1、第五章 重力異常及其正演、反演問題5.0 引言5.1 地面觀測重力異常的定義與物理意義 5.2 衛(wèi)星觀測重力異常的定義5.3 重力異常數(shù)學表達式及拉普拉斯方程解5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.5 復雜形體的正演與反演問題5.6 密度界面的正演與反演問題5.7 二維、三維密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性問題正演問題與反演問題 所謂正演問題，就是給定地下某種地質(zhì)體的形狀、產(chǎn)狀和剩余密度等，通過理論計算求取它在地面上或空間范圍內(nèi)引起的異常大小、特征和變化規(guī)律等，即“由源求場”。 所謂反演問題，則是依據(jù)已獲得的重力異常特征、大小、分布等，并結(jié)合地質(zhì)、鉆探及其他地球物理資料，求解重力

2、場源體的空間位置、形狀、大小、產(chǎn)狀和場源密度等，即“由場求源”。 顯然，求解正演問題是解反演問題的基礎。 求解正演問題主要是建立異常源與異常場之間的邏輯關系數(shù)學物理關系，具體就是給出空間異常場值與異常源的形狀、大小、產(chǎn)狀和密度的關系。 在正演計算中，首先要研究一些簡單規(guī)則幾何形狀的物體引起的重力異常及其特征，例如球體、圓柱體、臺階及半平面等。 研究這些簡單形狀物體正問題的目的：一方面實際的簡單地質(zhì)體可以近似視為簡單形體；另一方面，復雜地質(zhì)體可以用簡單形體異常的組合來模擬。 從過程來看，求解反演問題是一個如何利用有限的數(shù)據(jù)確定場源的數(shù)學問題。 從地質(zhì)角度，求解反演問題就是解釋異常所反映的構(gòu)造、礦

3、產(chǎn)以及巖石方面的信息。 從地球物理角度，求解反演問題是確定地質(zhì)體的幾何參數(shù)和密度分布，包括確定密度分界面的深度及起伏。 事實上，重力反演問題是一個涉及地質(zhì)、物理和數(shù)學等多個方面的問題。 點質(zhì)量m(,)重力異常表達式： gF 三度體重力異常積分表達式： 自然界許多三度地質(zhì)體外形具有等軸狀特征，如囊狀的礦體、巖體，以及一些地下空洞等。當三度體的最大延展尺度與最小延展尺度之差 L 10D可近似二度體。 而當截面最大延展尺度L與D滿足 L 0） - ZYXO- hH 1- + 25.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.4.3 密度均勻的垂直臺階特征值有 5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 垂直臺階正

4、演 剖面上異常曲線為點對稱 平面上等值線在斷層附近呈梯級帶特征 5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 Vxz: Vzz:5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 特征點法反演 g(Vz):5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 Vxz:5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 Vzz:5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 當?shù)刭|(zhì)體的在某平面上有一定延伸，其厚度 與其平面上的延展尺度D滿足 D/10可近似為物質(zhì)面。5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題深度D與異常形態(tài)之間的關系 當 Hh 時或(H-h)D，令 D(H+h)/2 ，有即 5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 * 半水平物質(zhì)面【 = (H-h)

5、= t 】 g(Vz):5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 * 半水平物質(zhì)面 Vxz:5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 * 半水平物質(zhì)面 Vzz:5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 * 傾斜臺階 5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 * 傾斜臺階 5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題 * 實際斷層 5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.4.4 其它形體異常特征直立脈（下底深度有限）5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.4.4 其它形體異常特征傾斜脈（下底深度有限）5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題第五章 重力異常及其正演、反演問題5.0 引言5.1 地面觀測重力異常的定義與物理意

6、義 5.2 衛(wèi)星觀測重力異常的定義5.3 重力異常數(shù)學表達式及拉普拉斯方程解5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.5 復雜形體的正演與反演問題5.6 密度界面的正演與反演問題5.7 二維、三維密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性問題5.5.1 復雜形體正演計算的基本思路和方法 自然界更多的地質(zhì)體的形狀是不規(guī)則的，而且形式多樣，各有不同。理論上，如何不規(guī)則的形體都可以用某種數(shù)學形式表示。然而，在實際工作中不可能為每一個形體專門去研究一個數(shù)學表達，希望用一些方便擬合各種形體的方法去描述地質(zhì)體的形狀。 考慮到位場的疊加性質(zhì)，同時也為了計算方便，一般采用一些相對簡單形體組合去構(gòu)建一個或多個不

7、規(guī)則形體，采用簡單形體的正演數(shù)學表達式來描述每個單元（cell），并通過累加得到異常體與異常場的關系式。 復雜形體的正演的一般思路是將復雜形狀簡單化，即可用規(guī)則形體或多個規(guī)則形體組合近似，然后分別求出每個規(guī)則形體的異常再相加。5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.1 復雜形體正演計算的基本思路和方法常用的復雜形體分割與組合方式： 復雜形體可視為由若干個小“規(guī)則”形體的組合，即“化整為零”。 xyz05.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.1 復雜形體正演計算的基本思路和方法 1. 任意多邊形截面二度體的正演 二度體截面由n個角點構(gòu)成，其坐標為(i, i), i=1,2, , n. 即5.5

