1、2010 年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分）x 0時(shí)，函數(shù) f (x) xsinxg(x) axn 是等價(jià)無窮小，則常數(shù) an 的值為()A. a 1 ,n 3B. a 1 , n 3C. a 1 , n4D. a 1 , n 463126x2 3x 4曲線y x2 5x 6的漸近線共有()A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條設(shè) 函 數(shù) (x) 2 et costdt， 則 函數(shù) (x)的 導(dǎo) 數(shù) (x)等 于x2()2excos x22excos x22xexcosxD. excos x2下()列級數(shù)收斂的是n1

2、n n1n12n1n2 nn11 (1)nn n22nn1二次積分1dyyf (x,y)dx交換積分次序后得01()A. 1dxxf (x,y)dyB. 2 dxxf (x, y)dy0110C. 2 dxxf (x,y)dyD. 2 dx1f (x, y)dy11設(shè)1f (x) x3 3x，則x1在區(qū)間(0,1)內(nèi)()A. 函數(shù)f (x)單調(diào)增加且其圖形是凹的B. 函數(shù)f (x)單調(diào)增加且其圖形是凸的C. 函數(shù)f (x)單調(diào)減少且其圖形是凹的D. 函數(shù) f (x)單調(diào)減少且其圖形是凸二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）x 1xx 1)x 8.f(0)1，則x0f (x) f

3、(x) x9. 定積分 1x3 1dx 的值為1 x2 110. 設(shè)a (1,2,3), b (2,5, k ) ，若a 與b 垂直，則常數(shù)k x24x24y，則dzx1 y0n0nxn 的收斂域?yàn)槿⒂?jì)算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分）13、求極限lim(1 1)x0 xtanxx2dyd 2y14yy(xyex2x所確定，求,dxdx215、求不定積分x arctan xdx16、計(jì)算定積分 40 x 3dx2x 1 x 2 t17、求通過點(diǎn)(1,1,1) ，且與直線 y 3 2t 垂直，又與平面2x z 5 0 平行的直線的方 z 5 3t程。2z18z y2 f

4、 (xyex f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求1 y219、計(jì)算二重積分xdxdy，其中D是由曲線1 y2D，直線 y x 及 x 軸所圍成的閉區(qū)域。20y ex y e2 x y py qy 0 的兩個(gè)解，試確定常數(shù) p, q 的值，并求微分方程 y py qy ex 的通解。四、證明題（每小題 9 分，共 18 分）21x 1 ex1 1 x2 122(x),x 0,22f(xx其中函數(shù)(xx0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且1,x 0,(0) 0,(0) 1f (xx 0 處連續(xù)且可導(dǎo)。五、綜合題（每小題 10 分，共 20 分）23y x2 (x 0) y a2 (0 a 1)yx轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體

5、的體積記為V1(a，由拋物線y x2 (x 0) ，直線y a2 (0 a 1)與直線 x 1 所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積記為 V2(a) ，另V(a)V (a)(a) ，試求常數(shù)a 的值，使V (a) 取得最小值。1224、設(shè)函數(shù)f(x)滿足方程f(x)f(x)2ex ，且f(0)2，記由曲線y與直線f (x)y 1,x t(t 0) yA(tlim A(t)t 2010 年江蘇省普通高校“專轉(zhuǎn)本”統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)參考答案1、AC、B、D、D、C7、e 28、29、10、411、dx2dy12、213x tan x lim x tan x lim 1 sec2 x

6、 lim tan 2 x 1 .x0 x 2tanxx0 x3x03xx03x23dydydy2 exyd2 y9exy14、ex y );dxdxdx1 exydx2exy )315、原式1x2arctanxxarctan x C.122212x12x116、變量替換：令 t ，x ，dx tdt ，2原式 t 2 1 32 t dt 3 (t 2 5 ) dt (1 t 3 5 t) 3 281t1226213ijk17、n1 ，n2 (2, ，n n n 12123 (2, 7, 4)，x 1 y 1 z 12012742 z218x2 y 2 ( y 1ex ) ；xy 3y 2 2e

7、x 1 xy 3 f 211xy 2 ex f 1219、 D2 dyyy20 xdx 26220、特征方程的兩個(gè)根為r1 1, r2 2 r r 2 0 ，從而 p 1, q 2 ； 1p(x) 1，可設(shè)Q(x) Ax ，即設(shè)特解為Y Axex ，Y Aex Axex Y 2Aex Axex p q 2 y py qy ex 得11(2A Ax A Ax 2 A)ex e x ，3A A ，通解為 y C ex31 C e2 x x2321、構(gòu)造函數(shù) f (x) ex1 1 xf (x) ex1 x f (x) ex1 1 0f (x) 在1221 上單調(diào)遞增， f 0 f (x) 0 f

8、(x在 上單調(diào)遞增， f 0 ，1f(x) 0，即ex1 1 x2 。122(x)(x)(0)22、lim f(x) limlim(0) 1 f(0)，連續(xù)性得證；x0 x0 xx0 x 0(x) 1f (x) f(0)x(x)x (x)11(x)(0)f (0) limlimlimlimlimx0 x x0 xx0 x2x02x2 x0 x 01lim (x) (0)，可導(dǎo)性得證。12 x0223、V(a) a (a2)(x2)2dx a5 ，410544V (a) 1 (x2)2 (a2)2dx (1 a4 a5 ，42a5518V (a) V1(a) V2(a) ( a4 a5 ，55V (a) (8a4 4a3 ，令V (a) 0 a 113，最小值為V()24f (x) edx (2exedxC)ex(e2C) exCe x ，f (0) C 1，f (x) ex e x ， f (x) ex e x ，f (x)e x exe2 x 1e2x 122y f(x)e1，exe2 x 1e2 x 1e2x 1A(t)t2)dx 2dx t