1、第六章 共形映射6.2 共形映射的基本問題6.1 共形映射的概念6.3 分式線性映射6.4 幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射6.1 共形映射的概念 本章將從幾何的角度來研究復(fù)變函數(shù)，特別是要弄清楚 解析函數(shù)的幾何映射特征。 具體地說， 平面上的曲線或者區(qū)域經(jīng)映射 后， 在 平面上的象到底發(fā)生了什么變化？ 6.1 共形映射的概念 一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三、共形映射 (平均伸縮率) 一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 1. 伸縮率 映射后， 可以看出，曲線被伸縮和旋轉(zhuǎn)。 如圖，過 點的曲線 經(jīng) 定義 稱 為曲線 經(jīng) 映射后 在 點的伸縮率 。 變成了過 點的曲線 切線 定義 稱 為曲線 經(jīng) 映射后 在

2、 點的旋轉(zhuǎn)角。 2. 旋轉(zhuǎn)角 一、伸縮率與旋轉(zhuǎn)角 如圖，過 點的曲線 經(jīng) 映射后，變成了過 點的曲線 可以看出，曲線被伸縮和旋轉(zhuǎn)。 切線 這兩個指標定量地刻畫了曲線經(jīng)映射后的局部變化特征。 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析， 且 分析 由有 切線 切線 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析， 且 分析 1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 為曲線 在 點的伸縮率。 為曲線 在 點的旋轉(zhuǎn)角。 切線 切線 切線 切線 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 2. 伸縮率不變性 任何一條經(jīng)過 點的曲線的 3. 旋轉(zhuǎn)角不變性 伸縮率均為 任何一條經(jīng)過 點的曲線的 旋轉(zhuǎn)角均為 即 二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 切線 切線 2

3、. 伸縮率不變性 任何一條經(jīng)過 點的曲線的 3. 旋轉(zhuǎn)角不變性 伸縮率均為 任何一條經(jīng)過 點的曲線的 旋轉(zhuǎn)角均為 4. 保角性 由 即 保持了兩條曲線的交角的大小與方向不變。 即 三、共形映射 1. 第一類保角映射 定義 若函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)滿足： (2) 伸縮率不變性， (1) 保角性 , (保大小, 保方向)； 則稱函數(shù) 為區(qū)域 D 內(nèi)的 第一類保角映射。 且 若函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析， 結(jié)論 則函數(shù) 為 區(qū)域 D 內(nèi)的第一類保角映射。 P138定義 6.1 P138定理 6.1 三、共形映射 1. 第一類保角映射 2. 第二類保角映射 定義 若函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)滿足： 則稱函數(shù) 為

4、區(qū)域 D 內(nèi)的 第二類保角映射。 (2) 伸縮率不變性， (1) 能保持兩條曲線的交角的大小 不變，但方向相反； P138定義 6.1 三、共形映射 1. 第一類保角映射 2. 第二類保角映射 3. 共形映射 若函數(shù) 為區(qū)域 D 內(nèi)的第一類保角映射， 定義 則稱 為區(qū)域 D 內(nèi) 時， 的共形映射。 關(guān)鍵 要求函數(shù)還必須是一一映射(即雙方單值)。 且當(dāng) P138定義 6.2 (保角映射的來歷?)(1) 在 點， 因此，函數(shù) 在 處 其伸縮率為 2，旋轉(zhuǎn)角為 (2) 在 點， 因此，函數(shù)的保角性不成立。 的伸縮率不變，且具有保角性， 解 函數(shù) 在復(fù)平面上處處解析，且 P137 例6.1 解 (1)

5、 由于 因此，它具有伸縮率不變性； (2) 顯然，該函數(shù)能保持兩條曲線的 的交角的大小不變 , 但方向相反， 因此，它是第二類保角映射。 P138 例6.2 因此，它在整個復(fù)平面上是第一類共形映射。 可見，它不是雙方單值的， (2) 令 解 (1) 由于 在復(fù)平面上處處解析，且 則 則 (3) 如果設(shè)區(qū)域 是雙方單值的， 則它在區(qū)域 D 內(nèi) 因此，它不是共形映射。 因此，它是區(qū)域 D 內(nèi)共形映射。 令 P139 例6.3 休息一下附：保角映射的來歷 1777年 歐拉(Euler)就曾遇到過所謂的保角映射，他把 這種映射稱為“小范圍里的相似映射”。 保角映射這一術(shù)語最早出現(xiàn)在俄羅斯科學(xué)院院士 舒別爾特( )的制圖學(xué)著作中。 1788年 1779年 拉格朗日(Lagrange)創(chuàng)建了從旋轉(zhuǎn)曲面到平面上 的保角映射理論。 1822年 高斯( Gauss )創(chuàng)建了由復(fù)變函數(shù)出發(fā)的一般的保 角映射理論。 附：保角映射的來歷 1851年 黎曼(Riemann)首次發(fā)表了關(guān)于任意的單連域都 可以映射到(單位)圓域的定理。 此后，許瓦茲(Schwarz)、哈納克(