8、復雜形體的正演與反演問題任意多邊形截面二度體的正演公式本公式多邊形角點的順序為順時針方向， 第n+1號點為第1號點；將( x)和( z)分別代替 和，即可計算出剖面空間任意點(x, z)上的異常值。5.5 復雜形體的正演與反演問題 2. 復雜三度體的水平截面法（Talwani et al., 1959） 將三度體用一組平行的水平面切割成若干個水平薄片, 可以先計算出每個薄片在原點O處異常值，然后將所有分割的水平薄片引起的異常加起來，則得到三度體在原點處的異常。5.5 復雜形體的正演與反演問題 2. 復雜三度體的水平截面法 在圓柱坐標系中有因此，原點O處異常值可表示為把薄片近似為多邊形，其角點坐

9、標為 . 由于 r 是 的函數(shù)，故在對 積分之前應找出 與r 的關系。 5.5 復雜形體的正演與反演問題代入前面的積分式，BC線段的積分可表示為即有 XYABCPk+1rkrk+1rkkk+1kQ5.5 復雜形體的正演與反演問題將坐標還原成直角坐標，化簡可得有根據(jù) 可計算出M層，相加后即得到原點總異常值。 5.5 復雜形體的正演與反演問題 3. 其它形體組合法 (1)立方體:xyz0hiiH5.5 復雜形體的正演與反演問題 3. 其它形體組合法 （2）垂直物質(zhì)線段:5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.2 復雜形體反演方法 從前面正演問題的求解可以看出，若采用組合形體模擬復雜形體，這樣復雜形

10、狀的地質(zhì)體幾何參數(shù)會很多，無法直接找到異常與這些幾何參數(shù)的關系。需要用其它的方法。5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.2 復雜形體反演方法 選擇法 選擇法又稱最優(yōu)化反演方法，其基本思想是： 根據(jù)獲得的重力異常（剖面或平面）的分布和變化特征，結(jié)合實際地質(zhì)和其他地球物理和物性等資料，給出引起異常的初始地質(zhì)體模型，然后進行正演計算，將理論異常與實測異常進行對比，當兩者偏差較大時，根據(jù)解正問題時所掌握的場與場源的對應關系，對模型進行修改，重算其理論異常，再次進行對比，如此反復進行，直到兩者偏差達到精度要求范圍為止，最后的理論模型就可作為所求的反演問題的近似解。5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5

11、.3 復雜形體反演方法選擇法 一般步驟： （1） 建立目標函數(shù)，確定精度 ；設待求的參數(shù)bj，j=1,2,n，異常數(shù)據(jù)gi，i=1,2,m；且 fi(xi, yi, zi, b1, b2, , bn)為第i點上理論異常值，令 由此可得 5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.3 復雜形體反演方法選擇法 當函數(shù)fi(xi, yi, zi, b1, b2, , bn) 不是參數(shù)bj的線性函數(shù)時（大多數(shù)情況下為非線性關系），利用f(bj)的泰勒展開，并略去二次及以上的高次項，近似代表f(bj) ，即寫成向量式，有5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.3 復雜形體反演方法選擇法（2） 設計初始模型b

12、(0)，進行正演計算；（3） 再將正演計算結(jié)果與實測結(jié)果進行比較，得到異常差值g(0)，構(gòu)成反演方程組；5.5 復雜形體的正演與反演問題5.5.3 復雜形體反演方法選擇法（4） 采用方程組求解的方法獲得模型參數(shù)的修改量(0)，由此得到新一代的模型參數(shù)b(1)= b(0)+ (0) ；（5） 再代入進行正演，重復步驟（3）、（4）得到第二次修改量(1)結(jié)果，獲得第二代模型參數(shù)b(2)= b(1)+ (1) ；（6） 如此反復，直到有迭代得到的模型參數(shù)計算出的理論異常與實測異常之均方差小于所給定的精度。最后的模型參數(shù)即為所求的反演解。 5.5 復雜形體的正演與反演問題第五章 重力異常及其正演、反演

13、問題5.0 引言5.1 地面觀測重力異常的定義與物理意義 5.2 衛(wèi)星觀測重力異常的定義5.3 重力異常數(shù)學表達式及拉普拉斯方程解5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.5 復雜形體的正演與反演問題5.6 密度界面的正演與反演問題5.7 二維、三維密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性問題5.6.1 密度界面的正演問題 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 密度界面的正演問題密度界面的等效性剩余質(zhì)量的分布 2 1 35.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 密度界面的正演問題若 = 下 上 ，則h =h0 h 0. 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 單一密度界面的正演問

14、題若則h0hh125.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 密度界面的正演問題若有將上式第二項進行級數(shù)展開，則有5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 密度界面的正演問題可見，密度界面的正演問題，其實就是各點u值的計算問題。 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 密度界面的正演問題利用關系r = h0tg 進行變換，即有對離散化的數(shù)據(jù)，令 則 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1 密度界面的正演問題對規(guī)格網(wǎng)格數(shù)據(jù)，可以用單個垂直柱體組合進行正演。5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.1密度界面的正演問題 多個密度界面的正演的幾個問題（1）密度或密度差的選取 （2）計算簡化問

