1、PAGE PAGE 31常見遞歸數列通項公式的求解策略 數列是中學數學中重要的知識之一，而遞歸數列又是近年來高考和全國聯賽的重要題型之一。數列的遞歸式分線性遞歸式和非線性遞歸式兩種，本文僅就高中生的接受程度和能力談談幾種遞歸數列通項公式的求解方法和策略。 一、周期數列 如果數列滿滿足：存存在正整整數M、T，使得得對一切切大于MM的自然然數n，都有有成立，則則數列為為周期數數列。 例1、已知知數列滿滿足 aa1 =2，an+1 =1 ，求ann 。 解:an+1 =1 ann+2 =1 = , 從而 aan+33 = 1=1an1=aan , 即數列是以以3為周期期的周期期數列。又又a1 =2，

2、a2=1=, a3 =1 2 , nn=3kk1 所以 ann= ,n=33k2 ( kNN ) 1 , n=33k3 二、線性遞遞歸數列列 1、一階線線性遞歸歸數列：由兩個個連續項項的關系系式 aan= f (an-1 )（n,nn）及一一個初始始項a11所確定定的數列列，且遞遞推式中中，各aan都是是一次的的，叫一一階線性性遞歸數數列，即即數列滿滿足ann1 =f (n) ang(nn)，其其中f (n)和g(nn)可以以是常數數，也可可以是關關于n的函數數。 （一）當ff (nn) =p 時時，g(n) =q（p、q為常數數）時，數數列是常常系數一一階線性性遞歸數數列。 （1）當pp =

3、11時 ，是以以q為公差差的等差差數列。 （2）當qq=0，p0時，是是以p為公比比的等比比數列。 （3）當pp1且q0時，ann1 =p aanq可化為為an1=p(an),此時時ann是是以p為公比比，a11 為首項項的等比比數列，從從而可求求an。 例2、已知知：=且，求求數列的的通項公公式。 解：= = 即數列是以以為公比比， 為首項的等等比數列列。 （二）當ff(n)，g(n)至至少有一一個是關關于n的的非常數數函數時時，數列列ann是非非常系數數的一階階線性遞遞歸數列列。 （1）當ff(n) =11時，化化成ann1=ang(nn),可可用求和和相消法法求ann。 例3、（2200

4、33年全國國文科高高考題）已已知數列列ann滿足足a1=1,aan=33n1aan11 (nn2) , (1)求求a2 ,a33 ; (2) 證明明：ann= . (1)解： a11 =11, aa2=331=4 , a33=3224=13 . (2)證明明： aan=33n1aan11 (nn2) , anann1=3n1 , an1an2=33n22 , an2an3=33n33 , a4a33=333 , a3a22=322 , a2a11=311 將以上等式式兩邊分分別相加加，并整整理得: ana11=3nn13n233n33333231 , 即an=33n113nn23n333332

5、23111= . （2）當gg(n)=0時時,化為為a nn1=f(nn) aan ，可可用求積積相消法法求ann 。 例4、已知知數列an滿足aa1 =2 , aa n=3n an1，求求通項aa n。 解： a11 =2 , a n=33n aan11 a n11=3nn1 an2 ， a n22=3nn2 an3 ， ， a 4=334 aa3 ， a 3=333 aa2 ， a2=322 a11 將以上等式式兩邊相相乘并整整理得： a n=33n33n113n2344333322a11=22322+3+nn =233 （3）當ff(n)是非11的常數數p時，aan11 =pp anng

6、(n) 可用兩兩邊同除除以pnn+1 得 ，令令bn+1= ，則bbn+11=bnn，仿仿照（11）求出出 bnn之后，再再求出aan . 例5、設有有數列an: aa1 =1 , ann1 = aan ，求aan . 解：an1 = ann 22n+11an1=22nann2 令bn+11=2nn+1aan11 ，則則bn+1= bn2，即即bnn是以以2為公公差，bb1=22a1=2為首首項的等等差數列列， 故有bn=2(n11)22=2nn，從而而an=，即aan= 一般情況，當當f(nn) 不不是常數數時，仿仿（3）可可求 例6、已知知ann中，aa1 =2 , n an1=(n11)

