD河北省石家莊市第一中學2022下學期第二次學情反饋數學試題【答案】C【分析】根據余弦定理以及正弦定理化簡條件得、關系，再根據二倍角正切公式以及函數單調性求范圍【詳解】，所以因此設，是銳角三角形，在上單調遞增，故選：C7

26、.已知的三個內角所對的邊分別為，滿足cos2Acos2B+cos2C=1+A等邊三角形B等腰直角三角形C頂角為150的等腰三角形D頂角為120河南省開封市五縣2021-2022學年高一下學期期中聯考數學試題【答案】D【分析】先利用同角三角函數基本關系得sin2A+sin2Csin2B=sinAsinC，結合正余弦定理得【詳解】由題1sin即sin2A+即cosB=故 sinA+sin3A故為頂角為120的等腰三角形。故選D8.已知的三條邊和與之對應的三個角滿足等式則此三角形的形狀是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形上海市進才中學2020-2021學年高一下學期期中數學試題【答案】A【分析】利用余弦定理將角化為邊整理，即可得三角形的邊之間的關系，從而可得此三角形的形狀.【詳解】由余弦定理，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形為等腰三角形.故選：A9.如圖，已知，其內部有一點滿足OAB=OAC=OBC=OCA=，命題p:最大值有可能超過36度；命題q:若三邊長對應分別為a,bAp真q假Bp假q假Cp真q真Dp假q真四川省成都市第七中學2019年高一期中模擬數學試題【答案】D【分析】根據正弦定理計算三邊關系得到a2=bc，得到命題q為真命題，根據角度關系