15、題5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 密度界面反演 1. 線性反演方法（1）簡單線性反演 由密度界面正演公式可知當界面起伏不大時，即 ，對于任何兩處有兩處密度界面異常差可近似為5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 密度界面反演 密度界面起伏可表示為其中 g 和 h 分別為任意兩處的異常差值和深度差。顯然，上式僅能得到界面起伏相對變化量。當已知某點深度h0時，即5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 密度界面反演 （2）最小二乘線性反演若已知N個深度點hi (i=1,2,3,N) ，代入上式后有N個方程，即采用最小二乘方法確定參數(shù)a和b。5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.

16、2 密度界面反演則最后得到5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 密度界面反演 2. 壓縮質(zhì)面法（這里只討論二維問題）（1）方法原理 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 壓縮質(zhì)面法（這里只討論二維問題） 一個起伏相對埋藏深度較小的密度界面，剩余密度為 。將該界面起伏視作從最小深度h和最大深度H處向中深度D處壓縮，使之在界面的平均深度D=(H+h)/2上壓縮成沿x軸方向面密度不均勻的物質(zhì)面。然后，將這個物質(zhì)面以一定的寬度分成許多水平物質(zhì)帶，每一個物質(zhì)帶的面密度為j =hj ， hj為第j帶界面實際深度hj與平均深度D的差值。5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 壓縮質(zhì)面法（這里

17、只討論二維問題） 理論計算表明：對于橫截面為矩形的二度水平板狀體，當其中心水平面的埋藏深度數(shù)倍于其厚度時，則寬為寬度 2a 、上頂和下底深度分別為H和h的二度水平矩形柱體在地面引起的重力異常，同面密度為 =(H-h) 、水平寬度為2a、埋藏深度為D=(H+h)/2的水平物質(zhì)帶所引起的重力異常幾乎相等，這就既能保證必要的精度要求。壓縮質(zhì)面法是利用了等效源原理。5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 壓縮質(zhì)面法（這里只討論二維問題） 若有n塊質(zhì)面，其深度hj (j=1,2,3,n)，地面測點數(shù)為m，平均深度為D，只要確定了每塊的面密度j ，可得到界面起伏量hj . 對每個計算點而言，其異常值為

18、n個質(zhì)面異常值之和，即 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.2 壓縮質(zhì)面法（這里只討論二維問題） 方程組寫成矩陣形式，有最后5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.3 迭代算法 由于采用了最小二乘求解，一次反演的結(jié)果往往過于“平滑”而不太滿意。所以，可以采用最優(yōu)化方法，對反演過程進行迭代。其方法原理與前面介紹的選擇法類似。5.6 密度界面的正演與反演問題以壓縮質(zhì)面法為例 建立目標函數(shù)，確定精度 ； 設待求的參數(shù)j，j=1,2,n，異常數(shù)據(jù)gi，i=1,2,m；且 fi(xi, yi, 1, 2, , n)為第i 點上理論異常值，令 由此可得 5.6 密度界面的正演與反演問題 設計初始模型(

19、0)，進行正演計算，得到g(0) ； 再將正演計算結(jié)果g(0)與實測結(jié)果gobs進行比較，得到異常差值g(0) ，構(gòu)成新的迭代方程組；5.6 密度界面的正演與反演問題 采用方程組求解的方法獲得模型參數(shù)的修改量(0)，由此得到新一代的模型參數(shù)(1)= (0)+ (0) ； 再代入正演公式進行計算新的理論異常，重復步驟（3）、（4）得到第二次修改量 (1)結(jié)果，獲得第二代模型參數(shù) (2)= (1)+ (1) ； 如此反復，直到有迭代得到的模型參數(shù)計算出的理論異常與實測異常之均方差小于所給定的精度 . 最后的模型參數(shù)即為所求的反演解。最后，得到最優(yōu)解： 5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.4 頻

20、率域反演方法1972年，Parker 提出一個重力異常正演計算的頻率域快速計算公式。1974年，Oldenburg 根據(jù)Parker 公式，提出一種密度界面迭代反演方法。5.6 密度界面的正演與反演問題5.6.4 頻率域反演方法反演迭代流程：1）給出密度界面起伏 h(x) 的初值，例如 h(x)=02）將初值代入下式右端，計算出 h(x) 的傅立葉變換3）做反變換即得到改進的界面起伏 h(x)4）計算 h(x) 與 h(x) 的均方差，判斷是否小于給定收斂條件5）若收斂，結(jié)束迭代；若不收斂，將 h(x) 返回第2步重新計算。5.6 密度界面的正演與反演問題/gabi/crust2.html5.