7、 aan22，求an的通項項公式。 解： n an1=(n11) aan22 令bn+11= ，則則bn+1=bbn ，仿（11）可求求得 bn=b112= a112( 1)=222(1)=4 an=n bn=4n2 2、二階線線性遞歸歸數列：由三個個連續項項的關系系式 aan11=f(an , aan-11 )(n, nN)及兩個個初始值值a1, a22 所確確定的數數列，且且遞推式式中，各各an都都是一次次的，叫叫二階線線性遞歸歸數列。 設數列aan滿滿足ann1 =p anq aan-11 ，則則其通項項an的的求法如如下：（11）寫出出遞推式式所對應應的特征征方程xx2=ppxqq ；

8、（22）解特特征方程程得到兩兩個根xx1 , x22 ；(3)如如果 xx1x22 ，則則可設aan=aa x11nbb x22n ；如果xx1= x2 ，則可可設ann=(ccdnn) xx1n ；（44）由初初始值aa1, a2 求出aa , b 或或c , d . 例7、已知知數列an滿足aan11 =2 aan33 ann-1 ，且aa1=11, aa2=55，求通通項公式式an . 解：關于aan11 =2 aan33 ann-1 所對應應的特征征方程是是x2=2xx3，其其兩個根根為1和和3。 設 an=abb(33)n , 因因為a11=1, a22=5 , 所所以 ab(3)=

9、1 ab=55 解得a=22 , b= ，所以以an=2(3)n . 例8、已知知數列an中，aan22 =66 ann+19 aan ，且且a1=1, a2=2 ,求ann 解：遞歸關關系ann2 =6 an+199 ann 所對對應的特特征方程程是 x2=6xx9 ，其根根是二重重根3. 設an=(cddn) 3n , aa1=11, aa2=22 , 3(cdd)=11 9(c22d)=2 解得c= , dd= ，所以以an=(4n) 3n2 三、其它遞遞歸數列列 1、形如aan+11=paanq (p0 , ann0)型的遞遞歸數列列，可用用對數代代換法求求an 例9、設數數列aan滿

10、滿足a11=4, ann+1=5ann2 ，求求an . 解：由ann+1=5ann2 可可知ann0，所所以兩邊邊取對數數，得llgann+1=2lgganlg55 ，令令bn=lgaan，則則bn+1=22 bnnlgg5 ，化化為 bn+1lg55=2(bnlg55) ，即即bnnlgg5是是以2為為公比，bb1llg5= lgga1lg55=lgg20為為首項的的等比數數列，從從而有： bnlgg5=(lg220)22 即bbn=( lgg20)2llg5，所所以lggan=lg, 即an= 2、形如nn+1= 型的的遞歸數數列，可可用倒數數代換法法求(00) 例10、已已知數列列n滿

11、足nn+1=，且aa1=2 ,求通項項公式nn 解： n+1= 兩邊取取倒數得得 ，令令bn=，則 bn+1=bbn ，可化化為bnn+12=(bn2)，即即bnn2是以為為公比，以以 b112=為首首項的等等比數列列， bbn22= 即22= , nn= 3、分式遞遞歸數列列n+11=(cc0,) 型的的通項公公式的求求法：(1)寫寫出遞推推式所對對應的特特征方程程= ；（2）解解特征方方程得到到兩個根根x1 , xx2 ；（3）如如果x11 x22，則數數列是等比比數列 ；如果果x1 = xx2，則則數列是等等差數列列；（44）由等等比數列列或等差差數列的的通項公公式求nn 例11、（11

12、9877年中國國數學奧奧林匹克克集訓隊隊習題）設設n滿足=2 , n=(n11)，求求n 解：由遞推推式n=所對應應的特征征方程=得其根根為x11 =2 , x22=3 , =4 數列是是以44為公比比，=4為首首項的等等比數列列，則有有=44(4)nn n= 線性二項遞遞歸數列列的通項項及應用用一個數列an，如果果它的第第n項aan與項項數n之之間的函函數關系系可以用用一個公公式ann=f(n) 表示時時，這個個公式叫叫做這個個數列的的通項公公式。一一般地說說，給出出一個數數列，就就是給出出它的構構成規律律。常見見的用解解析式給給出它構構成規律律的方法法有通項項公式法法以及遞遞推公式式法。“

13、給給出數列列的遞推推公式，求求通項公公式”是是數列教教學的一一個難點點。下面面先就一一道習題題的解法法對“線線性二項項遞歸數數列的通通項”求求解方法法做一簡簡單小結結。例：已知數數列aan滿滿足a11=3,an+1=22an+7,求求ann的通通項公式式。解法法一：（配配湊法）a1=3,an+1=2an+7令 an+1p=2(an-p)則an+1=2an-p, 比較系數得p=-7則 =2(常數)由定義知，數列an+7 是公比q=2的等比數列，則 an+7=(a1+7)2n-1 又a1=3,則得出數列an的通項公式為：an=102n-1-7解法二：（疊加法） an+1=2an+7an=2an-1

