1、9.4雙曲線及其性質高考理數考點一雙曲線的定義及標準方程考點清單考向基礎1.定義在平面內到兩定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫做雙曲線,定點F1,F2叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距.注意(1)設雙曲線上的點M到兩焦點F1,F2的距離之差的絕對值為2a,即|MF1|-|MF2|=2a,其中02a|F1F2|,則點M的軌跡不存在;若2a=0,則點M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.(2)若將雙曲線定義中的“差的絕對值等于常數”中的“絕對值”去掉,則點的集合是雙曲線的一支,具體是左支(上支)還是右支(下支)視情況而定.2.標準方程(1)中心在坐

2、標原點,焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為-=1(a0,b0);(2)中心在坐標原點,焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為-=1(a0,b0).注意(1)焦點位置的判斷:在雙曲線的標準方程中,看x2項與y2項的系數正負,若x2項的系數為正,則焦點在x軸上;若y2項的系數為正,則焦點在y軸上,即“焦點位置看正負,焦點隨著正的跑”.(2)a,b,c滿足c2=a2+b2,即c最大(c為半焦距).3.焦點三角形問題(1)P為雙曲線上的點,F1,F2為雙曲線的兩個焦點,且F1PF2=,則=c|yP|.(2)過焦點F1的直線與雙曲線的一支交于A、B兩點,則A、B與另一個焦點F2構成的ABF2的周長為4a+2|A

3、B|.(3)若P是雙曲線右支上一點,F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點,則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(4)P是雙曲線-=1(a0,b0)右支上不同于實軸端點的任意一點,F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點,I為PF1F2內切圓的圓心,則圓心I的橫坐標恒為定值a.考向突破考向一雙曲線的定義例1(2018江西贛南五校聯考,10)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為2,左,右焦點分別為F1,F2,點A在雙曲線C上,若AF1F2的周長為10a,則AF1F2的面積為()A.2a2B.a2C.30a2D.15a2 解析由雙曲線的對稱性不妨設A在雙曲線的右支上,由e=2,得c

4、=2a,AF1F2的周長為|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,又AF1F2的周長為10a,|AF1|+|AF2|=6a,又|AF1|-|AF2|=2a,|AF1|=4a,|AF2|=2a.在AF1F2中,|F1F2|=4a,cosF1AF2=.sinF1AF2=, =|AF1|AF2|sinF1AF2=4a2a=a2.故選B.答案B考向二雙曲線的標準方程例2(2019內蒙古赤峰二中模擬,8)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左,右焦點分別為F1,F2,點P(2,)在雙曲線上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數列,則該雙曲線的方程為()A.x2-y2=1

5、B.-=1C.x2-=1D.-=1解析設|PF1|=m,|F1F2|=2c,|PF2|=n.m-n=2a.|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數列,4c=m+n.m=a+2c=,n=2c-a=,聯立解得a=1,c=,b2=c2-a2=1,雙曲線的標準方程為x2-y2=1.故選A.答案A考點二雙曲線的幾何性質考向基礎 焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)范圍|x|a|y|a焦點F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)頂點A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)對稱性關于x軸、y軸對稱,關于原點對稱實、虛

6、軸長實軸長為2a,虛軸長為2b離心率雙曲線的焦距與實軸長的比e=漸近線方程y=xy=x【常見結論】(1)等軸雙曲線:實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e=兩條漸近線互相垂直.(2)共軛雙曲線的性質:它們有共同的漸近線;它們的四個焦點共圓;它們的離心率的倒數的平方和等于1.(3)焦點到漸近線的距離為b.考向突破考向一雙曲線的漸近線例1(2019安徽宣城二模,10)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2,O為坐標原點,P是雙曲線在第一象限內的點,直線PO交雙曲線C左支于點M,直線PF2交雙曲線C右支于點N,若|PF1|=2|PF2|,

7、且MF2N=60,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=2x解析連接F1M.點P是雙曲線C在第一象限內的點,|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4a,|PF2|=2a,直線PO交雙曲線C左支于點M,由對稱性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|,四邊形PF1MF2為平行四邊形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c|PO|cosPOF2,在POF1中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=1

8、0a2-c2,即|PO|=,|PM|=2,又直線PF2交雙曲線C右支于點N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-22a4acos 120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2,=2,=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,故選A.答案A考向二雙曲線的離心率例2(2019新疆石河子第一中學月考,10)在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線C:-=1(b0,a0)的左焦點為F,點B的坐標為(0,b),若直線BF與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,且=5,則雙曲線C的離心率為()A.B.C.D.2解析左焦點為F(-c

9、,0),點B的坐標為(0,b),直線PQ的方程為y=(x+c),與y=x聯立得P.與y=-x聯立得Q.=5,則0-=52c=3ae=.故選B.答案B考點三直線與雙曲線的位置關系考向基礎直線與雙曲線的位置關系主要是指公共點問題、相交弦問題及其他綜合問題.解決這樣的問題,常用下面的方法:將雙曲線方程C:-=1與直線方程l:y=kx+m聯立消去y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.當b2-a2k2=0,即k=時,直線l與雙曲線C的一條漸近線平行,直線l與雙曲線C只有一個交點;當b2-a2k20,即k時,設該一元二次方程根的判別式為.(1)當0時,直線與雙曲線有兩個公

10、共點M(x1,y1),N(x2,y2),則可結合根與系數的關系,代入弦長公式|MN|=求弦長;(2)當=0時,直線與雙曲線相切;(3)當0,b0)上的三個不同的點,其中A,B關于原點對稱,則直線PA與PB的斜率之積為.(3)弦中點結論:設AB為雙曲線不平行于x軸,y軸的弦,點M為弦AB的中點.標準方程點差法結論-=1(a0,b0)kABkOM=-=1(a0,b0)kABkOM=考向突破考向直線與雙曲線的位置關系例已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是坐標原點,且AOB的面積為,求實數k的值.解題

11、導引 解析(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的解,消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.解得-k且k1.故當-k|x2|時,SOAB=SOAD-SOBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;當A,B兩點在雙曲線的兩支上且x1x2時,SOAB=SOAD+SOBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.綜上,SOAB=|x1-x2|=,(x1-x2)2=(2)2,即+=8,解得k=0或k=.又-k0,b0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若MAN=60,則C的離心率為.解題導引 解析解法一:不妨設點M、N在漸近線y=x上,如圖,AMN為等邊三角形,且|AM|=b,則A點到漸近線y=x的距離為b,