1、 高三數學 第4頁（共4頁）課本上的情境題1 古希臘數學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數學發現如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6，現在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為_2 埃及胡夫金字塔是世界七大奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，現已測得它的塔傾角為52，則該四棱錐的高與底面正方形的邊長的比值為( )(注：塔傾角是指該四棱錐的側面與底面所成的二面角，參考數據：cos52)ABCD3 除數函數(di

2、visor function) yd(n)(nN*)的函數值等于n的正因數的個數，例如，d(1)1，d(4)3寫出數列d(n)的前10項4 歐拉函數(Eulers totient function) (n)(nN*)的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互素的正整數的個數，例如，(1)1，(4)2寫出數列(n)的前10項5 假設某銀行的活期存款年利率為0.35%，某人存入10萬元后，既不加進存款也不取款，每年到期利息連同本金自動轉存如果不考慮利息稅及利率的變化，用an表示第n年到期時的存款余額，求a1，a2，a3及an6 某人向銀行貸款30萬元，貸款時間為10年如果個人貸款月利率為0.35%，

3、那么按照“等額本金”方式還款，他從貸款后的次月初開始還貸，每月應還本金0.25萬元，每月支付給銀行的利息(單位：萬元)依次為300.35%，(300.25)0.35%，(3020.25)0.35%，(301190.25)0.35%7 某人向銀行貸款30萬元，貸款時間為10年如果個人貸款月利率為0.35%，那么按照“等額本息”方式還款，他從貸款后的次月初開始還貸，每月定額還款金額為_萬元8 斐波那契數列(Fibonacci sequence)，又稱 HYPERLINK /item/%E9%BB%84%E9%87%91%E5%88%86%E5%89%B2/115896 t _blank 黃金分割數

4、列、因意大利 HYPERLINK /item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6/1210991 t _blank 數學家 HYPERLINK /item/%E8%8E%B1%E6%98%82 t _blank 萊昂 HYPERLINK /item/%E7%BA%B3%E5%A4%9A t _blank 納多斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“ HYPERLINK /item/%E5%85%94%E5%AD%90%E6%95%B0%E5%88%97/6849441 t _blank 兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、

5、5、8、13、21、34、在數學上，斐波那契數列以如下方法定義：F(1)1，F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n2，nN*)(1)通項公式：an()n()n，又稱比內公式，用無理數表示有理數的范例(2)奇數項求和：a1a3a5a2n-1a2n；(3)偶數項求和：a2a4a6a2na2n+11；(4)平方求和：a12a22a32an2anan+1；(5)兩倍項關系：an-1an+1；(6)an-1an+1an2(1)n9 如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的詳解九章算法商功中，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，設從上至下的各層球數構成一個數列a

6、n(1)寫出數列an的一個遞推公式；(2)根據(1)中的遞推公式，寫出數列an的一個通項公式10流行病學中，基本傳染數R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定假設某種傳染病的基本傳染數R03.8，平均感染周期為7天，那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大概需要幾輪傳染？需要多少天？(初始感染者傳染R0個人為第一輪傳染，這R01個人每人再傳染R0個人為第二輪傳染)11預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是PnP0(1k)n (k1)，其中Pn為預測期人

7、口數，P0為初期人口數，k為預測期內人口年增長率，n為預測期間隔年數如果在某一時期k(1，0)，那么在這期間人口數( )A呈上升趨勢B呈下降趨勢C擺動變化D不變12萊茵德紙草書(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數學著作之一書中有一道這樣的題目，請給出答案：把100個面包分給5個人，使每人所得面包個數成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為( )ABCD13非零實數a、b、c不全相等(1)若a、b、c成等差數列，、能構成等差數列嗎？(2)若a、b、c成等比數列，、能構成等比數列嗎？14任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2反復

8、進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈1421這就是數學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”)如取正整數m6，根據上述運算法則得出63105168421，共需經過8個步驟變成1(簡稱為8步“雹程”)現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列an滿足：a1m(mN*)，an+1(1)當m17時，試確定使得an1需要多少步雹程；(2)若a81，求m所有可能的取值集合M15有理數都能表示成(m、nZ，m、n互質，n0)的形式，進而有理數集Q|m、nZ，m、n互質，n0任何有理數都可以化為有限小數或無限循環小數反之，任一有限小數也可以化為的形式，從而是有理數；那么無限循環小數是否為有理數？思考下列問題：(1)是有理數嗎？請說明理由；(2)是有理數嗎？請說明理由16用測量工具測量某物體的長度，由于工具的精度以及測量技術的原因，測得n個數據：a1、a2、a3、an證明：用n個數據的平均值x表示這個物體的長度，能使這n個數據的方差f(x)最小17已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b (ba)元/件時，可賣出c件市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得