14、+72an-1=22an-2+2722an-2=23an-3+2272n-2a2=2n-1a1+2n-27將以上n-1個式子疊加，兩邊相消得：an=2n-1a1+7(1+2+22+2n-2) =2n-1a1+7(2n-1-1)由于 a1=3得an=102n-1-7解法三：（解方程組法） an+1=2an+7 an=2an-1+7 得：an+1-an=2(an-an-1)設bn=an+1an, 則 =2b1=a2a1=2a1+7a1=10bn=102n-1an+1an=102n-1聯立方程組解得an=102n-177解法四四：（遞遞歸法）an+1=2an+7an=2an-1+7=2(2an-2+

15、7)+7=22an-2+27+7=22(2an-3+7)+27+7=23an-3+227+27+7=2n-1a1+(2n-27+2n-17+27+7)=2n-1a1+7(2n-11)a1=3 an=102n-17解法五：（不動點法）設f(x)=ax+b(a 1,b 0),則f(x)的不動點是f(x)的n次迭代函數的解析式可表示如下：fn(x)=an(x- )+ an+1=2an+7,a1=3an=2an-1+7=2n-1(a1- )+ =102n-1-7解法六：（特征根法）若數列an中,a1已知,an+1=aan+b(a1,b0)則稱x=ax+b為an的特征方程，其根x= 稱為特征根。這時有如

16、下結論：an=(a1-x)an-1+x對于本題，由于a1=3,a=2,b=7.x= =-7an=102n-1-7應用舉例 例1：小王貸款a元用于購房，采用月均等額本息還款方式，若m個月將款全部還清，月利率為r，求每月還款額x。解：設第n(nm)次還款后，小王還欠an元錢，這an元錢到下月增值到an(1+r)元，還x元后，還有an+1=(1+r)an-x。可知小王每次還款后仍欠銀行的錢依次形成一個數列an，其中a1=a(1+r)-x,an+1=(1+r)an-x 所以有， an=(1+r)an-1-x=(1+r)(1+r)an-2-x-x=(1+r)2an-2-(1+r)x-x=(1+r)3an

17、-3-(1+r)2x-(1+r)x-x=(1+r)4an-4-(1+r)3x-(1+r)2x-(1+r)x-x=LL=(1+r)n-1a1-x(1+r)n-2+(1+r)n-3+L+(1+r)+1=(1+r)n-1a(1+r)-x-x(1+r)n-22+(1+r)n-3L+(1+r)+1=(1+r)na-x(1+r)n-1+(1+r)n-2+L+(1+r)+1=(1+r)na- x=(1+rr)naa+ x題題意可知知am=0,即即am=(1+r)mma+ xx=0所所以， x=例例2：某某林場原原有森林林木材存存量為aa萬立方方米，木木材每年年以255%的增增長率增增長，而而每年冬冬天要砍砍

18、伐的木木材量為為x萬立立方米。為為了實現現經過220年達達到木材材存量翻翻兩番的的目標，則則x的最最大值是是多少？解：設設第n年年底木材材存量為為an萬萬立方米米，則aa1=aa(1+25%)-xx= a-xxan+1=(1+225%)x= aan-xxQann+1= aan-xx (ann+1-4x)= (ann-4xx)數列列ann-4xx是公公比為，首首項為aa1-44x的等等比數列列，則aan-44x=(a1-4x)( )n-1=( )aa-5xx( )n-1ann=4xx+(aa-4xx)( )nn令a22044a,即即4x+(a-4x)( )2004aa解得xx a一. 教學學內容

19、：數列求和的的幾種方方法、數數列的實實際應用用問題二. 教學學難點：數列的實際際應用問問題三. 課標標要求：1. 探索索并掌握握一些基基本的數數列求前前n項和的的方法；2. 能在在具體的的問題情情境中，發發現數列列的通項項和遞推推關系，并并能用有有關等差差、等比比數列知知識解決決相應的的實際問問題四. 命題題走向：數列求和和和數列綜綜合及實實際問題題在高考考中占有有重要的的地位，一一般情況況下都是是出一道道解答題題，解答答題大多多以數列列為工具具，綜合合運用函函數、方方程、不不等式等等知識，通通過運用用逆推思思想、函函數與方方程、歸歸納與猜猜想、等等價轉化化、分類類討論等等各種數數學思想想方法