21、6.5 行星地殼厚度5.6 密度界面的正演與反演問題The Crust of the Moon as Seen by GRAIL, Mark A. Wieczorek et al. Science 339, 671 (2013)Maria T. Zuber, 2001, Nature第五章 重力異常及其正演、反演問題5.0 引言5.1 地面觀測重力異常的定義與物理意義 5.2 衛(wèi)星觀測重力異常的定義5.3 重力異常數(shù)學表達式及拉普拉斯方程解5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.5 復雜形體的正演與反演問題5.6 密度界面的正演與反演問題5.7 二維、三維密度反演（密度成像）5.8 反演中的非

22、唯一性問題/news/Modelling_the_Earth_through_Inversion.asp5.7 二維、三維密度反演利用重力資料反演層狀沉積巖中鹽體的三維密度分布Perspective view of the 3D density model from EGM2008 gravity data interpretation http:/www.geophysik.uni-kiel.de/typo3cms/Central-American-Subduction-Zone.270.0.html5.7.1 密度反演的概念 若把地下密度異常體的存在視作其密度變化，用一個密度函數(shù)來表示。通

23、過確定密度函數(shù)或函數(shù)值，達到確定異常體存在及其分布的目的，這就是密度反演或密度成像。 實際的地球模型是連續(xù)的，地下介質(zhì)的物性分布也是連續(xù)的。為了簡化問題以及便于實現(xiàn)數(shù)值計算，人們通常講地下介質(zhì)離散化，即將地下介質(zhì)分層或者分塊。每一層或者每一塊內(nèi)物質(zhì)的物性是均勻的，而不同的層或塊體單元之間的物性可以是不同的。可以根據(jù)具體問題的精度要求對地下介質(zhì)進行離散化。這樣，經(jīng)過離散化后的介質(zhì)分布情況可以在精度要求范圍內(nèi)反應地下介質(zhì)分布的實際情況。 5.7 二維、三維密度反演5.7.1 密度反演的概念 對于二維情況，可以將地下介質(zhì)劃分為一系列的二度或者二度半的長方體單元。對于三維情況，可以將地下介質(zhì)劃分為一系

24、列的立方體單元。每個塊體內(nèi)部密度均勻分布，不同塊體單元具有不同的密度。根據(jù)位場理論，密度均勻的塊體單元所產(chǎn)生的重力異常與密度成正比，比例系數(shù)僅僅與塊體單元的形狀及空間坐標有關。當塊體單元大小位置固定時，比例系數(shù)可以預先確定出來。在反演中，密度是唯一描述地質(zhì)體的參數(shù)，也是唯一需要反演的參數(shù)。zxy5.7 二維、三維密度反演密度反演的特點： (1) 模型分割后單元體可視為密度均勻的體元，因此，反演參數(shù)（密度）與異常場即成為線性關系； (2) 密度的全空間分布成為反演的解，避免了形體反演中許多困難； (3) 反演算法上可考慮模型與數(shù)據(jù)聯(lián)合擬合，已提高反演解的穩(wěn)定性。5.7 二維、三維密度反演5.7.

25、2 密度反演的基本原理（1）反演方案及目標函數(shù) 連續(xù)介質(zhì)的反演理論 連續(xù)介質(zhì)的反演理論是有Backus和Gilbert建立的，稱之為BG理論。BG理論包括兩大部分：一是連續(xù)介質(zhì)情況下如何處理數(shù)據(jù)有限又有誤差的觀測數(shù)據(jù)，二是如何處理解的非唯一性，對得到的解進行合理的評價，并從得到的解中提取真實模型的信息，即BG評價理論。這里只簡單介紹在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)介質(zhì)的反演理論，因為后面在構(gòu)建模型目標函數(shù)時要用到這一部分理論。 5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（1）反演方案及目標函數(shù) 假定地球物理模型是空間坐標 的連續(xù)函數(shù)，其個觀測點上的數(shù)據(jù)方程可表示為： 其中， di為觀測數(shù)據(jù)，

26、xi為第i個觀測點的空間坐標，r和r0分別為坐標 的積分限，M為觀測數(shù)據(jù)的個數(shù)，M個觀測數(shù)據(jù)組成一個精確的但不完整的數(shù)據(jù)集，構(gòu)成M個積分方程；式中g(shù)()可稱為積分核函數(shù)，m()為模型函數(shù)。5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（1）反演方案及目標函數(shù) 求解上述線性積分方程組，實際上是由M（有限）個觀測數(shù)據(jù)去求去連續(xù)（無限）模型m() 。顯然，這是一個欠定問題，因為連續(xù)模型是無限維的。從線性代數(shù)理論可知，此時有無限多個解可以滿足上述等式。 這時，我們需要對模型施加一定的約束，從而從眾多能夠擬合觀測數(shù)據(jù)的解中找到一個我們需要的特解。有限的觀測數(shù)據(jù)不足以提供關于模型參數(shù)的足夠的信息

