1、文檔編碼 : CB9D5V5I3W9 HX4O4M1I6Y2 ZD3J7O9V1T10自招競賽 數學“ 競賽中遞推型數列不等式問題的求解策略”講義編號：學員：年級：授課日期：講師：授課方式（在線或線下） ：（線下填）授課教學點：學問定位遞推公式背景下的數列型不等式始終是高中數學競賽和高考考查的重點；由于此類問題融函數、三角和不等式等學問模塊于一體, 自然滲透著重要的數學思想和方法,因此,始終備受命題者的青睞；講義以試題為例,就競賽中的遞推型數列不等式問題的求解策略作一探究；學問診斷1.（2022 華約）1學問梳理 回憶數列中不動點法的學問點；常見題型和方法解析 1 以數列的通項公式為切入點數列

2、的通項公式可以分析數列的基本性質（單調性,有界性等）,為解決數列型不等式問題供應了科學的決策依據；因此,求解通項公式就成為解決遞推型數列不等式問題首選的突破口；例 1設數列a nn0中意ma 2n,其中,m、nN mn；證明：a 12,am na mnmn1a 22（1）對一切 nN ,有1.a n22 a n1a n2;（2）11.a1a 1a 22022（2022,全國高中數學聯賽湖北省預賽）2例 2設數列a n定義為1nN.a 11,an+1=2a n+ 3an2證明：（1）當n1時,a n1a n134 a ；（2）1 a 11.112；a 2a n（2022,全國高中數學聯賽天津賽區

3、預賽）3例 3已知數列a n1中意a 11,an112 a n1n1,2,.,S n 為其前n項和；an證明：S n32n12n2 以數列的遞推公式為切入點盡管數列的通項公式是刻畫數列正確的手段,但在處理實際問題中會發覺許多遞推型數列通項公式的求解過程繁瑣,或遞推公式本身復雜,有時甚至無法求解；面對如此困境時,只能轉向遞推公式本 身,寄期望于在遞推公式的適當恒等變換中尋求求解思路；例 4已知數列a n中意N.1.a 11, a n12 a na n1 n證明：當n4 時 ,11n1n 21k1a k4例 5設數列a n中意a 11, a 22,a na n22 a n11n1.2 a n11

4、求a n1 與a n之間的遞推關系式a n1f a n;2證明：63a 202278.（2022,全國高中數學聯賽湖北省預賽）例 6 已知數列a n中意a 11,a a n1n1 nN.n112n1 1證明：a kk5例 7 已知數列a n中意a 11 , 3an1an+2 a nnN.n2證明：對一切nN,有1 a na n11;2an11.24n（2022,全國高中數學聯賽湖北賽區預賽）63 以數列的性質為切入點例 8已知函數f x 16x7,數列a n、b n中意1a ；n4x4a 10,b 10,a nf a n1,b nf b n1n2,3,.（1）求a 的取值范疇,使得對任意的正整

5、數 1n ,都有a n（2）如a 13, b 14,證明：0bna n811n1,2,.n（2022,全國高中數學聯賽陜西省預賽）7試題演練1 已知數列a n中意a 11,a 21,a n1n1 ann2,3,.4nan（1）求數列的通項公式；（2）證明：對一切nN,有kn1a k2n7；nN,S n是其前 n 項和；62. 已知數列a n中意a 11,a n11a42a n證明：當n2時,2 n1S n2n1；4（2022,全國高中數學聯賽湖北省預賽）83. 已知數列a n中意a 1a 12,a n1n2n42 a nn1,2,.,Sn為其前 n 項和；證明：S n13 4；1 , 2 na

6、223an1n2；a n中意4. 已知數列證明：對一切nN ,有kn1ak1；95. 已知數列a n1中意a 121,an111n;n21nan1nN；2n證明：（ 1）an1n1a2nn（2）a ne 2.講師評判學問點課后把握情形所需習題編號是否需要課時加強課后把握情形評分：1 對本學問點毫無所知,聞所未聞；2 明白該學問點,能完成簡潔的識記題；3 懂得該學問點,能運用其分析解答簡潔問題；4 把握學問的意義,但缺乏練習與手感,解答稍難的題目速度慢；5 深刻明白學問內核,能完成相應試題,但有確定的錯誤率；6 能夠較嫻熟利用該學問點解決相關試題,但題目稍加變形就難以入手；7 熟識該學問點各要素,能