20、，這這些題目目都考查查考生靈靈活運用用數學知知識分析析問題和和解決問問題的能能力，它它們都屬屬于中、高高檔題目目有關命題趨趨勢：1. 數列列是一種種特殊的的函數，而而不等式式則是深深刻認識識函數和和數列的的有效工工具，三三者的綜綜合題是是對基礎礎和能力力的雙重重檢驗，在在三者交交匯處設設計試題題，特別別是代數數推理題題是高考考的重點點；2. 數列列推理題題將繼續續成為數數列命題題的一個個亮點，這這是由于于此類題題目能突突出考查查學生的的邏輯思思維能力力，能區區分學生生思維的的嚴謹性性、靈敏敏程度、靈靈活程度度；3. 數列列與新的的章節知知識結合合的特點點有可能能加強，如如與解析析幾何的的結合等

21、等；4. 有關關數列的的應用問問題也一一直備受受關注【教學過程程】一、基本知知識回顧顧1. 數列列求通項項與和（1）數列列前n項和Sn與通項項an的關系系式：aan （2）求通通項常用用方法作新數列列法作作等差數數列與等等比數列列累差疊加加法最最基本的的形式是是：an（anan1）（aan1an2）（a2a1）a1歸納、猜猜想法（3）數列列前n項和重要公式式：等差差和等比比數列的的求和公公式12nn（n1）；12222n2n（n1）（2nn1）；13233n3（12n）2n2（n1）2；裂項相消消法將數列的通通項分成成兩個式式子的代代數和，即即anf（n1）f（n），然然后累加加抵消掉掉中間的

22、的許多項項，這種種先裂后后消的求求和法叫叫裂項求求和法用裂項項法求和和，需要要掌握一一些常見見的裂項項，如：、等錯位相減減法（可可用于推推導等比比數列前前n項和公公式）對一個由等等差數列列及等比比數列對對應項之之積組成成的數列列的前nn項和，常常用錯位位相減法法， 其中是等等差數列列， 是等比比數列，記記，則，分組轉化化求和把數列的某某些項放放在一起起先求和和，然后后再求SSn倒序相加加法（可可用于推推導等差差數列前前n項和公公式）2. 遞歸歸數列數列的連續續若干項項滿足的的等量關關系ankf（ank1，ank2，an）稱為為數列的的遞歸關關系由由遞歸關關系及kk個初始始值可以以確定的的一個數

23、數列叫做做遞歸數數列如如由an12an1，及a11，確定定的數列列即為遞遞歸數列列遞歸數列的的通項的的求法一一般說來來有以下下幾種：（1）歸納納、猜想想（2）迭代代法（3）代換換法包包括代數數代換，對對數代數數，三角角代數（4）作新新數列法法最常常見的是是作成等等差數列列或等比比數列來來解決問問題【典型例題題】例1. 已已知數列列為等差差數列，且且公差不不為0，首項項也不為為0，求和和：解：首先考考慮，則則點評：已知知數列為為等差數數列，且且公差不不為0，首項項也不為為0，下列列求和也也可用裂裂項求和和法例2. 求求解：，點評：裂項項求和的的關鍵是是先將形形式復雜雜的因式式轉化的的簡單一一些例

24、3. 設設，利用用課本中中推導等等差數列列前n項和的的方法，可可求得的的值為_解：課本中中推導等等差數列列前n項和的的方法為為倒序相相加法.因為所以原式6點評：本題題曾為上上海高考考題，主主要考查查考生對對課本的的熟練程程度和倒倒序相加加法的應應用，其其中有函函數式子子的變化化，計算算能力的的考查例4. 已已知，數數列是首首項為aa，公比比也為aa的等比比數列，令令，求數數列的前前項和解：，得：，點評：設數數列是等等比數列列，數列列是等差差數列，則則對數列列的前項和和進行求求解，均均可用錯錯位相減減 例5. 數數列的前多多少項和和為最大大？解：是以為為首項，以以為公差差的等差差數列，對稱軸比較

25、較起來更更靠近對對稱軸前項和為為最大 另法：由，得得點評：求和和的最值值關鍵在在于找分分界點.例6. 求求數列11，3，32，3n的各項項的和解：其和為為（133n）（）（3n13n）點評：分組組轉化法法求和.例7. （20006年浙浙江卷220）已已知函數數x3x2，數列列xn（xn 0）的的第一項項x11，以后后各項按按如下方方式取定定：曲線線y在處的切切線與經經過（00，0）和（xxn，f（xn）兩兩點的直直線平行行（如圖圖）求證：當nn時：（II）；（II）解：（I）因因為所以曲線在在處的切切線斜率率因為過和兩兩點的直直線斜率率是所以.（II）因因為函數數當時單調調遞增，而所以，即因此