27、，因此這些施加的約束相當于額外提供了一些觀測數(shù)據(jù)中未包含的關于模型的信息。這些信息稱為“先驗信息” 。顯然，先驗信息可以減小解的非唯一性，幫助我們找到一個特解。 先驗信息有很多種，例如，在反演中最常用的先驗信息是假定地球物理模型為“最簡單”，通過構(gòu)造模型目標函數(shù)，可以得到“最簡單”模型。5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理 （1）反演方案及目標函數(shù) 最小模型 其中 f ()為模型的幾何加權(quán)函數(shù)，可根據(jù)模型的特征制定，如果取1，則表示模型在各個方向上是等權(quán)的；mref 是參考模型，它取決于我們掌握的先驗信息的多少。我們可以通過各種途徑得到各種形式的先驗信息，然后將這些先驗信息

28、以參考模型的形式寫進模型目標函數(shù)中。這樣，反演出來的模型就會盡可能地接近我們的參考模型。在先驗信息很少情況下，可以將參考模型設置為零。 5.7 二維、三維密度反演 最平緩模型 如果要求解一個 的模型反演，即模型隨坐標變化最小的模型，則模型目標函數(shù)可采用如下形式：在大多數(shù)反演問題中，我們的參考模型只是給出了模型參數(shù)在某一位置的一個估計值，但是對模型參數(shù)在某一方向上的梯度卻存在很大的不確定性。在這種情況下，將構(gòu)制出的模型與參考模型在某一方向上的梯度的差最小化是不可取的。因此，參考模型一般取為零模型。 由于目標函數(shù)的差異，最平緩模型比最小模型要平緩得多。在地球物理法反演中經(jīng)常會用到最平緩模型。 5.

29、7 二維、三維密度反演 最“光滑”模型 最光滑模型的目標函數(shù)一般采用如下形式：其中m ()模型函數(shù)對空間坐標的二次導數(shù)，欲使該模型最小，意味著要求模型最光滑。 5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標函數(shù)的構(gòu)建 通常根據(jù)問題的需要，可以設計具有某種意義（最小模型，最平緩模型和最光滑模型）的模型目標函數(shù)。一般會將最小模型與最平緩模型或最光滑模型進行組合，即最小模型，最平緩模型和最光滑模型。三維情況下，在笛卡爾坐標系中有5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標函數(shù)的構(gòu)建 其中s , x , y , z分別為上式四項目標函數(shù)的權(quán)重，是整個模

30、型及模型在三個坐標方向上梯度在(,)處的幾何加權(quán)函數(shù)；ws , wx , wy , wz 分別為模型m(,) 及模型在三個坐標方向上梯度在(,)處的幾何加權(quán)函數(shù)，它們都前面f()的表現(xiàn)形式；p為導數(shù)的方次數(shù) 。5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標函數(shù)的構(gòu)建 一般情況下，我們對先驗模型中的某些值相當確定，而對其他一些值則不那么確定。比如，在通過鉆井獲得了某些先驗信息，與遠離鉆井的數(shù)據(jù)相比，我們對鉆井附近的數(shù)據(jù)更有信心。為了將這種對數(shù)據(jù)的確定性程度不同的信息包含進去，上式中引進的正權(quán)函數(shù)ws就是表達這種信息的函數(shù)。我們對先驗數(shù)據(jù)越有信心，則權(quán)函數(shù)的數(shù)值越大。 5.

31、7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標函數(shù)的構(gòu)建 例如，當目標函數(shù)中的權(quán)函數(shù)wx(, , )值相對較小時，可以使反演得到模型m(, , )在特定區(qū)域 中，沿x方向上的具有相對較大的變化。5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標函數(shù)的構(gòu)建 另一個需要討論的問題，就是深度加權(quán)函數(shù)。 我們知道，重力異常是隨深度平方的倒數(shù)衰減的，同尺度模型埋藏深度越大，在地面產(chǎn)生異常就越小。按照這個原理，反演時其分配到的修改量就越少，造成反演結(jié)果具有異常體主要集中在地表附近，即常說的“趨膚效應”。 為了克服這種效應，重構(gòu)地下深部的介質(zhì)結(jié)構(gòu)，引入了深度加權(quán)函數(shù)來

32、近似地補償核函數(shù)隨深度的衰減。 5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標函數(shù)的構(gòu)建 對于密度成像而言，重力的衰減效應隨觀測點到塊體單元距離的平方成反比，如果忽略觀測點與密度體的水平方向上位置的差異，僅考慮深度方向上的距離，就可以用(+z0)-2來近似表示核函數(shù)隨深度的衰減。式中，為塊體單元中心點埋深，z0和為常數(shù)，z0取決于塊體單元尺寸以及觀測面的高度。給定了模型后，通過調(diào)整 z0和的值，該函數(shù)可以近似地表達核函數(shù)的衰減效應。對于磁法勘探，一般取 =3。對于重力，一般取 =2，或者比2稍小一點。5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（2）模型目標

33、函數(shù)的構(gòu)建 加入深度加權(quán)函數(shù)后，目標函數(shù)變成5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（3）反演目標函數(shù) 根據(jù)一個模型，可以計算出每個觀測點的理論異常值，對于第i點的計算值有則理論值與實測值方可以作為數(shù)據(jù)擬合的目標函數(shù)，即其中i為第i點的數(shù)據(jù)標準差. 5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本原理（3）反演目標函數(shù) 事實上，我們希望反演的模型所產(chǎn)生的異常與實測異常有很好的擬合，而同時又希望反演的模型具有意義，或者所是我們所期望的模型。因此，反演的目標函數(shù)應該是數(shù)據(jù)目標函數(shù)與模型目標函數(shù)的結(jié)合，即這里的被稱為正則化參數(shù)。5.7 二維、三維密度反演5.7.2 密度反演的基本

34、原理（3）反演目標函數(shù) 正則化參數(shù) 控制著上式中數(shù)據(jù)目標函數(shù)與模型目標函數(shù)的相對權(quán)重。選擇的好的話，可以壓制噪音（小特征值），防止在模型構(gòu)制時為了擬合噪音而使模型結(jié)構(gòu)變得復雜。 當 接近零時，構(gòu)建的模型將最大限度的擬合數(shù)據(jù)，而模型則會極其復雜。當 很大時，構(gòu)建的模型將使模型盡可能地“小”，但是數(shù)據(jù)擬合差將會變得很大，也就是說，我們反演出來的模型無法令人滿意地擬合觀測數(shù)據(jù)。顯然，這兩種極端都不是我們需要的，因此需要找一個折中的值，使得達到最佳值。既使模型“極小”，又將觀測數(shù)據(jù)擬合到我們期望的程度。或者說，既沒有過分擬合觀測數(shù)據(jù)，也沒有使反演模型過分“簡單”。5.7 二維、三維密度反演5.7.3

35、密度反演的實現(xiàn) 在實現(xiàn)數(shù)值計算時，需要將模型目標函數(shù)進行離散化。 對模型的離散化方式主要有兩種。一種是單元尺寸隨深度的增加而增大，靠近地表的單元尺寸小些，越往深部單元尺寸越大，這種劃分方法是為了保證地下不同深度的棱柱體單元在地面上的重力異常處于同一數(shù)量級上，從而克服異常隨深度衰減的影響。另一種方式是將地下空間劃分為大小相等的單元，深度的影響通過選擇合適的深度加權(quán)函數(shù)來克服。由于前者分辨率隨深度加大而減小，因此目前采用較多的是第二種方式。 5.7 二維、三維密度反演物理模型：將地下空間劃分為體積和形狀相同的立方體單元。5.7 二維、三維密度反演數(shù)學模型5.7 二維、三維密度反演這里先復習一下有關

36、矩陣計算的內(nèi)容。假設有兩個矢徑（向量）p和p0，坐標分別為(x,y,z)和(x0,y0,z0)，有矩陣運算：5.7 二維、三維密度反演矩陣導數(shù)：5.7 二維、三維密度反演目標函數(shù)的構(gòu)造觀測數(shù)據(jù)擬合誤差其中Wd=diag(1/i) 。很多時候，我們用下式表示數(shù)據(jù)擬合差5.7 二維、三維密度反演目標函數(shù)的構(gòu)造最“平緩”模型mref 初始模型，Wx, Wy, Wz 權(quán)系數(shù)5.7 二維、三維密度反演離散化后的模型目標函數(shù) 最小模型：5.7 二維、三維密度反演 最平緩模型（以x方向為例）：考慮三個坐標方向，則有5.7 二維、三維密度反演 結(jié)合最小模型和最平緩模型，離散化后的模型目標函數(shù)為 這里 為模型加

37、權(quán)矩陣。5.7 二維、三維密度反演 加權(quán)矩陣Wm為組合陣，可以寫成式中St為代表空間加權(quán)函數(shù)的對角矩陣，對角線元素為(wt)1/2 ；Dt是差分算子/t矩陣，當t=s時為單位對角線元素，當t=x,y,z時，差分計算時只與網(wǎng)格化時網(wǎng)格的水平方向和垂直方向的尺度有關； Zt表示深度加權(quán)函數(shù)的對角矩陣，對角線元素即為每一個深度所對應的深度加權(quán)值。 可見，只要網(wǎng)格單元的大小位置以及各空間加權(quán)函數(shù)以及深度加權(quán)函數(shù)確定了，加權(quán)矩陣 也就隨之確定了5.7 二維、三維密度反演反演的目標函數(shù)其中 為正則化參數(shù)，這個參數(shù)不僅決定了數(shù)據(jù)擬合的程度，也決定了構(gòu)造出的模型的復雜程度。 5.7 二維、三維密度反演求目標函

38、數(shù)極小，使則有即令則有5.7 二維、三維密度反演模型I試驗（二維）5.7 二維、三維密度反演模型反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反演模型I反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反演模型I反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反演模型I反演曲線擬合5.7 二維、三維密度反演模型II試驗（二維）5.7 二維、三維密度反演模型II反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反演深部資料約束的目標函數(shù) 將已知模型參數(shù)向量mc中已知的元素始終保持確定；而未知元素初始值與mref一致，反演過程中與m元素一致。5.7 二維、三維密度反演賦有深度加權(quán)和深部約束的反演目標函數(shù) 5.7 二維、三維密度反演模型II反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反