26、又因為令則因為所以因此故點評：數列列與解析析幾何問問題結合合在一塊塊，數列列的通項項與線段段的長度度、點的的坐標建建立起聯聯系例8. （20005上海海高考220.）假假設某市市20004年新新建住房房4000萬平方方米，其其中有2250萬萬平方米米是中低低價房.預計在在今后的的若干年年內，該該市每年年新建住住房面積積平均比比上一年年增長88%.另另外，每每年新建建住房中中，中低低價房的的面積均均比上一一年增加加50萬平平方米.那么，到到哪一年年底，（1）該市市歷年所所建中低低價房的的累計面面積（以以20004年為為累計的的第一年年）將首首次不少少于47750萬萬平方米米?（2）當年年建造的的

27、中低價價房的面面積占該該年建造造住房面面積的比比例首次次大于885%?解：（1）設設中低價價房面積積形成數數列aan，由題題意可知知an是等差差數列，其中a12500，d50，則則Sn2500n25nn22255n， 令令25nn22255n47550，即即n29n19000，而n是正整整數， n10到20133年底，該該市歷年年所建中中低價房房的累計計面積將將首次不不少于447500萬平方方米（2）設新新建住房房面積形形成數列列bn，由題題意可知知bn是等比比數列，其中b14000，q1.008，則則bn4000（1.008）n10.85由題意可知知an0.885 bbn，有2550（n1）

28、5004000（1.008）n10.85由計算器解解得滿足足上述不不等式的的最小正正整數nn6 到20009年年底，當當年建造造的中低低價房的的面積占占該年建建造住房房面積的的比例首首次大于于85%點評：本題題考查等等差、等等比數列列的應用用題，關關鍵是如如何把實實際問題題轉化為為數列問問題，注注意解應應用題的的設、列列、解、答答四個步步驟例9. 某某企業進進行技術術改造，有有兩種方方案，甲甲方案：一次性性貸款110萬元元，第一一年便可可獲利11萬元，以以后每年年比前一一年增加加30%的利潤潤；乙方方案：每每年貸款款1萬元，第第一年可可獲利11萬元，以以后每年年比前一一年增加加5千元；兩種方方

29、案的使使用期都都是100年，到到期一次次性歸還還本息若銀行行兩種形形式的貸貸款都按按年息55%的復復利計算算，試比比較兩種種方案中中，哪種種獲利更更多？（取取）解：甲方案案是等比比數列，乙乙方案是是等差數數列，甲方案獲獲利：（萬萬元），銀行貸款本本息：（萬萬元），故甲方案純純利：（萬萬元），乙方案獲獲利：（萬元）；銀行本息和和：（萬元）故乙方案純純利：（萬萬元）；綜上可知，甲甲方案更更好點評：這是是一道比比較簡單單的數列列應用問問題，由由于本息息與利潤潤是熟悉悉的概念念，因此此只建立立通項公公式并運運用所學學過的公公式求解解例10. （20007山東東理177）設數數列滿足足，（）求數數列的通

30、通項；（）設，求求數列的的前項和和解：（I）驗證時也滿滿足上式式，（II）， ， 例11. （20007山東東文188）設是公公比大于于1的等比比數列，為數列的前項和已知，且構成等差數列（1）求數數列的等等差數列列（2）令求求數列的的前項和和Tn解：（1）由由已知得得解得設數列的公公比為，由由，可得得又，可知，即，解得由題意得故數列的通通項為（2）由于于由（1）得得又是等差數列列故點評：20007年年山東高高考文科科和理科科數列的的題目都都在大題題的前兩兩題的位位置，理理科考查查的是錯錯位相減減法求和和，文科科為等差差和等比比數列公公式的應應用，都都考查了了考生的的運算能能力例12. （20007福建建文211）數列列的前項和和為，（）求數數列的通通項；（）求數數列的前前項和解：（），又，數列是首項項為，公公比為的的等比數數列，當時， ，（），當時，；當時，得：又也滿足上上式，點評：本小小題考查查數列的的基本知知識，考考查等比比數列的的概念、通通項公式式及數列列的求和和，考查查分類討討論及化化歸的數數學思想想方法，以以及推理理和運算算能力滿分112分思維小結結1. 數列列求和的的常用方方法（1）公式式法：適適用于等等差、等等比