39、演模型II反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反演模型II反演結(jié)果5.7 二維、三維密度反演反演方法Occams inversion (Constable et al., 1987)最小構(gòu)造反演 (Smith et al.,1998)共軛梯度 (Pilkington,1997)聚焦成像 (Portniaguine & Zhdanov,1999)蒙特卡洛 (Bosch et al.,2006)、二進制 (Krahenbuhl & Li, 2006)隨機子域 (姚長利, 2007)Growth method (Camacho et al.,2000;2002;2007)約束條件最小梯度支撐 (Portn

40、iaguine&Zhdanov,1999)完全變分懲罰函數(shù) (Bertete-Aguirre et al.,2002)重磁聯(lián)合反演 (Bosch et al.,2006;Gallardo-Delgado et al.,2003)巖石圈熱學重力異常校正-3D (Chappell & N. J. Kusznir,2008)目標函數(shù)正則化模型粗糙度 (Constable et al., 1987)深度加權(quán) (Li & Oldenburg,1996,1998)5.7 二維、三維密度反演第五章 重力異常及其正演、反演問題5.0 引言5.1 地面觀測重力異常的定義與物理意義 5.2 衛(wèi)星觀測重力異常的定義

41、5.3 重力異常數(shù)學表達式及拉普拉斯方程解5.4 簡單規(guī)則形體的正演與反演問題5.5 復雜形體的正演與反演問題5.6 密度界面的正演與反演問題5.7 二維、三維密度反演（密度成像）5.8 反演中的非唯一性問題5.8.1 位場反演非唯一性的表現(xiàn)5.8 反演中的非唯一性問題5.8.2 位場反演非唯一性的成因 理論上，“零”空間的存在，必然有非唯一性解存在具體包括1）場源的等效性2）觀測資料的有限性3） *觀測誤差的存在5.8 反演中的非唯一性問題5.8.3 減少位場反演多解性的方法 原則上，采用正則化方法，壓縮“零”空間具體措施： 1）充分利用已知資料進行約束 2）補充其它觀測資料 3）采用適當?shù)?/p>

42、正則化措施 4）求最合理的解而不是最精確的解 顯然，反演計算結(jié)果的可靠性是反演方法得以存在的根據(jù)，而位場反演中固有的多解性，嚴重地影響到計算結(jié)果的可靠性。應當特別強調(diào)的是，可靠性主要指的是得到的模型體與實際地質(zhì)體的符合程度，而決不能滿足于由模型體算出的理論異常與觀測異常的“擬合”好壞。多解性的存在是固有的，但是采用適當?shù)哪Ｐ停貏e是應用已知資料施加約束，一定能夠限制它的影響，并取得比較可靠的結(jié)果。5.8 反演中的非唯一性問題5.9.1 重力異常資料處理的目的與類型 由于地面重力異常所反映的密度不均勻體來自于上自地表，下至上地幔的多種因素疊加的結(jié)果；此外，測量數(shù)據(jù)還存在著各種干擾和誤差；而我們所

43、研究的對象往往是相對具體的、明確的。所以，在開展解釋工作之前，需要對重力異常數(shù)據(jù)進行適當?shù)奶幚怼?重力異常資料處理主要包括三個方面的內(nèi)容： 壓制誤差與干擾異常區(qū)分異常轉(zhuǎn)換其目的都是為突出研究對象的信息（信號）、壓制其它方面的影響和干擾。5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.1 重力異常資料處理的目的與類型 常用的重力異常資料處理方法有以下類型：圓滑 平均法 趨勢分析 空間延拓 導數(shù)換算5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法1. 圓滑 從數(shù)學過程來看，圓滑是采用一種先驗假設模擬有效信號，從而消除干擾的影響。 圓滑的方法很多，這里介紹2種常用的重力異常圓滑的常用方

44、法。 (1)平均圓滑 通過將計算點周邊點上的異常值進行平均，得到該點上的圓滑值。然后逐點滑動計算。5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法1. 圓滑 (2)多項式擬合 用多項式擬合計算點周邊點上的異常值利用對稱性，可化簡得到該點圓滑值為 根據(jù)多項式的階次不同，通常用一次、二次圓滑，有時也用三次圓滑。 5.9 重力異常資料處理（自學）3.4.2 常用的重力異常資料處理方法1. 圓滑 3.4重力異常資料處理圓滑后重力異常 原始布格重力異常 5.9.2 常用的重力異常資料處理方法2. 區(qū)分局部異常與區(qū)域異常 一般情況下，我們的研究對象都不是簡單的異常場，而具有一定背景場

45、。為了獲得研究對象的異常特征，需要區(qū)分背景場或局部場。這項工作成為“區(qū)分局部異常與區(qū)域異常”或“異常劃分”。 從數(shù)學過程來看，異常劃分是采用一種先驗假設模擬區(qū)域背景場，從而得到反映區(qū)域背景特征的“區(qū)域場”；而將其從原始異常中減去，又可獲得反映局部特征的“局部異常” 。 異常劃分的方法很多，通常有平均法、趨勢分析、頻率域濾波等。5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法2. 區(qū)分局部異常與區(qū)域異 (1)平均法 圓周滑動平均法 采用圓周上測點的異常值進行平均，作為圓心處區(qū)域異常值，然后逐點滑動計算。 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法

46、2. 區(qū)分局部異常與區(qū)域異 (1)平均法 方域滑動平均法 采用方域內(nèi)所用測點的異常值進行平均，作為中心處區(qū)域異常值，然后逐點滑動計算。5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法2. 區(qū)分局部異常與區(qū)域異常 平均場法 采用一定區(qū)域內(nèi)異常值的平均值代替區(qū)域中心處的區(qū)域異常值，將各區(qū)域中心的區(qū)域異常值進行內(nèi)插，得到所有點上的區(qū)域異常值。 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法2. 區(qū)分局部異常與區(qū)域異常 (2) 趨勢分析 用多項式擬合區(qū)域性背景場，從而得到區(qū)域異常。用多項式擬合，存在兩個方面的問題，一是采用多少階函數(shù)，二是選擇多少點參加擬合

47、，不同的階次和不同的擬合點數(shù)，其結(jié)果差異很大。 5.9 重力異常資料處理（自學） (a)55km2平均場(b)場源似深度匹配濾波深源場,h1=500m, h2=5km (a)三次趨勢面(b)四次趨勢面(c)五次趨勢面5.9.2 常用的重力異常資料處理方法3. 空間延拓 (1) 向上延拓 根據(jù)Laplace方程狄義赫利問題的解，有在（直角坐標平面）上有 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法3. 空間延拓 (2) 向下延拓 數(shù)學理論上，向下延拓是不適定問題。 在物理上，當向下延拓深度達到場源，已不滿足Lapalce方程。 所以，一般根據(jù)采用上半空間的分布，有函數(shù)擬

48、合并向下外推得到下延結(jié)果，但下延深度不得超過場源深度。 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法 3. 空間延拓 延拓的意義： 上延：突出深部的、區(qū)域性的特征，壓制淺部的、局部的特征； 下延：突出淺部的、局部的特征，壓制深部的、區(qū)域性的特征；5.9 重力異常資料處理（自學） 重力異向上延拓(a)上延2000m(b)上延3000m(c)上延4000m(d)上延5000m.5.9.2 常用的重力異常資料處理方法 4. 導數(shù)換算 重力異常導數(shù)換算是突出局部異常特征、壓制區(qū)域背景的最常用的方法之一。這個道理十分簡單，如果將異常視為一個高階泰勒級數(shù)能表示的函數(shù)，對其求導，便

49、可消除常數(shù)項，再求導，又可消除一次項，。 通常用于提出斷裂構(gòu)造、局部構(gòu)造信息。導數(shù)換算方法很多，下面介紹幾種： (1) 差分方法5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法 4. 導數(shù)換算 (2)積分方法（主要用于求垂向?qū)?shù)） 由直角坐標轉(zhuǎn)換為圓柱坐標，即對z求導，得地面計算點（0，0，0）處導數(shù)5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法 4. 導數(shù)換算 (3)垂向二次導數(shù)求法5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異常資料處理方法 4. 導數(shù)換算 (3)垂向二次導數(shù)求法5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.2 常用的重力異

50、常資料處理方法 4. 導數(shù)換算 (3)垂向二次導數(shù)求法其中r 的奇數(shù)次方項積分后為零，相應的系數(shù)為去除 r 二次以上的項，得5.9 重力異常資料處理（自學）遙感圖象 地質(zhì)圖 圓滑后重力異常 布格重力異常水平梯度圖（紅線為地表斷裂）(a)空間域40（NE向）水平梯度(b)空間域40（NE向）水平梯度陰影圖(c)空間域135（SE向）水平梯度(d)空間域135（SE向）水平梯度陰影圖.布格重力異常垂向高階導數(shù)圖（紅線為地表斷裂）(a)垂向一階導數(shù)(b)垂向一階導數(shù)陰影圖(c)垂向二階導數(shù)(d)垂向二階導數(shù)陰影圖.5.9.3 傅立葉頻率域資料處理方法頻率域濾波原理 傅立葉變換 一維變換： 二維變換：

51、 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.3 傅立葉頻率域資料處理方法1. 頻率域濾波原理 頻率濾波： 信號函數(shù)及頻譜： 濾波器函數(shù)及頻譜： 低通濾波： 空間域褶積 ： tf(t)F()F()cH()15.9 重力異常資料處理（自學）5.9.3 傅立葉頻率域資料處理方法頻率域濾波原理一般地 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.3 傅立葉頻率域資料處理方法2. 異常頻譜形式 (1) 一維譜 級數(shù)形式： xg(x)0L-L5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.3 傅立葉頻率域資料處理方法2. 異常頻譜形式 圖形示意 5.9 重力異常資料處理（自學）5.9.3 傅立葉頻率域資料處理方法2. 異常頻譜形式 (1) 一維譜 積分形式：若將 x 視為時間，